王金萍，趙忠蓋，劉飛（江南大學輕工過程先進控制教育部重點實驗室，江蘇 無錫 214122）

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一種融合無時滯測量值和含時滯測量值的狀態(tài)估計方法

王金萍，趙忠蓋，劉飛
（江南大學輕工過程先進控制教育部重點實驗室，江蘇 無錫 214122）

摘要：在很多工業(yè)過程中，常?？色@得兩種測量數(shù)據(jù)，無時滯測量值和含時滯測量值，其中，無時滯測量值直接由傳感器在線測得，即時卻精度較低，含時滯測量值通過人工實驗分析離線得到，精度高卻有時滯。引入狀態(tài)增廣卡爾曼濾波法對上述兩種數(shù)據(jù)進行融合以估計當前狀態(tài)值?？紤]到無時滯測量值建立的在線軟測量模型存在不可避免的模型不匹配問題，引入模型偏差作為待估計狀態(tài)，通過離線測量值對其進行估計，從而實現(xiàn)對在線軟測量模型的校正。最后將所提方法運用到線性化的非線性二元蒸餾塔模型中估計填料壓板各成分濃度，取得了良好效果。

關(guān)鍵詞：時滯；狀態(tài)增廣卡爾曼濾波；測量模型；校正；蒸餾塔

2015-12-11收到初稿，2015-12-21收到修改稿。

聯(lián)系人：趙忠蓋。第一作者：王金萍（1989—），女，碩士研究生。

引 言

很多工業(yè)過程中，通?？色@得在線測量值和離線測量值。在不同工業(yè)過程中，在線測量值和離線測量值所代表的意義、精度和實時性也不同。在線測量值可分為兩種，直接在線測量值，如常規(guī)變量流量、液位等，和可通過間接計算得到的變量，即間接在線測量值，如濃度或成分，直接測量會有些困難，可以通過在線分析儀進行測量，但是會有一定時間的滯后，還可以通過測量溫度、流量等間接變量，建立軟測量模型，計算得到所需要測量的變量[1-3]。本文所指在線測量值即為無時滯的間接在線測量值，通過建立軟測量模型計算得到所需要測量的變量。這類在線測量值由傳感器檢測得到，有規(guī)律、采樣周期小且無時滯，但是測量精度較低。離線測量值無法由傳感器直接檢測，需要通過人工檢測分析得到，無規(guī)律、采樣周期大且含時滯，測量精度較高。例如，在蒸餾塔中，蒸餾物和底物的成分經(jīng)常需要實驗分析才能得到，而填料壓板的溫度則可以通過傳感器直接測量得到[4-5]。雖然蒸餾物和底物的成分也可以通過填料壓板的溫度間接估計，但估計值通常會受到模型誤差、傳感器偏差或者非模型干擾等問題的影響，得到的估計值效果不好，而離線分析得到的測量值更為準確但含有滯后，主要由采樣產(chǎn)生的時間滯后與人工檢測分析產(chǎn)生的化驗滯后組成。在這種情況下，針對兩種測量值進行融合以得到精確度更高的狀態(tài)值已成為焦點問題。在工業(yè)過程中，常常存在無法在線測量的關(guān)鍵變量，可以建立軟測量模型利用一些可直接測量的輔助變量進行計算?？柭鼮V波法已成為現(xiàn)今工業(yè)過程中應用最廣泛的狀態(tài)估計方法[6]，然而，簡單的卡爾曼濾波器公式只能應用于沒有延時的標準系統(tǒng)。

對于含滯后的測量值，Alexander[7]提出了一種序列化處理時滯測量值的方法，該方法利用滯后測量值對濾波器的估計進行修正，Larsen等[8]對上述方法進行了擴展與延伸，該方法可以解決采樣的滯后測量值測量誤差協(xié)方差不確定的情況。含滯后的多采樣率估計值也經(jīng)常會用狀態(tài)增廣來處理。Gudi 等[9-10]在發(fā)酵過程的生物反應器中應用了帶延遲測量值的多采樣率狀態(tài)估計技術(shù)。在過程系統(tǒng)中，狀態(tài)增廣卡爾曼濾波算法[11]只是進行了簡單的狀態(tài)增廣，增益矩陣進行相應改變，即可轉(zhuǎn)換為標準的狀態(tài)空間模型，實現(xiàn)比較簡單。

但是，軟測量模型存在不可避免的模型不匹配，即存在模型偏差，需要對在線軟測量模型進行校正[12]。Shao等[13]和Deng等[14]分別介紹了用貝葉斯方法和期望最大化法對模型參數(shù)進行校正，彭小奇等[15]提出構(gòu)建軟測量模型性能評價指標來判斷是否需要校正并根據(jù)情況進行自適應校正，但是這類方法僅能用于無延時模型的校正。

