王志南

什么樣的數(shù)學學習才是富有意義的？這是值得許多教師在教學中予以思考的問題。數(shù)學學習內(nèi)容背后所蘊涵的教學價值是什么？又該怎樣付諸具體的教學行為，去體現(xiàn)相應學習內(nèi)容的數(shù)學價值？從這個意義上講，具體的解題過程及指導顯然并不是數(shù)學教學的核心，而發(fā)掘和提煉數(shù)學學習內(nèi)容的核心知識，從數(shù)學思想方法的層面引導學生展開數(shù)學分析和思考，學生才能真正做到學得扎實、理解透徹。

【課前思考】

在教學長方體和正方體的表面積及體積計算后，練習中遇到這樣一道題：圖1是一個長方體的展開圖，根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)，求出長方體的體積。

以往教學此類問題時，筆者通常是引導學生觀察后發(fā)現(xiàn)，5厘米可以看作長方體的寬，3厘米其實就是長方體的高，則長方體的長可以用（20-3×2）÷2求得，然后再求長方體的體積。然而，從教學效果來看，部分學生并未能真正地理解題目的含義，進而造成學生“被學習”，解題時“依葫蘆畫瓢”，一段時間過后，面對變化的題型就不知如何分析和思考了。

事實上，部分學生之所以在教師講解后仍未真正理解，是因為此類數(shù)學問題的解決不能簡單依靠記憶和模仿，而需要學生學會根據(jù)展開圖在頭腦中進行相應的空間想象，想象折疊后的立體圖形，在此基礎上進行數(shù)學思考，否則學生很難理解為什么“5厘米可以看作長方體的寬，3厘米其實就是長方體的高”？“長在哪里？怎樣求得長方體的長？”等問題的。同時，對這些問題的思考，教師僅僅引導部分優(yōu)秀生得出答案是不夠的，因為在“問答式” 的講解中學困生是無法真正參與到學習中去的。

從題目本身所蘊涵的教學價值來看，此題可以在立體圖與平面圖的轉化間培養(yǎng)學生的空間觀念，發(fā)展學生的空間想象力。其關鍵在于求長，而要求長就必須在頭腦中想象如何折疊，發(fā)現(xiàn)寬和高的長度。同時，對于那些想象力欠缺的學生，教師還需要幫助他們積累相關的長方體展開圖的直接經(jīng)驗，通過操作活動豐富學生對長方體展開圖的形象、位置、關系的認識，在此基礎上再引導學生進行空間想象，學生的想象過程才能得以真正展開。

【教學嘗試】

師：看這幅長方體的表面展開圖，要求長方體的體積，你覺得應先求出什么？

生：5cm和3cm中的一條是寬、一條是高，要先求長方體的長。

師：大家聽明白了嗎？（學生有點茫然）我怎么沒看出長方體的寬和高的長度？大家想想辦法，怎樣才能看出寬和高的長度？

生：可以想象著把這個展開圖折疊一下，就能找出長、寬、高了。

師：這個主意不錯，你們能在頭腦中想象出這個長方體的樣子嗎？誰來描述一下？

生：我想象出的長方體的寬是3厘米，高是5厘米，長還不知道。

師：你們和他想象的一樣嗎？有不同的嗎？

生：我想象的長方體的寬是5厘米，高是3厘米，長也不知道。

師：知道為什么同樣的展開圖，想象所得的長方體的寬和高不一樣嗎？

學生若有所思，陷入思考之中。

生：第一位同學是以最下方的的小長方形為下面展開想象的，中間的四個長方形依次是前面、左面、后面、右面，最上方的小長方形正好是上面。（圖2）

生：第二位同學是以中間的大長方形為下面展開想象的，中間的四個長方形依次是上面、左面、下面、右面，還有兩個長方形正好是前面和后面。（圖3）

師：說的真好！現(xiàn)在你能求出長方體的長和體積了嗎？先小組討論，再組內(nèi)交流。

學生交流：

生：需要先求得長方體的長，按照第一種想象方法，3厘米是長方體的寬，20厘米可以看作2條長加2條寬的和。這樣，長方體的長就等于（20-3×2）÷2=7厘米，這樣就可以求得長方體的體積了。

