張思明

2016年即將推出的新修訂的高中數(shù)學課程標準，最突出的變化是突出了“立德樹人”的根本要求，在學科課程的學習中，通過落實學科核心素養(yǎng)的教與學來培養(yǎng)人和發(fā)展人。

數(shù)學核心素養(yǎng)是具有數(shù)學基本特征的、后天形成的、可以通過數(shù)學學習過程培養(yǎng)的、適應個人終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的關鍵能力與思維品質，包括數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算和數(shù)據(jù)分析。這些數(shù)學核心素養(yǎng)既有獨立性，又相互交融，形成了一個有機整體。

作為數(shù)學核心素養(yǎng)之一，數(shù)學建模是對現(xiàn)實問題進行數(shù)學抽象，用數(shù)學語言表達問題、用數(shù)學知識與方法構建模型解決問題的過程，主要包括：在實際情境中，從數(shù)學的視角發(fā)現(xiàn)問題，提出問題，分析問題，建立模型，求解結論，驗證結果并改進模型，最終解決實際問題。

數(shù)學模型搭建了數(shù)學與外部世界的橋梁，是數(shù)學應用的重要形式。它是應用數(shù)學解決實際問題的基本手段，也是推動數(shù)學發(fā)展的動力。

高中數(shù)學課程標準指出，通過高中數(shù)學課程的學習，學生能感悟數(shù)學與現(xiàn)實之間的關聯(lián)，學會用數(shù)學模型解決實際問題，積累數(shù)學實踐的經(jīng)驗；加深對數(shù)學內(nèi)容的理解；學會交流與合作；提升應用能力，增強創(chuàng)新意識和科學精神；認識數(shù)學建模在解決科學、社會、工程技術等問題中的作用。新的課程標準不僅對提升數(shù)學建模素養(yǎng)提出要求，而且進一步給出課時和學業(yè)質量標準方面的要求。

作為一線教師，如何將提升學生數(shù)學建模素養(yǎng)的要求落實在日常教學中呢？數(shù)學建模素養(yǎng)的形成，需要過程，需要積累，需要交流和反思，也需要問題和情境。為此，在具體教學中要特別注意以下幾點。

1.提高認識，勇于實踐

在上一輪的課程改革中，數(shù)學建模已經(jīng)被寫入高中課程標準，但由于沒有課時安排、教學資源匱乏等，并未實際進入課堂。近幾年，由于數(shù)學和數(shù)學應用的快速發(fā)展，數(shù)學建模成為大學理工科和部分文科專業(yè)的必修內(nèi)容，成為創(chuàng)新人才培養(yǎng)的有效途徑，成為改變學生學習方式、提升創(chuàng)新精神和實踐能力的有效手段，因而不斷得到重視。

通過已有的建模實踐，我們也深刻地感受到數(shù)學建模能很好地表現(xiàn)出“立德樹人”的要求。做建模的過程，是教師和學生一起成長的過程。團隊中的很多教師有這樣的感受，困難是暫時的，資源和經(jīng)驗是在參與中快速增長的，而學生的成長變化是每日可見的，是我們做建模的動力源。

2.把握層次，及時滲透

數(shù)學建模是新課標的核心素養(yǎng)，具有很強的綜合性，與其他核心素養(yǎng)聯(lián)系緊密、相互交融。數(shù)學建模素養(yǎng)的養(yǎng)成，需要一個漸進的而又有層次的過程，需要在各章節(jié)及內(nèi)容上有意滲透，逐漸提升要求。因此，從數(shù)學應用滲透到完整的數(shù)學建模活動，包括以下層次：

（1）為了幫助學生理解、建立概念、函數(shù)、定理、公式等而有意設計的實際情境。（2）直接套用數(shù)學概念、函數(shù)、定理、公式等，給出有實際意義的結果，或者解釋、說明、得到結果的實際意義。（3）通過簡單的變換，間接套用數(shù)學概念、函數(shù)、定理、公式等，給出有實際意義的結果。（4）教師或教材給出實際問題，引領學生完成數(shù)學化的，簡單、具體的數(shù)學應用。（5）教師或教材給出實際問題，學生自主完成數(shù)學化的，簡單、具體的數(shù)學應用。（6）教師或教材給出問題情境，學生自主提出實際問題，師生一起完成“建立模型”和“模型求解”等主要過程的數(shù)學活動。（7）全過程（選題、開題、做題、結題）、學生部分自主（在發(fā)現(xiàn)提出問題、模型的選擇和建立、求解模型、給出模型結果的解釋等環(huán)節(jié)中，教師部分參與，給予指導和支持）的數(shù)學建模活動。（8）全過程、全自主（學生自主發(fā)現(xiàn)提出問題，自主完成數(shù)學化的建模過程，自主求解模型，自主給出模型結果的解釋，在整個過程中，可以自主尋求教師的幫助）的數(shù)學建?；顒印?img alt="" src="https://cimg.fx361.com/images/2021/06/20/qkimageszgjszgjs201609zgjs20160914-1-l.jpg"/>