本文考慮離線采樣間隔存在無規(guī)律性，首先利用狀態(tài)增廣卡爾曼濾波算法將無時滯測量值與含時滯測量值進行融合，估計當前狀態(tài)值，并在狀態(tài)增廣卡爾曼濾波算法的基礎上，在離線測量值到達后對在線軟測量模型進行校正，得到更為精確的軟測量模型，以降低模型不匹配對估計值的不利影響。

1 狀態(tài)估計問題描述

本章節(jié)首先對離散線性系統(tǒng)的標準卡爾曼濾波器進行描述，然后對含有在線測量值和含滯后的離線測量值的狀態(tài)空間模型進行描述及分析。

1.1 標準卡爾曼濾波

離散線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型如下

式中，Pk、Kk分別為狀態(tài)誤差協(xié)方差和卡爾曼濾波增益。

1.2 含滯后狀態(tài)空間模型

圖1 含時滯測量值的系統(tǒng)Fig.1 System with measurements with time delay

在線測量值與含滯后離線測量值測量時間與測量到達時間的關(guān)系如圖1所示。其中，k為當前測量時間，表示在線測量值，表示離線測量值，，s表示離線采樣時間。在線測量值沒有滯后且采樣周期小，使用垂直箭頭表示。離線測量值在s時刻采樣后，需進行人工實驗分析，化驗結(jié)果經(jīng)過ds個采樣間隔才能獲得，使用虛線箭頭表示，且離線測量值的采樣周期大，在s時刻采樣后，下一個采樣點為s+ ms，ms為兩個離線采樣點的間隔數(shù)量。由于離線采樣不規(guī)律，即ms為不定值，且采樣之后要經(jīng)過人工實驗分析才能得到，即ds也為不定值。通常只有在線測量值的時刻稱為次要時刻，在線測量值與離線測量值同時到達的時刻稱為主要時刻[4]。

由圖1中測量時間與測量達到時間的關(guān)系，可以得到含時滯測量值的狀態(tài)空間模型

由于模型中含有時滯，無法直接利用式（3）～式（7）進行計算，而狀態(tài)增廣卡爾曼算法則可通過對狀態(tài)的增廣，將模型式（8）～式（10）轉(zhuǎn)化成模型式（1）～式（2）的形式，即可直接利用式（3）～式（7）進行計算，估計出當前狀態(tài)值，方法簡便，應用性強。

2 含時滯的狀態(tài)估計

本文進行含時滯的狀態(tài)估計所用方法為狀態(tài)增廣卡爾曼濾波算法。滯后的離線測量值不僅影響著它本身采樣點s時刻的狀態(tài)估計值，還影響了s時刻之后一直到s+ ds時刻的狀態(tài)估計值，將離線測量值到達時的狀態(tài)設為當前時刻和過去ds個狀態(tài)的增廣，狀態(tài)增廣向量為

增廣狀態(tài)空間模型為

其中

上述狀態(tài)空間模型已經(jīng)轉(zhuǎn)換為標準的狀態(tài)空間模型，可以直接用卡爾曼濾波公式[式（3）～式（7）]進行狀態(tài)估計，可以得到估計值為

實際操作中，離線測量值是需要經(jīng)過人工實驗分析才能得到，操作時間具有不確定性，即離線測量值的滯后時間不確定，采用可能產(chǎn)生的最大滯后時間dmax來對系統(tǒng)進行增廣，而一旦測量值得到之后ds也就確定了，，測量方程也能隨之作相應調(diào)整。本方法最大優(yōu)點為，將狀態(tài)矩陣及其他增益矩陣做了相應增廣之后就能使用標準的卡爾曼公式進行計算。

3 在線模型校正

本章節(jié)描述因在線軟測量模型所存在的不可避免的模型誤差對狀態(tài)估計值的不利影響，本文提出利用離線測量值對在線軟測量模型進行校正的方法。

3.1 在線模型校正的必要性

在工業(yè)過程中，常常存在一些無法用傳感器直接測得的變量，如某種物質(zhì)的濃度或組成，因此需要借助一些傳感器可直接測量的變量，即輔助變量，如溫度、壓力、流量、溶氧量或pH等，通過建立相對應的軟測量模型來間接獲得。然而，所建立的軟測量模型會存在無法避免的模型誤差，且會隨著生產(chǎn)過程的進行而不斷發(fā)生變化，下面通過一個簡單示例展示一下當存在模型誤差時，所得到估計狀態(tài)的結(jié)果。

