☉福建省泉州市鯉城區(qū)教師進(jìn)修學(xué)校　曾澤群☉福建省泉州市第六中學(xué)　林江文

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伸頭伸腳“話”變式，添頭添腳“悟”證法*——以“全等三角形判定定理的應(yīng)用”的教學(xué)為例

☉福建省泉州市鯉城區(qū)教師進(jìn)修學(xué)校曾澤群
☉福建省泉州市第六中學(xué)林江文

幾何的論證入門(mén)是培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維及言必有據(jù)、有條理地表述的另一個(gè)新起點(diǎn).它是一把雙刃劍，既會(huì)讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生濃厚的興趣，進(jìn)而熱愛(ài)數(shù)學(xué)，也會(huì)使學(xué)生在跌倒之后，喪失信心而成為幾何的“門(mén)外漢”.因此，幾何的論證入門(mén)是學(xué)生學(xué)好幾何的關(guān)鍵期.“全等三角形”這一章重點(diǎn)探討的是能否用較少的幾個(gè)基本事實(shí)作為演繹推理的最原始的依據(jù)，用演繹推理的方法研究圖形的屬性，論證幾何命題.而之前，演繹證明的過(guò)程是以學(xué)生的填空為主，因此，“全等三角形”是幾何論證入門(mén)的關(guān)鍵章節(jié).為了讓學(xué)生順利闖關(guān)，華東師大版教材以逐步深入為原則，從簡(jiǎn)單問(wèn)題入手，然后采用伸頭又伸腳的教學(xué)方法進(jìn)行突破.基于“全等三角形的判定定理”是繼“命題、定理與證明”之后的學(xué)習(xí)內(nèi)容，所以“全等三角形判定定理的應(yīng)用”肩負(fù)著讓學(xué)生的邏輯思維、推理能力上一個(gè)臺(tái)階及鞏固和提高學(xué)生書(shū)面表述能力的重要任務(wù)，對(duì)此，筆者在進(jìn)行“全等三角形判定定理的應(yīng)用”的教學(xué)時(shí)，凸顯華師大版教材的特色做法——就簡(jiǎn)單問(wèn)題進(jìn)行伸頭伸腳.從整體復(fù)習(xí)、激活知識(shí)，組合變換、開(kāi)放探究，變式突破、提升能力三個(gè)層面展開(kāi).

一、整體復(fù)習(xí)，激活知識(shí)

在全等三角形判定定理的應(yīng)用中，學(xué)生能否準(zhǔn)確地回憶再現(xiàn)判定定理是解決問(wèn)題的前提條件，為了避免學(xué)生機(jī)械地、順口地溜出判定定理，筆者設(shè)計(jì)了一道開(kāi)放性題目，讓學(xué)生回顧舊知.具體如下.

題1：如圖1，已知AB=DE，請(qǐng)補(bǔ)充合適的條件，使△ABC≌△DEF（要求盡可能多地寫(xiě)出用不同方法解答的答案），然后完整地?cái)⑹鲈撁}.

圖1

題1雖是立足基礎(chǔ)的簡(jiǎn)單開(kāi)放題，但它涵蓋了全等三角形的四個(gè)判定定理，解答時(shí)，學(xué)生除了要記住全等三角形的判定定理，還要根據(jù)定理內(nèi)容選擇性地添加條件并用符號(hào)語(yǔ)言準(zhǔn)確書(shū)寫(xiě).因此，這樣的開(kāi)端不但可以提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)學(xué)習(xí)信心，而且能為他們后續(xù)靈活應(yīng)用全等三角形的判定定理解決問(wèn)題奠定基礎(chǔ).互動(dòng)時(shí)，為了拓展題1的教學(xué)功能，筆者還進(jìn)行了簡(jiǎn)單的變式，將已知“邊相等”改成“角相等”、已知“一個(gè)條件”改成“兩個(gè)條件——兩邊相等或一邊一角相等或兩角相等”，繼續(xù)考查學(xué)生靈活選擇判定定理解決問(wèn)題的能力.

二、組合變換，開(kāi)放探究

由于學(xué)生已經(jīng)掌握了圖形的變換（軸對(duì)稱(chēng)、平移、旋轉(zhuǎn)），為了讓學(xué)生了解幾何命題的演變手段——圖形變換，筆者以圖1為背景材料，在題1的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)了題2，讓學(xué)生進(jìn)行操作與反思.具體如下.

