石利丹

笛卡爾的方程思想是：實(shí)際問(wèn)題→數(shù)學(xué)問(wèn)題→代數(shù)問(wèn)題→方程問(wèn)題。我們知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值問(wèn)題是通過(guò)解方程來(lái)實(shí)現(xiàn)的；不等式問(wèn)題也與方程密切相關(guān)的。

方程思想，是從問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系入手，運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言將問(wèn)題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型（方程、不等式、或方程與不等式的混合組），將問(wèn)題中的已知量和未知量之間的數(shù)量關(guān)系通過(guò)適當(dāng)設(shè)元建立起方程（組），然后通過(guò)解方程（組）或不等式（組）來(lái)使問(wèn)題獲解的思維方式。有時(shí)，還實(shí)現(xiàn)函數(shù)與方程的互相轉(zhuǎn)化。這種思想在代數(shù)、幾何中有著廣泛的應(yīng)用。

一、方程思想在代數(shù)中的應(yīng)用

1.方程思想與整式的結(jié)合

【典例分析】若最簡(jiǎn)根式與根式是同類(lèi)二次根式，求a，b.

分析：利用同類(lèi)二次根式的定義可以得到根指數(shù)相等和被開(kāi)方數(shù)相等的信息。從而列出一個(gè)關(guān)于a、b的二元一次方程組解得a、b。

2.方程思想與勾股定理的結(jié)合

【典例分析】小宇手里有一張直角三角形紙片ABC，他無(wú)意中將直角邊AC折疊了一下，恰好使AC落在斜邊AB上，且C點(diǎn)與E點(diǎn)重合，（如圖）小宇經(jīng)過(guò)測(cè)量得知兩直角邊AC=6cm，BC=8cm，他想用所學(xué)知識(shí)求出CD的長(zhǎng)，你能幫他嗎？

分析：此題以△BED為直角三角形作為隱含條件，先由勾股定理求得AB=10cm，設(shè)CD=xcm，則DE=xcm，在Rt△BED中，借助勾股定理建立方程。

∵BD=（8-x）cm，BE=4cm，

∴，

解得x=3，即CD=3cm。

3.方程思想與函數(shù)的結(jié)合

方程與函數(shù)本身就有必然的聯(lián)系，函數(shù)本身就可以看成一個(gè)方程，因此方程與函數(shù)有著相同的思路和解題方法，都是通過(guò)建立相等關(guān)系，求出未知數(shù)的值，因此函數(shù)問(wèn)題的關(guān)鍵就是找出相等關(guān)系，建立變量之間的等量關(guān)系求解，要求對(duì)變量所涉及的相關(guān)知識(shí)要比較熟練，這是輕松求解函數(shù)問(wèn)題的必要基礎(chǔ)。

【典例分析】如圖，A、B分別是x軸上位于原點(diǎn)左右兩側(cè)的點(diǎn)，點(diǎn)P（2，p）在第一象限，直線(xiàn)PA交y軸于點(diǎn)C（0，2），直線(xiàn)PB交y軸于點(diǎn)D，△AOP的面積為6；

求△COP的面積；

求點(diǎn)A的坐標(biāo)及p的值；

△BOP與△DOP的面積相等，求直線(xiàn)BD的函數(shù)解析式。

分析：①首先利用C點(diǎn)坐標(biāo)和P點(diǎn)坐標(biāo)，求得SΔCOP=。②利用△AOP的面積和△COP的面積可知△AOC的面積，從而求得A（-4，0）；再利用用待定系數(shù)法求得直線(xiàn)AC的解析式，將P點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入解析式，求出P點(diǎn)縱坐標(biāo)；③設(shè)出D（0，m），利用△BOP與△DOP的面積相等列出關(guān)于m的方程，通過(guò)解方程求出m的值；再利用用待定系數(shù)法求得直線(xiàn)BD的解析式，

此類(lèi)問(wèn)題常見(jiàn)的形式和解題方法是：①用待定系數(shù)法列出關(guān)于函數(shù)解析中待定系數(shù)的方程（組），通過(guò)解方程（組）求出特定系數(shù)的值。

4.方程思想與解直角三角形的結(jié)合

解直角三角形是介于代數(shù)與幾何之間的一部分內(nèi)容，是充分體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的典型，這部分更應(yīng)該建立相等關(guān)系，建立方程求出未知數(shù)的值。

【典例分析】（2011廣東汕頭，）如圖，小明家在A處，門(mén)前有一口池塘，隔著池塘有一條公路l，AB是A到l的小路。現(xiàn)新修一條路AC到公路l.小明測(cè)量出∠ACD=30°，∠ABD=45°，BC=50m.請(qǐng)你幫小明計(jì)算他家到公路l的距離AD的長(zhǎng)度（精確到0.1m；）

【解】設(shè)小明家到公路l的距離AD的長(zhǎng)度為xm.

