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基于轉(zhuǎn)化思想，探求一題多解

☉上海市嶺南中學(xué)劉華為
☉浙江省衢州市柯城區(qū)石梁中學(xué)余利英

由于一題多解既可激發(fā)學(xué)習(xí)興趣、理清知識(shí)脈絡(luò)、深化認(rèn)知層次、提高課堂效率，又對(duì)培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性、靈活性、深刻性和創(chuàng)新性大有裨益，因而深受廣大同仁的偏愛.那么如何才能探求一題多解呢？本文試圖基于轉(zhuǎn)化思想，從知識(shí)溯源、轉(zhuǎn)換視角和分類表述等角度對(duì)一題多解的生成談幾點(diǎn)拙見，以求拋磚引玉.

一、題目呈現(xiàn)

圖1

如圖1，已知△ABC中，∠BAC= 90°，四邊形ABDE、BCFG是兩個(gè)正方形，AB的延長(zhǎng)線交DG于點(diǎn)P，求證：AC=2BP.

二、解法展示

一般地，數(shù)學(xué)習(xí)題是由課本的有關(guān)知識(shí)、信息、符號(hào)，通過遷移、發(fā)散和綜合而來的，因此，相關(guān)問題的知識(shí)源就是解決問題的最佳策略和一題多解的知識(shí)自然生成點(diǎn).

1.利用線段中點(diǎn)定義證明

證法1：如圖2，延長(zhǎng)BP至點(diǎn)Q，使BQ=AC.欲證BQ= 2BP，易想到連接GQ，可利用證明△BPD≌△QPG得BP= QP.為此需證明∠Q=90°且GQ=DB= BA，即證明△ABC≌△QGB.

由同角（∠ABC）的余角相等，可得∠ACB=∠QBG，再根據(jù)“邊角邊”可知△ABC和△QGB確實(shí)全等，故問題得證.

圖2

證法2：當(dāng)然圖2的輔助線也可表述為“過點(diǎn)G作GQ⊥BP，交BP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q”，則依據(jù)“角角邊”可證△ABC≌△QGB，得AC=QB且GQ=BA=DB.根據(jù)“角角邊”或“角邊角”可證△BPD≌△QPG，得BP=QP，所以AC= BQ=2BP.

證法3：圖2的輔助線還可表述為“過點(diǎn)G作GQ∥BD，交BP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q”，則∠GQB=∠QBD=∠BAC= 90°，由“角角邊”依然可得△ABC≌△QGB，于是AC=QB 且AB=QG=BD.進(jìn)而可證△BPD≌△QPG，得BP=QP，所以AC=QB=2BP.

深入分析可知：上述輔助線的作法雖然描述不盡相同，但本質(zhì)就是在射線BP的右側(cè)構(gòu)造一個(gè)與△ABC全等的△QGB，從而把線段間的兩倍關(guān)系轉(zhuǎn)化為另兩條線段間的相等關(guān)系.理所當(dāng)然，也可在射線BP的左側(cè)構(gòu)造一個(gè)與△ABC全等的△BDQ加以證明.

證法4：如圖3，過點(diǎn)D作DQ∥BG，交BP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，思路同樣為證明AC =BQ =2BP，即證明△ABC≌△DBQ和△BPG≌△QPD.

圖3

易知∠BQD=∠QBG=∠ACB，根據(jù)“角角邊”可證△BDQ≌△ABC，得DQ=BC=BG且BQ=AC.再由△BPG≌△QPD得BP=QP，問題迎刃而解.

上面證明都是從“倍長(zhǎng)”出發(fā)的，當(dāng)然也可從“截半”入手，打開思維通道.

證法5：如圖4，在AC上截取AM=BP，連接BM，則根據(jù)“邊角邊”易知△AMB≌△BPD，得∠AMB= ∠BPD.由等角的補(bǔ)角相等得∠CMB=∠BPG.再依據(jù)“角角邊”可證△BCM≌△GBP，得CM=BP=AM，所以AC=2BP.

圖4

當(dāng)然圖4中輔助線的作法也可表述為“在邊CA上截取CM=BP”，證明時(shí)只需把證法5的過程稍作調(diào)整即可.