有狀態(tài)空間模型如下

模型偏差未知，進行狀態(tài)估計時仍然采用模型(16)，從而得到狀態(tài)真實值與估計值結(jié)果如圖2所示。

從圖2可以看出，模型偏差的存在，使所求狀態(tài)真實值與估計值之間的差距逐漸加大，需要對軟測量模型進行適時的校正，以得到更好的估計結(jié)果。

3.2 在線模型校正

由3.1節(jié)可知，為降低因模型偏差所帶來的不利影響，需要對在線模型進行適時的校正，而在本文所介紹的模型中，校正所包含的測量信息包括在線測量值和離線實驗分析數(shù)據(jù)。而離線分析數(shù)據(jù)的準確性更高，當離線實驗分析數(shù)據(jù)得到之后，再對在線軟測量模型進行校正。模型偏差項bk未知且不斷變化，也作為待估計的狀態(tài)出現(xiàn)，且只有當離線實驗分析數(shù)據(jù)到達之后再對bk進行校正，bk只有在到達的時刻才作為待估計的狀態(tài)出現(xiàn)，而在只有在線測量值的時候作為常量進行計算，在線模型校正與離線數(shù)據(jù)滯后并存的狀態(tài)空間模型如式（18）～式（21）

圖2 模型存在偏差時的估計效果Fig.2 Estimation effects when model has deviation

其狀態(tài)空間模型如下

其中

然而，離線測量值帶有一定的滯后，bk能否可觀測到仍存有疑問，因此首先需要對系統(tǒng)的能觀性進行判斷，如系統(tǒng)完全可觀，即xk與bk均可觀，則可對在線測量模型進行校正，否則將無法進行校正。

對標準模型即式（1）、式（2），x完全能觀的充要條件是nm×n矩陣

的秩為n[17]，N為能觀性矩陣。

對在線模型較真與離線數(shù)據(jù)滯后并存的狀態(tài)空間模型，即式（18）～式（21），其變換后的標準狀態(tài)空間模型為式（23）～式（24），，完全能觀的充要條件為[(n+ m )×1矩陣

若

4 實例仿真

在這部分，將引用兩個例子來說明本文介紹方法的優(yōu)點，一個是對3.1節(jié)中所介紹的模型進行校正后的估計效果，另一個是采用線性化的非線性二元蒸餾塔模型[2]。蒸餾塔模型分為兩種情況進行仿真，一種是不考慮模型偏差，直接利用狀態(tài)增廣卡爾曼濾波法進行估計，另一種是考慮模型偏差，對在線模型進行校正。

4.1 數(shù)字算例仿真

由3.1節(jié)可以知道，模型偏差的存在，狀態(tài)真實值與估計值間的差距較大，現(xiàn)采用3.2節(jié)中所介紹的方法對在線模型進行校正，引入模型偏差bk，其噪聲的協(xié)方差Qb較大，設定為Qb= I，校正后的估計效果如圖3所示。

由圖3可以看出，校正后的估計值更加接近真實值，校正后估計效果改善較多。通常可以采用均方根誤差值(RMSE)來評判方法的有效性。無校正與校正后估計值與真實值的均方根誤差值分別為RMSE1和RMSE2，如表1所示。由表1可以更客觀地看出利用離線測量值對在線測量模型進行校正后估計效果更加良好。

4.2 蒸餾塔模型仿真

圖3 模型校正后的估計效果Fig.3 Estimation effects after online model is corrected

表1 在線模型無校正與有校正的RMSE值Table 1 RMSE values of online model with no correctionand after correction

圖4 多采樣率數(shù)據(jù)狀態(tài)估計Fig.4 State estimations with multiple sampling rates

首先只考慮不需要進行校正的情況，這時有兩種情況，即只有在線檢測值進行估計及考慮在線檢測值、含滯后的離線分析數(shù)據(jù)共同作用的情況。假設樣本總數(shù)為100，而離線采樣點間隔為ms=6，滯后時間ds=5，其仿真效果如圖4所示。

由圖4可看出，當只有在線測量值時，估計值在30個樣本點之后才接近真實值，而明顯地，在線測量值和含滯后的離線分析值共同作用時，估計值會更快地接近真實值。

同樣采用RMSE來評判所采用方法的有效性。RMSE3表示只有在線測量值進行估計時，估計值與真實值之間的均方根誤差，RMSE4表示在線測量值與離線分析值共同估計時估計值與真實值之間的均方根誤差。根據(jù)采樣間隔和滯后時間的不同，分為3組進行比較，分別是，、和、，其RMSE如表2所示。

表2 多采樣率狀態(tài)估計RMSE值Table 2 RMSE values of state estimation with multiple sampling rates

