陸壽華

在現(xiàn)實(shí)課堂中，存在著諸多的理解性問(wèn)題，例如對(duì)于一些抽象的概念好似已經(jīng)辨明，然而在課后又混淆不清；對(duì)知識(shí)的應(yīng)用感到很困難，在做作業(yè)的時(shí)候，錯(cuò)漏百出；常常不能充分地使用學(xué)科語(yǔ)言深入分析問(wèn)題或表達(dá)觀點(diǎn).以往有些教師對(duì)數(shù)學(xué)理解的研究主要集中在數(shù)學(xué)概念、功能、模式與層次、對(duì)數(shù)學(xué)理解的評(píng)價(jià)、以及提高學(xué)生數(shù)學(xué)理解能力的教學(xué)策略等方面，很少關(guān)注學(xué)生的理解性學(xué)習(xí)策略.對(duì)此，筆者在教學(xué)實(shí)踐中進(jìn)行了一些思考和探索.

一、通過(guò)問(wèn)題總結(jié)階段的反思進(jìn)行理解性學(xué)習(xí)

數(shù)學(xué)解題后的反思，就是指學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)解題思維過(guò)程中的一個(gè)問(wèn)題的思維結(jié)果從一個(gè)新的角度進(jìn)行慎重全面的分析和思考，從而深化對(duì)問(wèn)題的理解，優(yōu)化思維過(guò)程.數(shù)學(xué)理解性學(xué)習(xí)要求解題之后，還要去進(jìn)一步反思與理解為什么要這樣做、怎樣做的、還可以怎么做，運(yùn)用了什么樣的知識(shí)與思想方法以及遇到困難時(shí)思維為何受阻，以便有意識(shí)地了解自身思維后面潛藏的認(rèn)知，提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)知水平，洞悉數(shù)學(xué)思維，達(dá)到高層次的數(shù)學(xué)認(rèn)知理解水平.

具體來(lái)說(shuō)，學(xué)生可以從以下幾個(gè)方面反思：反思題目特征；反思解題思路；反思解題策略的多處應(yīng)用；反思題目結(jié)論，能否一般化、特殊化，能否將結(jié)論拓展；反思重要環(huán)節(jié)的易錯(cuò)處、多解處、困難處；反思解題中反映出的數(shù)學(xué)思想方法.

反思數(shù)學(xué)思想方法是進(jìn)行理解性學(xué)習(xí)很重要的一個(gè)途徑.數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識(shí)的精髓，是知識(shí)轉(zhuǎn)化為解決問(wèn)題能力的橋梁.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程是一個(gè)數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的發(fā)展變化過(guò)程，這個(gè)過(guò)程是經(jīng)同化和順應(yīng)兩種方式實(shí)現(xiàn)的.數(shù)學(xué)思想方法擔(dān)當(dāng)著指導(dǎo)“加工”、“改造”的重?fù)?dān)，它不僅提供思維策略，而且提供實(shí)施目標(biāo)的具體手段.在問(wèn)題解決后，學(xué)生反思所用到的數(shù)學(xué)思想方法，可以更好地正確理解數(shù)學(xué).比如，分類(lèi)討論是貫穿整個(gè)初中數(shù)學(xué)的一種重要數(shù)學(xué)思想，也是一種重要的解題策略，通過(guò)它可以把一個(gè)較為復(fù)雜的問(wèn)題分解成若干個(gè)相對(duì)確定的問(wèn)題來(lái)處理.每遇到這類(lèi)題型，數(shù)學(xué)教師都應(yīng)把分類(lèi)討論的思想方法體現(xiàn)給學(xué)生，從分類(lèi)的原則、對(duì)象、標(biāo)準(zhǔn)，到分類(lèi)的層次，著重調(diào)動(dòng)學(xué)生的心智活動(dòng)，讓學(xué)生體味思想方法在掌握學(xué)習(xí)重點(diǎn)、突破學(xué)習(xí)難點(diǎn)及解決具體數(shù)學(xué)問(wèn)題中的靈魂作用，進(jìn)而達(dá)到提高學(xué)習(xí)效率，促使學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)的目的.

二、從錯(cuò)誤分析入手進(jìn)行理解性學(xué)習(xí)

學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)各種錯(cuò)誤，這種錯(cuò)誤往往體現(xiàn)了學(xué)生在數(shù)學(xué)思維以及對(duì)某些數(shù)學(xué)概念、命題的建構(gòu)等方面的缺漏.但另一方面，作為理解的必要發(fā)展階段，錯(cuò)誤的產(chǎn)生又顯示出某種合理性.從錯(cuò)誤分析入手進(jìn)行理解性學(xué)習(xí)能促進(jìn)學(xué)生對(duì)概念、命題的更加充分的理解.

