楊敏

依據(jù)數(shù)學(xué)研究對(duì)象本質(zhì)屬性的相同點(diǎn)和差異點(diǎn)，將數(shù)學(xué)對(duì)象分為不同種類的數(shù)學(xué)思想叫做分類討論思想.所謂分類思想，就是將事物進(jìn)行分類，然后對(duì)劃分的每一類分別進(jìn)行研究和求解；當(dāng)問(wèn)題所給的對(duì)象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究時(shí)，就需要對(duì)研究對(duì)象按某個(gè)標(biāo)準(zhǔn)分類，然后對(duì)每一類分別剖析，得出每一類的結(jié)論，最后綜合各類所得結(jié)果得到整個(gè)問(wèn)題的解答.所謂分類討論就是“化整為零，各個(gè)擊破，再積零為整”的過(guò)程.

事實(shí)證明，分類的優(yōu)劣不僅決定著解法的簡(jiǎn)繁，而且直接影響解題的成敗.不同的分類， 解題過(guò)程的簡(jiǎn)繁也是不一樣的，它取決于分類的標(biāo)準(zhǔn).分類討論一般分為四步：第一，明確討論的對(duì)象，即對(duì)那個(gè)參數(shù)進(jìn)行討論；第二，對(duì)所討論的對(duì)象進(jìn)行合理分類，分類時(shí)做到不重復(fù)，不遺漏，標(biāo)準(zhǔn)要統(tǒng)一，分層不越級(jí)；第三，逐類討論，即對(duì)各類問(wèn)題詳細(xì)討論，逐步解決；第四，歸納總結(jié)，將各類情況總結(jié)歸納.

顯然，明確分類討論的原因，將有利于運(yùn)用分類討論的思想方法來(lái)解決問(wèn)題.筆者經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期的教學(xué)實(shí)踐將分類討論的主要原因初步歸類為以下五個(gè)方面：（1）由數(shù)學(xué)概念引起的分類討論；（2）由數(shù)學(xué)運(yùn)算引起的分類討論；（3）由定理，公式的限制引起的分類討論；（4）由圖形的不確定性引起的分類討論.下面通過(guò)具體的實(shí)例說(shuō)明分類討論在解題中的運(yùn)用.

一、概念引起分類討論

有些數(shù)學(xué)概念本身就是以分類形式定義的，有些數(shù)學(xué)概念自身就有一定的限制，解題就是以所定義的概念為依據(jù)來(lái)進(jìn)行分類討論，下面略舉幾種情況.

1.根據(jù)絕對(duì)值定義去掉絕對(duì)值符號(hào)時(shí)，分情況討論：

例1若|m-n|=n-m，且|m|=4，|n|=3，則（m+n）2=.

解析因?yàn)閨m|=4，|n|=3，所以m=±4，n=±3.又因?yàn)閨m-n|=n-m，所以n-m≥0，n≥m.當(dāng)n=3時(shí)，m可能取的值為-4，結(jié)果為1；當(dāng)n=-3時(shí)，m可能取值為-4，則結(jié)果為49，所以（m+n）2=49或1.

例2已知直線y=3x+b與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為6，則此直線解析式為.

解由題意得：點(diǎn)A坐標(biāo)為（-b3，0），點(diǎn)B為（0，b）.

所以12OA·OB=6，

即12|-b3|·|b|=6，

所以|b2|=36，b=±6.

所以此直線解析式為y=3x-6或y=3x+6.

評(píng)注絕對(duì)值概念是一個(gè)需要分類討論的概念，只有通過(guò)分類討論后，得到的結(jié)論才是完整的、正確的，如不分類討論，就很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤.當(dāng)遇到函數(shù)問(wèn)題時(shí)，首先要考慮到應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，其次對(duì)絕對(duì)值問(wèn)題要考慮到分類討論.

二、運(yùn)算引起的分類討論

例3已知等腰三角形的一內(nèi)角為70°，求其余兩個(gè)內(nèi)角.

分析已知等腰三角形的一個(gè)內(nèi)（外）角（未指明頂角還是底角的情況下），應(yīng)分兩種情況進(jìn)行討論.

解（1）當(dāng)頂角為70°時(shí)；其余兩角為55°，55°；

（2）當(dāng)?shù)捉菫?0°時(shí)，其余兩角為70°，40°；

所以該等腰三角形其余兩角為55°，55°或70°，40°.

例4若關(guān)于x的分式方程x-ax-1-3x=1無(wú)解，則a=.

簡(jiǎn)解去分母得x（x-a）-3（x-1）=x（x-1），

整理得（a+2）x=3.

（1）當(dāng)a+2=0，即a=-2時(shí)，新方程無(wú)解，那么原方程也一定無(wú)解.