題2：（1）動(dòng)手操作：請(qǐng)同學(xué)們利用手中的學(xué)具——兩個(gè)全等的三角形紙片，即圖1中的全等三角形△ABC和△DEF，將它們進(jìn)行平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱(chēng)變換，看看能得到哪些組合圖形，并將它們描下，在學(xué)習(xí)小組中交流.

（2）反思：想一想通過(guò)變換后得到的組合圖形，若要再判定這兩個(gè)三角形全等，還需要原命題中的那些條件呢？

這是基于題1的一個(gè)變式，屬開(kāi)放探究式活動(dòng).它不但需要?jiǎng)邮植僮?，而且需要思考；它既考查學(xué)生的創(chuàng)新能力，又考查他們的發(fā)散思維能力.對(duì)于操作活動(dòng)，得到的組合圖形繁多，如圖2.而活動(dòng)后的反思，激活了學(xué)生的思維，有助于提高學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，切實(shí)做到言必有據(jù)，并用最少的條件去得到所要的結(jié)論.

若用孤立的眼光看問(wèn)題，只著眼于單一的知識(shí)點(diǎn)——全等三角形的三個(gè)判定定理的應(yīng)用，對(duì)于圖2.1—圖2.4，只能保留原條件，得到一組基于題1的只有圖形改變的變式題.而對(duì)于圖2.5—圖2.7，則因它們有公共的角或邊，從數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)約性角度來(lái)思考，可以省略一個(gè)原條件，得到一組基于題1的圖形與條件都改變的變式題.

若用聯(lián)系的眼光看問(wèn)題，著眼于知識(shí)點(diǎn)的綜合應(yīng)用，對(duì)于圖2，還可以將其原條件進(jìn)行變更，得到更為復(fù)雜的變式題.由于課堂時(shí)間的有限性，不可能將它們一一展開(kāi)，只能就反思結(jié)果中的一個(gè)組合圖形進(jìn)行再拓展，以求得舉一反三的效果.

圖2

三、變式突破，提升能力

為了讓學(xué)生了解由淺入深的題目的另一演變過(guò)程——變式及其基本策略——轉(zhuǎn)化與化歸思想，消除他們對(duì)幾何學(xué)習(xí)的畏懼心理，進(jìn)而逐步提高學(xué)生的邏輯推理能力和書(shū)面表達(dá)能力，筆者以圖2.2為背景，在題2的基礎(chǔ)上進(jìn)行再拓展，設(shè)置題3.具體如下.

題3：（1）背景材料——命題1：圖2.2中，在△ABC和△DEF中，已知AB=DE，∠B=∠DEF，BC=EF，則△ABC≌△DEF.

（2）拓展延伸1：改變“命題1”中的已知條件，寫(xiě)出一個(gè)以上的真命題，并選擇其中的一個(gè)命題加以論證.

（3）拓展延伸2：改變“命題1”中的結(jié)論，寫(xiě)出一個(gè)以上的真命題，并選擇其中的一個(gè)命題加以論證.

（4）拓展延伸3：改變“命題1”中的已知條件與結(jié)論，寫(xiě)出一個(gè)以上的真命題，并寫(xiě)出提綱式的論證要點(diǎn).

題3是基于前面兩個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)、立足基礎(chǔ)的又一開(kāi)放變式題組，它通過(guò)對(duì)簡(jiǎn)單、已解決的問(wèn)題進(jìn)行伸頭伸腳，使得題組由淺入深，由簡(jiǎn)到繁.因此，它在挑戰(zhàn)學(xué)生思維的同時(shí)，又讓不同層次的學(xué)生有獨(dú)立思考的空間，從而有效實(shí)現(xiàn)分層教學(xué).在解決題3時(shí)，學(xué)生必須以轉(zhuǎn)化與化歸思想為指導(dǎo)，要么以“分析法”為主的思維方式，逐一對(duì)命題1的條件進(jìn)行變換，要么以“綜合法”為主的思維方式，對(duì)命題1的結(jié)論進(jìn)行逐步延伸，因此，它們的答案（新命題）真可謂仁者見(jiàn)仁，智者見(jiàn)智.

對(duì)于延伸1，不但有立足于判定定理的簡(jiǎn)單變式，如變式1：已知AB=DE，AC=DF，BC=EF，則△ABC≌△DEF.而且有立足于轉(zhuǎn)化與化歸思想，應(yīng)用平行線的性質(zhì)、等式的性質(zhì)的變式，如變式2：已知AB=DE，AB∥DE，BC= EF，則△ABC≌△DEF.