1.做好選擇性注意策略

選擇性注意策略是指學(xué)習(xí)者在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情境中激活與維持學(xué)習(xí)的心理狀態(tài)，將注意集中于有關(guān)學(xué)習(xí)信息或重要信息上，對(duì)初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)材料保持高度的覺(jué)醒或警覺(jué)狀態(tài).教師在培養(yǎng)學(xué)生對(duì)錯(cuò)誤的選擇性注意的時(shí)候可以幫助學(xué)生確立學(xué)習(xí)目標(biāo)，使學(xué)生樹(shù)立目標(biāo)意識(shí)，能優(yōu)先選擇與目標(biāo)有關(guān)的信息，學(xué)生在確立和完成目標(biāo)的時(shí)候可以根據(jù)反饋信息，對(duì)教學(xué)目標(biāo)適時(shí)地進(jìn)行調(diào)整、優(yōu)化.

案例1解分式方程要檢驗(yàn).

這是初中數(shù)學(xué)考查的一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)，不少學(xué)生在各種測(cè)驗(yàn)、考查中重復(fù)出現(xiàn)忘記檢驗(yàn)的問(wèn)題.每次分析試卷時(shí)，學(xué)生都表示這次疏忽了，可下次考試依然如此.這是由于解分式方程時(shí)，“去分母”等步驟在練習(xí)中地位舉足輕重，學(xué)生的注意力過(guò)份集中于此，而抑制了“檢驗(yàn)”這個(gè)注意點(diǎn)，所以，這時(shí)應(yīng)將記憶的重點(diǎn)轉(zhuǎn)移到易被忽略的“檢驗(yàn)”上，使“檢驗(yàn)”的地位得到強(qiáng)化和凸現(xiàn).如解分式方程xx-1-1=2x-1x2-1時(shí)，可以先求解使分式以及分式方程有意義的未知數(shù)的取值范圍，在此前提下再解這個(gè)分式方程，學(xué)生就能自然地把所求得的未知數(shù)的值與未知數(shù)的取值范圍進(jìn)行對(duì)比，從而把x≠1及時(shí)舍去，達(dá)到檢驗(yàn)的效果.還可再編一個(gè)分式化簡(jiǎn)題，如x+2x-1+2xx2-4，并請(qǐng)學(xué)生代入一個(gè)自己喜歡的數(shù)求代數(shù)式的值，再一次體會(huì)代入的自己喜歡的數(shù)必須保證分式有意義即x≠±2且x≠0的大前提.這種針對(duì)錯(cuò)誤的訓(xùn)練可以培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)換思維方式、轉(zhuǎn)變思維方向的自覺(jué)性，有利于對(duì)實(shí)際問(wèn)題的動(dòng)態(tài)處理，突破思維和心理定勢(shì)，在長(zhǎng)期的訓(xùn)練中不僅可使思維深刻靈活，而且極大地提高學(xué)生的理解思維品質(zhì).

2.做好糾錯(cuò)策略

教師可給予學(xué)生足夠的時(shí)間對(duì)自己的錯(cuò)誤進(jìn)行反思，可以提示學(xué)生問(wèn)自己一些反思的問(wèn)題：這個(gè)題我為什么錯(cuò)了？錯(cuò)誤的原因是什么？這個(gè)內(nèi)容和前面學(xué)過(guò)的知識(shí)有什么關(guān)系嗎？等等.這不僅可以使得對(duì)于錯(cuò)誤的糾正真正成為學(xué)生的自覺(jué)行動(dòng)，更有利于學(xué)生養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣和自學(xué)能力，而這些習(xí)慣和能力對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)終生有益.結(jié)合平時(shí)的初中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐，筆者在教學(xué)中先讓學(xué)生把作業(yè)或測(cè)試中出現(xiàn)的錯(cuò)誤當(dāng)天及時(shí)訂正；同時(shí)指導(dǎo)學(xué)生建立數(shù)學(xué)錯(cuò)題集，把平時(shí)做錯(cuò)的題收入其中，并注明錯(cuò)在哪里，如概念不清、審題不仔細(xì)、錯(cuò)用公式、計(jì)算失誤、解答不具體不完整等；然后每章小結(jié)時(shí)進(jìn)行典型錯(cuò)題的交流，讓學(xué)生互相糾錯(cuò)，還要求學(xué)生從教材或資料中找出2～3道相同類(lèi)型的數(shù)學(xué)題目，或同學(xué)間互相找題、編題，并認(rèn)真解答，以達(dá)到鞏固、預(yù)防之目的.最后，利用每周練習(xí)的時(shí)間，對(duì)一些容易讓學(xué)生產(chǎn)生錯(cuò)誤理解的題目進(jìn)行檢測(cè)，再次檢驗(yàn)學(xué)生是否消除了錯(cuò)誤，這樣可以有效提高學(xué)生的理解能力.