2.利用三角形中位線定理證明

證法6：由上面證明可知：事實(shí)上點(diǎn)P就是DG的中點(diǎn). 又BP∥DE，故想到延長(zhǎng)GB交DE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N（如圖5），構(gòu)造以BP為中位線的△GDN.下面只需證明GB=BN 和DN=AC，即△ABC≌△DBN即可.

由∠ABC+∠ABN=∠DBN+∠ABN=90°，得∠ABC= ∠DBN.又AB=DB，∠BAC=∠BDN，則△ABC≌△DBN，故問題得證.

圖5

圖6

證法7：當(dāng)然也可過G作GN⊥DB交DB的延長(zhǎng)線于N點(diǎn)，從另一方向構(gòu)造以BP為中位線的Rt△DNG（如圖6）.由“同角的余角相等”可得∠ABC=∠NBG，再根據(jù)“角角邊”易證△ABC≌△NBG，得AC=NG、AB=NB=BD.而BP∥NG，所以NG=2BP，即AC=2BP.

三、證法反思

1.追根溯源巧定向

如何想到運(yùn)用“線段中點(diǎn)定義”和“三角形的中位線定理”來證明本題的呢？

從知識(shí)轉(zhuǎn)化角度略加分析可知：數(shù)學(xué)習(xí)題一般要運(yùn)用所學(xué)過的知識(shí)加以解決，因此與線段二倍有關(guān)的知識(shí)源就是解決本題的思考方向和突破口.而回顧初中平面幾何可知：與線段二倍關(guān)系有關(guān)的知識(shí)源除了上述兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)，還有“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”和“直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半”.考慮到本題缺少30°角且AC為直角邊而非斜邊，故解題方向宜定位在運(yùn)用“線段中點(diǎn)定義”（證法1-5）和“三角形中位線定理”（證法6、7）兩個(gè)知識(shí)源.

2.透過現(xiàn)象妙添線

利用線段中點(diǎn)定義證明AC=2BP無外乎有兩個(gè)思考方向：一是倍長(zhǎng)BP，二是截半AC.不過“倍長(zhǎng)”和“截半”是指效果而已，具體操作可不拘一格.如本題若直接延長(zhǎng)BP至點(diǎn)Q，使BQ=2BP，連接QG，但由于不知點(diǎn)P是否為DG的中點(diǎn)，得不到△BPD≌△QPG，給利用△ABC≌△QGB來證明BQ=CA制造了不小的障礙.相反換個(gè)角度思考，先構(gòu)造BQ=AC再證明BQ=2BP，則可柳暗花明了！再如證法5中，若直接取AC的中點(diǎn)為M，也會(huì)給證明制造極大的障礙，但考慮到“截半”是為了確保三角形全等，不妨反其道而行之，直接構(gòu)造全等三角形.

3.轉(zhuǎn)換視角拓寬度

從上述七種證法中不難發(fā)現(xiàn)：轉(zhuǎn)換視角是一題多解產(chǎn)生的本源.具體體現(xiàn)在：首先，在不同的知識(shí)間切換，明確一題多解之方向；其次，在不同對(duì)象間切換，尋求多解突破口（如“倍長(zhǎng)”和“補(bǔ)短”）；還有同一輔助線在不同描述間切換，打開多解的切入點(diǎn)（如證法1-3）；最后在不同位置間切換，探求多解的發(fā)散點(diǎn).當(dāng)然，轉(zhuǎn)換視角遠(yuǎn)非以上四點(diǎn)，只要平時(shí)注重探索與積累，一題多解在習(xí)題教學(xué)中必能綻放奪目之花、累結(jié)碩放之果.

總之，探求一題多解應(yīng)基于知識(shí)轉(zhuǎn)化策略之上，通過追根溯源，明確解題方向，調(diào)控受阻思維，尋求解決問題的基本途徑.也就是說，首先明確解題目標(biāo)（如本題為“證明線段二倍關(guān)系”），然后追溯初中階段與此目標(biāo)相關(guān)的知識(shí)源，最后結(jié)合條件確定解決本題的知識(shí)源，再轉(zhuǎn)換視角，探求一題多解的自然生成.

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