☉江蘇省如皋市吳窯初中　夏紅蘭

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“整體觀”視角下的函數(shù)教學(xué)實踐——以“一次函數(shù)與方程（組）、不等式”教學(xué)為例

☉江蘇省如皋市吳窯初中夏紅蘭

一次函數(shù)是在一次方程（組）、一次不等式之后學(xué)習(xí)的，不僅需要用到之前的數(shù)式運算、方程不等式的解法基礎(chǔ)，而且可以從一次函數(shù)視角反觀方程（組）、不等式，獲得高觀點下的結(jié)構(gòu)認(rèn)識，使學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解更加深刻，特別是感受到數(shù)學(xué)知識、不同分支之間的關(guān)聯(lián)與和諧一致.基于上述認(rèn)識，筆者認(rèn)真設(shè)計了八年級“一次函數(shù)與方程（組）、不等式”新課教學(xué)，取得較為理想的教學(xué)效果，本文整理該課教學(xué)設(shè)計，并跟進(jìn)解讀教學(xué)立意，提供研討.

一、教學(xué)設(shè)計與意圖解讀

1.開課階段

復(fù)習(xí)提問：一次函數(shù)y=kx+b的圖像是什么？你在畫一次函數(shù)的圖像時有什么經(jīng)驗？

設(shè)計意圖：通過引入問題揭示本堂課所研究的內(nèi)容和一次函數(shù)的圖像有關(guān)，并為后續(xù)學(xué)習(xí)做好鋪墊.

2.新知探究

活動1：研究一次函數(shù)與一元一次方程的聯(lián)系.

問題2：觀察圖像，找出圖像與x軸交點的橫坐標(biāo)，并求對應(yīng)的方程x+1=0的解.

問題3：討論圖像與方程的解之間的聯(lián)系.

設(shè)計意圖：通過實踐、引導(dǎo)、對比，讓學(xué)生總結(jié)出一次函數(shù)與一元一次方程之間的聯(lián)系.

跟進(jìn)練習(xí)1：

（1）平面直角坐標(biāo)系中，直線y= kx+b與x、y軸的交點如圖1所示，則關(guān)于x的方程kx+b=0的解為（）.

A.x=2B.y=2

C.x=-1 D.y=-1

（2）方程3x+1=7的解是__________，若函數(shù)y=3x+1的函數(shù)值是7，則相應(yīng)的自變量x等于____________.

圖1

（3）函數(shù)y=-x+2的圖像如圖2，并利用圖像回答：

①當(dāng)x=-1時，對應(yīng)的y的值是____；

②當(dāng)y=1時，對應(yīng)的x的值是_____.

探究一次函數(shù)與不等式之間的聯(lián)系.

圖2

活動2：畫出函數(shù)y=2x-3的圖像，接著觀察圖像并回答下列問題：

問題1：x取何值時，y=0？問題2：x取何值時，y＞0？問題3：x取何值時，y＜0？

教學(xué)互動：學(xué)生作出函數(shù)圖像后觀察，先小組內(nèi)交流他們的解答，接著安排學(xué)生走上講臺全班展示，比如，以（1.5，0）為界，右邊函數(shù)圖像在x軸的上方，所以當(dāng)x> 1.5時，y>0，左邊函數(shù)圖像在x軸的下方，所以當(dāng)x<1.5時，y<0.據(jù)此引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)一次函數(shù)圖像與不等式之間的關(guān)系.

跟進(jìn)練習(xí)2：

（1）一次函數(shù)y=kx+b（k，b是常數(shù)，k≠0）的圖像如圖3所示，則不等式kx+b＞0的解集是（）.

A.x＞-2 B.x＞0C.x＜-2 D.x＜0

圖3

圖4

（2）如圖4，一次函數(shù)y=kx+b的圖像交坐標(biāo)軸于A（-2，0）、B（0，3）兩點，則不等式kx+b＞0的解集是_____.

（3）已知函數(shù)y=kx+b的圖像如圖5所示，利用函數(shù)圖像回答：

①方程kx+b=0的解是_______；

②不等式kx +b＜0的解是________；

圖5

③不等式-0.5＜kx+b＜2.5的解是_________.

活動3：在“活動2”中的平面直角坐標(biāo)系中再畫一次函數(shù)y2=x+3的圖像，也就是在同一坐標(biāo)系下出現(xiàn)兩條直線y1=2x-3與y2=x+3，并解答下列問題：

（1）x取何值時，y1=y2？

（2）x取何值時，y1＞y2？

（3）x取何值時，y1＜y2？

預(yù)設(shè)互動：讓學(xué)生在同一坐標(biāo)中畫出兩條直線，觀察圖像找到當(dāng)y1=y2、y1y2時x的取值范圍，發(fā)現(xiàn)y1= y2即找交點，y1y2即y1的圖像在y2的圖像上方.

引導(dǎo)學(xué)生確認(rèn)如下發(fā)現(xiàn)：一次函數(shù)與一元一次方程、一元一次不等式之間有密切的關(guān)系，當(dāng)函數(shù)值等于0時即為方程，當(dāng)函數(shù)值大于或小于0時即為不等式.

跟進(jìn)練習(xí)3：

（1）如圖6，函數(shù)y=2x和y=ax+4的圖像相交于點A（m，3），則不等式2x＜ax+4的解集為______.

3.深化認(rèn)識，研究“兩直線交點”與二元一次方程組之間的關(guān)系

圖6

活動4：探究一次函數(shù)與二元一次方程（組）的關(guān)系.