作為一線教師，應在日常教學中有意完成（1）（2）（3）（4）的內(nèi)容，可以在章節(jié)復習中出現(xiàn)（5）的要求。

（6）（7）（8）是數(shù)學建模的專項要求，教材中會有體現(xiàn)，教師可根據(jù)學生的情況，選擇做到一定程度，如可以只做到（6）的水平。

此外，做好數(shù)學建模滲透，也要有意識地抓住“滲透點”。例如：（1）指數(shù)函數(shù)—人口增長、指數(shù)爆炸。（2）有實際背景和意義的函數(shù)圖像。（3）數(shù)列的通項與求和—存款的本金和利息的計算。（4）分段函數(shù)—郵費或打車費用的計算。（5）三角函數(shù)的應用—有實際意義的高度、距離和角度的計算。（6）有實際意義的三角函數(shù)值、周期的計算或解釋。（7）直線和二次曲線的實際意義（拱橋曲線、入射線、反射線等）……

3.關注過程，積累資源

高中數(shù)學課程標準對“數(shù)學建?；顒印碧岢隽诉^程的要求，主要是指建模要以課題研究的形式來開展。課題可由教師給定，也可由學生與教師協(xié)商確定。課題研究的過程，包括選題、開題、做題、結題四個環(huán)節(jié)。學生要撰寫開題報告，教師要組織開展開題交流活動。開題報告包括選題的意義、文獻綜述、解決問題思路、研究計劃、預期結果等；做題就是解決問題的過程，包括描述問題、數(shù)學表達、建立模型、求解模型、得到結論、反思完善等過程；結題包括撰寫研究報告和報告研究結果，由教師組織學生開展結題答辯。根據(jù)選題內(nèi)容，報告可以采用專題作業(yè)、測量報告、算法程序、制作實物或研究論文等多種形式，而且學生也可以采取獨立的方式或者小組合作的方式，完成課題研究。學生的開題、解題報告，都是不可多得的建模再學習的資源，值得我們分析和挖掘。

本文主要通過一組教學案例來表現(xiàn)以上的想法。

建模活動案例1：蚊香問題的開題討論

問題情境：市場中所賣某品牌的一片蚊香如圖1所示。它的俯視外觀圖是一個近似的中心對稱圖形，我們也稱這片蚊香的過對稱中心的弦為“直徑”。經(jīng)測量，最大直徑長為119毫米，最小直徑長為106毫米。這一片蚊香可以打開、拆成形狀一樣但旋轉方向相反的兩盤蚊香。

問：（1）每盤蚊香大致可以燃燒多長時間（精確到0.1小時）？

（2）如果市場上需要此種品牌的持續(xù)燃燒時間分別為4小時、8小時、10小時的蚊香，分別計算它們對應的蚊香片的最大直徑（精確到1毫米）。

過程簡介：

（1）學生提供上網(wǎng)檢索，或者自己購買一片蚊香做燃燒實驗。經(jīng)過實驗，發(fā)現(xiàn)該蚊香的燃燒速度約為每小時 12 厘米。（2）開題。教師組織學生個人或小組討論后，讓學生努力給出解決問題的技術路線，在班內(nèi)交流解決問題的大體思路，互相啟發(fā)，互相質疑，從而提高解決問題的可行性。

教師給學生比較充分的時間和機會表達不同的想法，學生會提出確定蚊香長度的各種模型和算法，此時教師應要求學生比較優(yōu)劣，主要想法如表1所示。

做題、結題環(huán)節(jié)從略。

說明：

這個案例是教師給出確定問題，用選題、開題、做題、結題四個環(huán)節(jié)來推進數(shù)學建?；顒拥囊粋€案例。案例的重點是：表現(xiàn)學生在“開題”環(huán)節(jié)試圖解決此問題的不同思考。為了保證數(shù)學建模的效果，應特別注重過程和活動的設計，防止變成“講練范式”，保障學生在建模過程中獨立思考的機會和權利。

建?；顒影咐?：學校內(nèi)、外建筑物的測高

目的：通過測量學校內(nèi)的可及目標（旗桿和教學樓的高）和校外的不可及目標（如校外鄰近的一座寫字樓）的高度，讓學生通過分組、合作學習，用選題、開題、做題、結題四環(huán)節(jié)，結合幾何或三角知識解決實際測高問題，體驗數(shù)學建?；顒拥囊粋€完整過程。

情境（測量任務）：

測量本校一座教學樓的高度；測量本校旗桿的高度；測量學校墻外的一座不可及但在學校操場上可以看見的高大寫字樓（或其他可見的高大建筑）的高度。要求學生組成2～3人的測量小組，以小組為單位完成實際測量的數(shù)據(jù)獲取，以個人為單位填寫測量報告（含測量方法、計算過程和計算的數(shù)據(jù)和結果）。