生：我們小組發(fā)現(xiàn)，按照第二種想象方法，長方體的高是3厘米，這時的20厘米就是2條長加2條高的和。這樣，用（20-3×2）÷2也能求得長方體的長，再求出長方體的體積。

學生自主解答、匯報。

師：同學們，回顧和反思上述兩種方法，你發(fā)現(xiàn)它們之間有哪些相同之處嗎？你有什么收獲？

生：兩種方法都借助了想象，根據(jù)展開圖想象折疊后的長方體，進而找到長、寬、高的位置。

生：兩種方法都是在尋找20厘米這條線段與長方體的長和寬（或長和高）的關系，再求出長的。

生：以后遇到類似的問題，可以先想象這個展開圖折疊后的立體圖形，然后再思考圖中數(shù)據(jù)之間的內(nèi)在關系。

……

【教學思考】

部分學生屢教不會，是因為教師的第一次教他們就沒有真正學會，這些學生未能理解數(shù)學問題，進行數(shù)學意義的自我建構，從而導致教師后幾次的重復也是徒勞。如上述課例中，如果學生缺乏對長方體展開圖的規(guī)律、位置、關系的基本認識，不進行相應的空間想象活動，學生的思維就會陷入迷茫之中。那么，教師如何走出這樣的教學困境呢？

一、 展開空間想象，實現(xiàn)二維與三維的互換，尋找解題路徑

空間觀念是對空間中物體的位置及位置之間的關系的感性認識，其本質是空間想象力。在幾何學習過程中，想象往往伴隨著觀察、操作等活動展開。學生通過想象能直接、有效地獲得圖形的形狀、大小、位置關系以及物體間距離的表象，形成正確的概念表征。而空間想象是小學生幾何學習活動中重要的學習方式，是學生發(fā)展空間思維、建立空間觀念的關鍵因素。

課例中的題目，呈現(xiàn)的是一個長方體的表面展開圖，已知兩條棱的長度和四條棱的長度和。對于大部分學生而言，結合此圖理解20厘米就是長方體的2條長加2條3厘米的棱長，求出長方體的長是比較困難的，即使勉強接受，下次遇到類似的問題仍然會感到茫然。究其原因，教師沒有引導學生對展開圖進行深加工，結合展開圖想象折疊后長方體的形狀，實現(xiàn)由二維圖與三維圖的互換。

為什么要有二維到三維的轉換？因為對六年級學生而言，直接觀察長方體展開圖來發(fā)現(xiàn)長方體的長、寬、高仍有一定的難度，或者說，即使找到長、寬、高的相關數(shù)據(jù)也只是處于猜測階段，尤其是在面對已知5厘米和3厘米的兩條棱時，學生根據(jù)展開圖直觀判斷20厘米到底是兩條長與兩條怎樣的棱的和，學生是很茫然的。學生怎樣才能真正地理解呢？筆者以為，只有讓展開圖在頭腦中“動”起來，想象折疊成長方體的過程，這時的長、寬、高就了然于心了。在此基礎上，再來觀察展開圖中20厘米的構成就簡單多了。換個角度而言，本題所考察的，不正是學生的空間想象能力嗎？

事實上，蘇教版數(shù)學教材中安排學生學習長方體、正方體、圓柱的展開圖，除了出于幫助學生理解和掌握立體圖形的特征和計算立體圖形表面積的需要，還有更深層次的考慮，就是希望借此來發(fā)展學生的空間想象力。即根據(jù)幾何體想象其展開圖或根據(jù)展開圖想象相應的幾何體，進而逐步建立空間觀念，發(fā)展空間想象力。在小學階段，需要進行二維和三維轉換的數(shù)學問題還有很多。如六年級上冊中的一道題目：“一個底面是正方形的長方體，側面展開是邊長4分米的正方形，求長方體體積?！绷昙壪聝灾杏嘘P于圓柱展開圖的問題：“用圖中的陰影部分恰好能做一個無蓋的圓柱形水桶，這個水桶的容積是多少？”（圖4）這些數(shù)學問題的解決，都需要教師引導學生進行空間想象，有時還可以組織學生動手做一做，通過具體的操作活動去感知、發(fā)現(xiàn)、建構正確的空間形式與關系，積累相應的幾何表象和數(shù)學活動經(jīng)驗。