由表2可以看出，使用更為精確的離線分析值進行估計顯然比只有在線測量值估計的效果要好，而采樣間隔和滯后時間越小，估計結(jié)果越好，且采樣間隔對估計結(jié)果的影響比滯后時間對估計結(jié)果的影響要小。

現(xiàn)在來考慮需要校正的情況。首先應判斷xk與是否可觀測，由式（30）～式（32）可知，n =4，，假定則根據(jù)式（27）可計算出能觀性矩陣N（由于空間問題，此處簡略），經(jīng)判斷，N的秩為36，xk與bk是可觀測的，可以對在線模型進行校正。

利用3.2節(jié)中所述校正方法進行校正，此時，偏差項bk的噪聲的協(xié)方差較大，設定為Qb= I，仿真結(jié)果如圖5所示。由圖5可以看出，當沒有進行校正時，估計值會逐漸偏離真實值，進行校正后，估計值會基本接近真實值。

圖5 帶校正多采樣率狀態(tài)估計Fig.5 State estimations with multiple sampling rates after correction

同樣用RMSE來評判校正的效果，并采用3組不同的采樣間隔和滯后時間進行比較，RMSE5和RMSE6分別表示無校正和有校正的均方根誤差。其RMSE如表3所示。由表3可知，校正后的效果明顯比沒有校正的效果好，但相比于表2可知，由于不是每時每刻都在校正，其相應的RMSE要比沒有偏差的時候稍大。其采樣間隔和滯后時間對RMSE的影響同上述不需要進行校正的情況相同，在此不多贅述。

表3 帶校正多采樣率狀態(tài)估計RMSE值Table 3 RMSE values of state estimation with multiple sampling rates after correction

離線測量值不僅含有時滯，其采樣也無規(guī)律，采樣周期遠大于在線測量值。離線取樣由操作人員手工完成，其采樣間隔受操作人員的經(jīng)驗知識和過程的運行狀況決定。在有些運行階段，過程狀態(tài)變化小，離線取樣間隔往往較大，而在過程狀態(tài)變化較大的階段，取樣周期通常較小。此外，不同操作人員的經(jīng)驗知識存在差異，他們對過程運行狀態(tài)判斷有所不同。但是本文提出的算法考慮分有離線采樣數(shù)據(jù)和無離線采樣數(shù)據(jù)兩種情況設計，離線取樣的間隔僅對估計結(jié)果存在影響，采樣間隔小的時段估計結(jié)果較好，采樣間隔大的時段估計結(jié)果較差。

5 結(jié) 論

本文描述了利用狀態(tài)增廣卡爾曼濾波法對在線測量值和離線測量值進行狀態(tài)估計的方法，其中在線測量值為有規(guī)律、采樣周期小且無時滯的，離線測量值為無規(guī)律、采樣周期大且含有一定時滯的，并由于模型建立的不匹配及生產(chǎn)過程中產(chǎn)生的模型偏差會對狀態(tài)的估計有不利影響，利用離線測量值對在線軟測量模型進行校正。通過對蒸餾塔模型的仿真驗證了所采用方法的有效性，并根據(jù)采樣間隔和滯后時間不同所進行的仿真結(jié)果比較得知，采樣間隔和滯后時間越小，估計和校正效果越好，且采樣間隔對估計結(jié)果的影響比滯后時間對估計和校正效果的影響要小。

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研究論文

Received date: 2015-12-11.

Foundation item: supported by the National Natural Science Foundation of China (61573169, 61134007).

State estimation approach by incorporating measurements with delay-free and time delay

WANG Jinping, ZHAO Zhonggai, LIU Fei
(Key Laboratory of Advanced Process Control for Light Industry, Ministry of Education, Jiangnan University, Wuxi 214122, Jiangsu, China)

Abstract:In many industrial processes, in addition to the online measurements with delay-free and low inaccuracy, there exist delayed measurements accurately obtained by laboratory analysis. The augmented state Kalman filter is employed to estimate the state by incorporating both the delayed and the delay-free measurements. To overcome the model-plant mismatch of the online soft-sensor model built by the delay-free measurements, the model deviation is employed to update the soft-sensor model. To follow the model drift, the model deviation is treated as a state, and it will be estimated when the offline measurements arrive. In the end the proposed method is used to estimate the tray compositions in the linearized nonlinear binary distillation column model and obtains good results.

Key words:time delays; augmented Kalman filter; measurement model; update; distillation column

DOI：10.11949/j.issn.0438-1157.20151885

中圖分類號：TN 713.3；TP 274.2

文獻標志碼：A

文章編號：0438—1157（2016）03—0940—07

基金項目：國家自然科學基金項目（61573169）；國家自然科學重點基金項目（61134007）。

Corresponding author:Prof. ZHAO Zhonggai, gaizihao@jiangnan.edu.cn