三、通過(guò)“說(shuō)數(shù)學(xué)”進(jìn)行理解性學(xué)習(xí)

1.通過(guò)“說(shuō)數(shù)學(xué)”加強(qiáng)數(shù)學(xué)理解

理解是以語(yǔ)言為媒介的，能用語(yǔ)言表述是衡量學(xué)生對(duì)初中數(shù)學(xué)知識(shí)理解的標(biāo)志.通過(guò)表述，一方面，學(xué)生自己進(jìn)一步理解問(wèn)題，澄清一些模糊性認(rèn)識(shí)；另一方面，學(xué)生理解其他學(xué)生問(wèn)題解決方法，互相比較各自問(wèn)題解決過(guò)程，擴(kuò)展解決問(wèn)題的思路，顯示出學(xué)生理解問(wèn)題的自主性，也提醒學(xué)生要學(xué)會(huì)從顯性的條件中挖掘隱性條件，幫助學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)原理.“說(shuō)數(shù)學(xué)”是指用自己的語(yǔ)言敘述數(shù)學(xué)知識(shí)，敘述要完整、準(zhǔn)確、流暢，能對(duì)敘述的內(nèi)容作適當(dāng)解釋?zhuān)?jīng)得起老師和同學(xué)進(jìn)一步追問(wèn).在這種既聽(tīng)又說(shuō)的數(shù)學(xué)交流活動(dòng)中，教師把學(xué)習(xí)主動(dòng)權(quán)交給學(xué)生，激發(fā)和調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，促使他們積極思考、積極交流、主動(dòng)理解.同時(shí)，教師也可以從中發(fā)現(xiàn)、分析學(xué)生的理解情況，做到有的放矢.通過(guò)這個(gè)表述過(guò)程，可以充分暴露學(xué)生理解上的缺陷，知道學(xué)生哪些地方理解了，哪些地方?jīng)]理解，理解的程度如何；可以使學(xué)生重新認(rèn)識(shí)、思索那些理解得不很透徹的知識(shí)，從而促進(jìn)對(duì)知識(shí)的理解.

案例2若關(guān)于x的方程ax2+2x-1=0有解，求a的取值范圍.

絕大部分學(xué)生都能算出正確答案a≥-1，但讓學(xué)生敘述解題方法時(shí)發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生是用一元二次方程的根的判別式b2-4ac≥0計(jì)算得到，也有同學(xué)提出因?yàn)槎雾?xiàng)系數(shù)為字母，所以此方程不一定是一元二次方程，應(yīng)該先對(duì)方程類(lèi)型進(jìn)行分類(lèi)討論，若a=0，此方程為一元一次方程，此時(shí)方程有解，所以a=0成立；若a≠0，則此方程為一元二次方程，再利用一元二次方程的根的判別式b2-4ac≥0計(jì)算出a≥-1，所以a≥-1且a≠0.最后兩種情況綜合得到a≥-1.同樣的答案，通過(guò)說(shuō)數(shù)學(xué)，充分暴露學(xué)生理解上的缺陷，知道學(xué)生哪些地方理解了，哪些地方?jīng)]理解，從而促進(jìn)對(duì)知識(shí)的準(zhǔn)確理解.

2.“說(shuō)數(shù)學(xué)”的內(nèi)容與數(shù)學(xué)思想方法

數(shù)學(xué)知識(shí)主要是數(shù)學(xué)基本事實(shí)、概念、原理、法則等.學(xué)生運(yùn)用普通語(yǔ)言和數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述和展示自己對(duì)數(shù)學(xué)現(xiàn)象、事實(shí)、概念、法則、定理、公式等知識(shí)的理解、把握和應(yīng)用.學(xué)生“說(shuō)數(shù)學(xué)”需要經(jīng)歷下面過(guò)程：熟練說(shuō)出數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)容，用飽含著自己體驗(yàn)的語(yǔ)言表達(dá)數(shù)學(xué)知識(shí)，能多方位對(duì)概念進(jìn)行解釋?zhuān)f(shuō)出知識(shí)點(diǎn)的內(nèi)涵和外延，說(shuō)出與相似知識(shí)點(diǎn)的聯(lián)系、區(qū)別以及這類(lèi)概念的易混淆之處，最后利用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)數(shù)學(xué)知識(shí).在這一過(guò)程中，經(jīng)過(guò)爭(zhēng)辯、互動(dòng)、小組交流等方式學(xué)生逐步形成共識(shí)，加深對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解.

此外，數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)概念、理論的相互聯(lián)系和本質(zhì)所在，是貫穿于數(shù)學(xué)的、具有一定概括性的概念，一直貫穿于數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)和問(wèn)題解決的過(guò)程之中.學(xué)生“說(shuō)數(shù)學(xué)”主要是說(shuō)出用到的數(shù)學(xué)思想方法，并能在不同知識(shí)和背景下，提煉共同的數(shù)學(xué)思想方法.通過(guò)這個(gè)過(guò)程，學(xué)生加深對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的理解，從而能夠提高自身靈活遷移理解數(shù)學(xué)知識(shí)的能力.

在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，加強(qiáng)初中學(xué)生數(shù)學(xué)理解性學(xué)習(xí)很重要.只要我們?cè)诔踔袛?shù)學(xué)教學(xué)中，有意識(shí)加強(qiáng)這方面的思考與探索，圍繞著加強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)理解性學(xué)習(xí)，采取切實(shí)有效的措施，就會(huì)收到好的理解效果.