二、 結合空間想象，進行數(shù)學分析與思考，建構數(shù)學意義

幾何作為一種理解、描述和聯(lián)系現(xiàn)實的工具，也許是數(shù)學中最直觀、具體和真實的部分。幾何概念的內(nèi)部表征以表象為主，表象在一定程度上起到了連接概念與圖形、圖形與模型的作用。與一般表象不同，幾何表象不僅僅是事物或事件的知覺表征，它一方面反映的是圖形的相關概念，具有思維的特征；另一方面又具有一定的形象性，可以在頭腦中對它進行各種操作，如旋轉、切割、黏合、折疊、拓展等[1]。從這個意義上講，案例中要讓學生的空間想象順利地展開，前提是學生腦海中有對立體圖形展開圖中面的排布規(guī)律、位置關系有相應的幾何表象，即在教學正方體和長方體的展開圖時就要引導學生充分進行操作活動，通過剪、觀察、比較、分析、思考等一系列活動，形成有關正方體和長方體展開圖的表象，積累數(shù)學活動經(jīng)驗。對于一些空間想象力欠缺的學生，還可以指導其畫出相應的展開圖，剪下來，折一折，看看和自己想象的是否相同，豐富表象的同時促進其對數(shù)學意義的建構。

蘇教版小學數(shù)學教材主編王林老師說：“教學中的難點難在學生不好理解，要淺說，關鍵的地方要分解。好比拍電影，拍到關鍵的地方，要拍它的慢動作，把關鍵的地方一個一個分得很細?！卑咐校P者沒有急于求成，而是引導學生展開三個層次的思考：一是結合展開圖思考，你是怎樣看出長方體的寬和高的，引導學生發(fā)現(xiàn)直接觀察和確定寬和高有點困難，需要將展開圖想象著折疊成長方體；二是組織學生以其中一個面為底面，展開空間想象，在頭腦中勾畫出折疊后長方體的形狀，由此確定長方體的長、寬、高的位置；三是引導學生再次回到展開圖，發(fā)現(xiàn)20厘米可以看成是2條長加2條寬（或高）的和，從而求得長方體的長。在此過程中，由于學生直接觀察和確定寬和高有點困難，于是產(chǎn)生了強烈的認知沖突，借助空間想象實現(xiàn)二維平面圖向三維立體圖的轉換顯得水到渠成，通過想象確定長方體的長、寬、高的位置后，再次回到展開圖來探討20厘米的構成，有效地突破了學生理解上的障礙，實現(xiàn)了數(shù)學意義的自我構建。

三、 進行回顧反思，體驗空間想象的數(shù)學價值，感悟思想方法

在教學實踐中，筆者發(fā)現(xiàn)學生對需要空間想象的數(shù)學問題往往比較害怕，在獨立解題時自主展開空間想象也有困難。這也從另一個側面反映出當下數(shù)學課堂教學的困境：注重數(shù)學分析、抽象、比較、概括等理性思維，而在學生空間想象力培養(yǎng)方面有所忽略。事實上，學生空間想象力的發(fā)展與學生的學習體驗密切相關，在教學中，教師要自覺引導學生想象和畫圖，再現(xiàn)相應的問題情境，借助圖形展開數(shù)學思考。同時，教師要引導學生不滿足于找到問題的答案，而應在得到“答案”后“回頭看”和“再思考”，體驗空間想象對問題解決的突破和推進作用，對問題解決過程中孕伏的數(shù)學思想方法進行總結和概括。

在上述案例中，教師組織學生回顧解題過程，引導學生思考兩種解題方法的相同之處，以及解題過程中所蘊含的數(shù)學思想方法。進而發(fā)現(xiàn)，兩種方法都是根據(jù)已知條件尋找20厘米與長方體的棱之間的關系，而這一關系的獲得必須由展開圖想象折疊后的立體圖形，進一步體驗想象在解題過程中的重要性。同時，教師還可引導學生對比自己解題中的錯誤，分析自己出現(xiàn)錯誤的原因，解題后在題目的旁邊進行批注，記錄下解題的思想方法和解題要點，體驗數(shù)學思想方法的價值。

參考文獻

[1] 鮑建生，周超.數(shù)學學習的心理基礎與過程[M].上海：上海教育出版社，2009.

【責任編輯：陳國慶】