活動過程：

（1）選題：由教師給出原始問題

教師可以對學生提出如下的要求和建議：①成立工作小組，討論小組的工作目標、分工，準備相應的測量工具（可以自制一些簡單的測量工具，如測角的工具）。②測量之前，應通過小組成員間的“頭腦風暴”，討論交流，明確測量方案，分工測量數(shù)據(jù)。最好有兩套方案測量同一建筑物，思考如何才能減小誤差。查閱有關資料，設法發(fā)現(xiàn)并提出一些測量效率高的新方法。③分工合作，完成實際測量，及時記錄好測量數(shù)據(jù)。④完成計算和報告，在課上交流，可用實物、照片、模型、PPT等形式表現(xiàn)小組成果和創(chuàng)意。

（2）開題：交流

組織課堂上的開題交流，讓學生分組討論自己打算采用的測量方法，教師和其他同學可以提出質疑。例如，有的學生提出可以通過測量仰角來計算高度，有的學生提出可以利用太陽的影子來測量樓或旗桿的高度，有的學生提出可以用照相機拍一張測量對象和參照物如已知身高的人在一起的照片，通過參照物的高度按比例算出樓的高度……這時教師要適時追問、相互探討，讓學生明確測量要用到的數(shù)學模型，培養(yǎng)他們的良好的思維習慣和科研習慣。

事先認真思考，可以減少實踐過程中的盲目、低效和失誤，也可以讓學生意識到看似簡單的問題中也有不少需要認真思考的事物。

（3）做題：實測

①測量實施的地點可以選擇學校內(nèi)外的開闊地帶，如操場、停車場等，要求學生合作完成，但應獨立地填寫“測量報告”。可安排在統(tǒng)一的時間，這對教師的現(xiàn)場觀察和管理有利。

②在學生測量過程中，教師要認真巡視，發(fā)現(xiàn)和記錄態(tài)度認真、合作默契、測量方法好的測量小組和個人，特別注意觀察和發(fā)現(xiàn)測量中的問題。不合理的測量方法，會造成測量結果出現(xiàn)很大的誤差和嚴重失實。當學生出現(xiàn)類似問題時，教師要把它看成一個極好的教育契機，讓學生對出現(xiàn)這樣問題的原因進行分析和反思，引導他們發(fā)現(xiàn)問題，尋求解決問題的辦法。而且，教師要仔細觀察，認真記錄測量現(xiàn)場學生比較好的創(chuàng)意和測量中的問題，以供講評時使用。

（4）結題交流和評價

在學生完成“測量報告”后，可安排一次交流講評活動，安排報告的學生最好有特點，如測量結果準確、測量過程完整清晰、測量方法有創(chuàng)意、誤差處理有手段、報告書寫認真到位……實際上，這種交流講評的環(huán)節(jié)往往是數(shù)學建模過程中讓學生收獲最大的環(huán)節(jié)。

（5）生成可拓展的資源（師生共同提出測量后的拓展問題）

這樣的測量方法，對嗎？全班中有一多半的學生，采用照相法測旗桿的高。要點如下：讓一個已知身高1.8米的A學生站在旗桿下，拍一張照片，再從照片上“量出”旗桿有7個A學生的身高，于是就可以推斷旗桿有7×1.8=12.6米高。如果正確，為什么，原理是什么？如果不對，為什么，如何矯正？

以下是測量后學生提出的新問題，同樣可以成為建模的新的生成性資源。

①本市的最高建筑物—電視塔的高度是多少米？

②一座高度為H米的電視塔，它的信號傳播半徑是多少千米？信號覆蓋面積有多大？

③找一張北京市的地圖，看一看該市的地域面積有多少平方千米？電視塔的位置在地圖的什么地方，根據(jù)計算得到的數(shù)據(jù)，看看這座電視塔發(fā)出的電視信號是否可以覆蓋該市？

……

分析：

測量樓高是一個很傳統(tǒng)的數(shù)學應用問題，該課題對培養(yǎng)學生分析和解決問題、動手實踐、誤差分析等能力很有好處。測量的模型方法可以以幾何為主，如比例線段、相似形等，也可以用三角方法，甚至可以用物理方法，如自由落體的記時、幾何光學的雙鏡法等。因此，教師應鼓勵學生合作學習，自主設計、選擇測量方法解決問題。也可以提出這樣的要求，用兩種不同的方法測量同一對象。

此案例是教師給出確定問題，內(nèi)容貼近學生已經(jīng)學過的知識，比較容易上手。不用“講練”模式，而用選題、開題、做題、結題四環(huán)節(jié)來推進建?；顒樱菫榱藢W生能有效地參與解決問題的過程。在合作交流中，通過想一想、選一選、議一議、說一說、做一做、講一講、評一評、比一比等形式，做中學，學中做，體會數(shù)學的應用價值，展現(xiàn)個性特長，嘗試創(chuàng)新。

通過建模案例，我們可以看到，要善于設計和組織有效的數(shù)學建模活動，讓學生“卷入、投入、深入”其中，在活動中展示個性特長，表現(xiàn)智慧和創(chuàng)造力，激發(fā)興趣，提升素養(yǎng)，更好地理解數(shù)學的作用和價值。

責任編輯：孫建輝