問題1：二元一次方程2x+5y=7可以變形為y= ________.（用含x的式子表示）

問題3：是否直線上任意一點的坐標(biāo)都是它所對應(yīng)的二元一次方程的解？

設(shè)計意圖：這組問題主要是讓學(xué)生看出二元一次方程與一次函數(shù)之間的關(guān)系，為接下來探究一次函數(shù)與二元一次方程組之間的關(guān)系預(yù)熱一下.

教學(xué)預(yù)設(shè)：此時讓學(xué)生畫圖、思考、發(fā)現(xiàn)兩條直線與二元一次方程組之間的關(guān)系，為進(jìn)一步歸納出方程組的解與兩條直線交點提供必要的理解時間.

教學(xué)預(yù)設(shè)：引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步歸納出，從“數(shù)”的角度看，解方程組相當(dāng)于考慮自變量為何值時兩個函數(shù)的值相等，以及這個函數(shù)值是何值.

跟進(jìn)練習(xí)4：

（1）以方程2x-y=3的解為坐標(biāo)的所有點都在一次函數(shù)y=_____的圖像上.

4.課堂小結(jié)

在黑板上畫出如圖7這樣的小結(jié)，推介“藤蔓之美”的數(shù)學(xué)隱喻，讓學(xué)生站在函數(shù)高處俯看之前所學(xué)代數(shù)式、方程與不等式.

圖7

二、教學(xué)立意的進(jìn)一步闡釋

1.基于單元教學(xué)，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的整體一致與和諧美妙

熟悉不同版本初中數(shù)學(xué)教材的同行應(yīng)該知道，不少教材上對函數(shù)觀點看方程、不等式的教學(xué)常常安排了2～ 3個課時，并且把上述課例中三個內(nèi)容割裂開來，各個擊破，大量練習(xí)訓(xùn)練，這樣固然使學(xué)生對某一個知識的深化理解有一定的好處，然而學(xué)生在初次接觸這樣的教學(xué)內(nèi)容時，缺少整體思維，不能感受到數(shù)學(xué)整體觀，我們在一課中通過恰當(dāng)?shù)膯栴}設(shè)計，引導(dǎo)學(xué)生依次思考了一次函數(shù)與一次方程，與不等式、方程組之間的關(guān)系，就如最后我們提供的那幅“藤蔓之美”的圖形一樣，學(xué)生不僅有了整體觀，而且對不同知識或數(shù)學(xué)分支之間的整體一致與和諧美妙也有了更深的理解.順便提及，《中學(xué)數(shù)學(xué)》（下）近年來刊發(fā)了大量以專家教師李庾南老師的課例為主的“單元教學(xué)”教學(xué)設(shè)計，值得我們深入理解和踐行.

2.重視跟進(jìn)訓(xùn)練，讓學(xué)生在變式練習(xí)中鞏固雙基與深化理解

函數(shù)學(xué)習(xí)不僅需要理解概念生成的合理，更重要的是具體問題情境中能抽象出函數(shù)模型，在具體的數(shù)學(xué)習(xí)題中有函數(shù)解題的視角，所以在引導(dǎo)學(xué)生思考了一次函數(shù)與方程的關(guān)系之后，我們就及時跟進(jìn)了一組變式練習(xí)，讓學(xué)生在練習(xí)和解題中鞏固雙基，同時也是通過不同習(xí)題表征的呈現(xiàn)，讓學(xué)生洞察問題的結(jié)構(gòu)，達(dá)到數(shù)學(xué)概念或方法技能的“深刻理解”.這里的“深刻理解”也是指旅美學(xué)者馬立平博士所指出的對數(shù)學(xué)知識的關(guān)聯(lián)度、貫通度、廣度、深度等方面的認(rèn)知程度.

三、結(jié)束語

華東師大鐘啟泉教授指出，要從“教教材”走向“用教材教”，這是教師專業(yè)精進(jìn)的標(biāo)志之一.我們在上文基于數(shù)學(xué)整體觀構(gòu)造了一節(jié)“三個一次”的單元教學(xué)起始課，初步實踐下來效果不錯，但對教師課堂組織也提出了較高的要求，既可引導(dǎo)學(xué)生辨析難點，又要兼顧教學(xué)進(jìn)度和教學(xué)時間，還有很多值得深入思考的話題，比如，單元教學(xué)的定位、劃分，課堂時間如何把控等.這些都有待有識之士積極實踐、反思提高.

參考文獻(xiàn)：

1.李庾南，劉東升.藤蔓之美：從數(shù)式方程走向變量函數(shù)——以八年級“函數(shù)（第1課時）”教學(xué)為例［J］.數(shù)學(xué)通報，2015（2）.

2.鐘啟泉.新舊教學(xué)的分水嶺［J］.基礎(chǔ)教育課程（上），2014（2）.

3.章建躍.構(gòu)建邏輯連貫的學(xué)習(xí)過程使學(xué)生學(xué)會思考［J］.數(shù)學(xué)通報，2013（6）.

4.馬立平，著.小學(xué)數(shù)學(xué)的掌握和教學(xué)［M］.李士锜，吳穎康，等，譯.上海：華東師范大學(xué)出版社，2011.

5.章建躍.課堂教學(xué)要注重數(shù)學(xué)的整體性［J］.中小學(xué)數(shù)學(xué)（高中版），2013（5）.