（2）當(dāng)a≠-2時(shí)，得x=3a+2.此解為原方程增根時(shí)，原方程也無(wú)解.

①當(dāng)x=3a+2=0時(shí)，a值不存在；

②當(dāng)x=3a+2=1時(shí)，得a=1.

綜上所述，當(dāng)原方程無(wú)解時(shí)，a的值為-2或1.

應(yīng)注意的是：一道題目是否需要討論，什么時(shí)候討論，并不是看題目中是否含有參數(shù)，而是看它是否影響繼續(xù)解題.有些題目一開(kāi)始就要進(jìn)行分類討論，有些題目則是在解題過(guò)程中進(jìn)行討論，甚至可以回避討論.

三、定理、公式引起的分類討論

數(shù)學(xué)中的一些公式、方法對(duì)于一般情形是正確的，但對(duì)某些特殊情形或說(shuō)較為隱蔽的“個(gè)別”情形未必成立.這也是造成分類討論的原因，因此在解題時(shí)，應(yīng)注意挖掘這些個(gè)別情形進(jìn)行分類討論.常見(jiàn)的個(gè)別情形有：

“方程ax2+bx+c=0有實(shí)數(shù)解”轉(zhuǎn)化為Δ=b2-4ac≥0時(shí)忽略了個(gè)別情形：當(dāng)a=0時(shí)，方程有解不能用Δ≥0.因而二次項(xiàng)系數(shù)含字母時(shí)，常按字母系數(shù)是0和不是0兩種情況討論.

例5如果關(guān)于x的方程k2x2-（2k+1）x+1=0有實(shí)數(shù)根，那么k的取值范圍是

A.k>-14B.k>-14且k≠0

C.k<-14D.k≥-14且k≠0

評(píng)注由于x的方程沒(méi)有明確是一元二次方程，還是一元一次方程，這就需要分類討論，恰恰學(xué)生由于思維定勢(shì)，習(xí)慣上把它看作一元二次方程而致錯(cuò).

四、由圖形的不確定性引起的分類討論

如平面幾何中線與線、線與面、面與面的位置關(guān)系均有多種可能，研究各元素間的位置關(guān)系時(shí)，要注意每一個(gè)位置關(guān)系都不可遺漏，對(duì)于多種可能的情況必須分開(kāi)來(lái)進(jìn)行研究.

例6已知點(diǎn)P到⊙O的最大距離為8，最小距離為2，則⊙O的半徑為.

分析本題沒(méi)給出圖形，點(diǎn)P可能⊙O在外，也可能在⊙O內(nèi)，所以必須進(jìn)行分類討論.

如圖2點(diǎn)P在⊙O外，半徑為3，如圖3點(diǎn)P在⊙O內(nèi)，半徑為5.

評(píng)注在沒(méi)有幾何圖形的題目中，要利用分類的思想方法，正確畫(huà)出各種可能的圖形，逐一進(jìn)行詳細(xì)的解答.涉及點(diǎn)、線關(guān)系時(shí)，往往分和點(diǎn)在直線上和點(diǎn)在直線外兩種情況討論.

分類討論的過(guò)程是同中求異和異中求同兩種思維方式的有機(jī)結(jié)合，要抓住問(wèn)題涉及對(duì)象的不同點(diǎn)，分為既不重復(fù)又不遺漏的幾類，分別討論，是同中求異的過(guò)程；然后將各類情況的共同特征加以綜合，得出結(jié)論，這是異中求同的過(guò)程.通過(guò)分類討論思想在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，我們今后在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，當(dāng)條件或結(jié)論不明確，當(dāng)圖形不確定，當(dāng)題目中含有參數(shù)或隱含條件等等都應(yīng)分類討論.這種討論一方面可以將復(fù)雜的問(wèn)題分成若干個(gè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題（即“化整為零”），另一方面可避免漏解、誤解、錯(cuò)解（即“各個(gè)擊破”），從而使復(fù)雜的問(wèn)題得到清晰、完整、嚴(yán)密的解答.這不僅有利于提高學(xué)生對(duì)學(xué)好數(shù)學(xué)的興趣和解題技能，同時(shí)也是培養(yǎng)學(xué)生思維品質(zhì)的條理性、縝密性、科學(xué)性的有效途徑.

課堂教學(xué)是實(shí)施素質(zhì)教育的主陣地，常言道“授之以魚(yú)，不如授之以漁”.實(shí)踐證明，把某種數(shù)學(xué)思想方法（知識(shí)形態(tài)的）象知識(shí)一樣傳授給學(xué)生，再通過(guò)學(xué)生的思維過(guò)程來(lái)理解它，檢驗(yàn)它，豐富它，運(yùn)用它，發(fā)展形成為認(rèn)識(shí)形態(tài)的觀念，直至上升為理性的哲學(xué)觀念，才能使學(xué)生受益終生.