對(duì)于延伸2，它是立足于轉(zhuǎn)化與化歸思想，應(yīng)用全等三角形的性質(zhì)定理、平行線判定定理的變式，如變式3：已知AB=DE，∠B=∠DEF，BC=FE，則∠BCA=∠EFD；變式4：已知AB=DE，∠B=∠DEF，BC=EF，則AC∥DF.

延伸3則是延伸1與延伸2的組合，它是學(xué)生綜合應(yīng)用知識(shí)的結(jié)果.

對(duì)于由延伸1、延伸2、延伸3獲得的“立足于轉(zhuǎn)化與化歸思想”的新命題，它們的論證過(guò)程，則是在命題1的前面或后面再添加一個(gè)或一個(gè)以上的判斷，而規(guī)范的書(shū)面表達(dá)則還須在判斷與判斷之間刪掉重復(fù)書(shū)寫(xiě)的部分，使其簡(jiǎn)潔、明了.這種步步深入的論證及書(shū)面表述方式的教學(xué)，就是徹頭徹尾的“添頭添尾”法.它不但體現(xiàn)了思維的有序性，讓學(xué)生有章可循，而且促使他們?cè)跐撘颇兄鸩筋I(lǐng)悟演繹推理的真諦，學(xué)會(huì)正確、規(guī)范的書(shū)面表述.與此同時(shí)，借助變式2的論證分析，強(qiáng)化幾何論證中的“分析法（執(zhí)果尋因法）——利用轉(zhuǎn)化思想，將未知條件逐步轉(zhuǎn)化到已知條件”；“綜合法（由因?qū)Чǎ獜囊阎霭l(fā)，發(fā)散式地逐步推導(dǎo)結(jié)論，從中篩選出論證結(jié)果所需的條件”.讓學(xué)生在簡(jiǎn)單的背景下深刻理解采用“分析法”與“綜合法”時(shí)，其思維的切入點(diǎn)和?？奎c(diǎn).并借助后續(xù)變式題的論證分析，讓學(xué)生體悟這兩種幾何論證的思考方式，在解決簡(jiǎn)單的幾何論證題時(shí)，可以單獨(dú)使用，但遇到復(fù)雜的題目，往往需要同時(shí)使用，才能迅速找到論證思路.

由上可知，題3讓一個(gè)簡(jiǎn)單的命題逐步演變成復(fù)雜的命題，在不斷的變式中，由于它的步步為營(yíng)、螺旋上升及“伸頭伸腳”的變換方式，不但激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣與靈感，使學(xué)生的發(fā)散思維能力、演繹推理能力及全方位思考問(wèn)題的能力得到提高，而且非常有利于教師采用“添頭添腳”的方式有效地引導(dǎo)學(xué)生獲得“尋找證明思路”的思考方式，以及進(jìn)行正確、規(guī)范的書(shū)面表達(dá).與此同時(shí)，學(xué)生通過(guò)自己動(dòng)手改編問(wèn)題、解決問(wèn)題，在互動(dòng)生成的過(guò)程中，體會(huì)相對(duì)復(fù)雜題型的由來(lái)，感悟轉(zhuǎn)化與化歸思想在解決問(wèn)題時(shí)的重要性，從而促使他們靈活應(yīng)用所學(xué)的知識(shí)，正確地解決問(wèn)題.

總之，這種以變式為主線，以變換為工具，以轉(zhuǎn)化與化歸思想為靈魂，以開(kāi)放探究為手段的教學(xué)，既較好地體現(xiàn)了課標(biāo)的要求及華師大版教材的特色——“就簡(jiǎn)單問(wèn)題伸頭伸腳”，有效發(fā)展了學(xué)生的發(fā)散思維、創(chuàng)新思維及探究力，又為“添頭添腳”的論證及其書(shū)面表述起到承上啟下、自然銜接的作用，對(duì)幾何入門(mén)教學(xué)，如何提升學(xué)生的演繹推理能力及書(shū)面表達(dá)能力作出了有力的詮釋.

*基金項(xiàng)目：福建省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃2014年度常規(guī)課題“初中數(shù)學(xué)例習(xí)題的重組與變式的教學(xué)實(shí)踐”（2014CG1282）.