在Rt△ABD中，

∵∠ABD=，∴BD=AD=x

在Rt△ABD中，

∵∠ACD=，

∴，即

解得

小明家到公路l的距離AD的長(zhǎng)度約為68.2m.

解題的主要方法：（1）利用勾股定理建立方程 （2）利用三角函數(shù)建立等量關(guān)系， （3）利用圖形的性質(zhì)建立等量關(guān)系 。

5.方程思想與實(shí)際問(wèn)題

【典例分析】某商場(chǎng)銷(xiāo)售一批名牌襯衫，平均每天可售出20件，每件贏利40元，為了擴(kuò)大銷(xiāo)售，增加贏利，盡快減少庫(kù)存，商場(chǎng)決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衫每降價(jià)1元，商場(chǎng)平均每天可多售出2件。 求：（1）若商場(chǎng)平均每天要贏利1200元，每件襯衫應(yīng)降價(jià)多少元？

總利潤(rùn)=每件利潤(rùn)×銷(xiāo)售量.設(shè)每天利潤(rùn)為w元，每件襯衫應(yīng)降價(jià)x元，據(jù)題意可得利潤(rùn)表達(dá)式，再求當(dāng)w=1200時(shí)x的值；

解：設(shè)每天利潤(rùn)為w元，每件襯衫降價(jià)x元，根據(jù)題意得

（1）當(dāng)w=1200時(shí)，，解之得.根據(jù)題意要盡快減少庫(kù)存，所以應(yīng)降價(jià)20元.

答：每件襯衫應(yīng)降價(jià)20元.

二、方程思想在幾何中得應(yīng)用。

數(shù)與形的結(jié)合歷來(lái)都是公認(rèn)的求解數(shù)學(xué)問(wèn)題的理想方法，它會(huì)使抽象的問(wèn)題具體化，復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，幾何方面的計(jì)算題便是求某些未知數(shù)的值，都可用方程的觀(guān)點(diǎn)去解決，一般一個(gè)未知數(shù)列一個(gè)方程，兩個(gè)未知數(shù)列兩個(gè)方程.這類(lèi)問(wèn)題與例方程解應(yīng)用題一樣，要找出試題中所建立相等關(guān)系條件（也就是找出其中的相等關(guān)系），設(shè)適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)建立方程求解，當(dāng)然有的題目相等關(guān)系很容易找，而有的題目相等關(guān)系需要讀者必須具備分析問(wèn)題和解決知識(shí)的能力才能從中挖掘出來(lái)，也就是要有一定的數(shù)學(xué)解題能力，現(xiàn)在就不同的內(nèi)容怎么樣建立方程解決問(wèn)題做一些講解和分析。

1.方程思想與三角形中的結(jié)合

【典例分析】如圖，D是△ABC的BC邊上一點(diǎn)，且∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°，求∠DAC的度數(shù).

解題思路：可設(shè)∠1=x，則∠2=x，利用外角性質(zhì)∠3=∠4=2x，然后在△ABC中利用三角形內(nèi)角和找到等量關(guān)系，列出方程：，解得：x=39°，最后得出：∠DAC=24°.

2.方程思想與相似三角形結(jié)合

【典例分析】如圖，△ABC，是一張銳角三角形的硬紙片，AD是邊BC上的高，BC=40cm，AD=30cm，從這張硬紙片上剪下一個(gè)長(zhǎng)HG是寬HE的2倍的矩形EFGH，使它的一邊EF在BC上，頂點(diǎn)G、H分別在AC，AB上，AD與HG的交點(diǎn)為M.

求證：

求這個(gè)矩形EFGH的周長(zhǎng).

解：∵四邊形EFGH為矩形

∴EF∥GH

∴∠AHG=∠ABC

又∵∠HAG=∠BAC

∴ △AHG∽△ABC ∴

（2）由（1）得設(shè)HE=x，則HG=2x，AM=AD-DM=AD-HE=30-x

可得=，解得，x=12 ， 2x=24

所以矩形EFGH的周長(zhǎng)為2×（12+24）=72cm.

主要運(yùn)用相似三角形對(duì)應(yīng)高之比等于相似比.設(shè)出HE為x，建立等量關(guān)系。