莫海萍， 胡慶席（梧州學(xué)院信息與電子工程學(xué)院，廣西梧州543002）

?

利用壓縮映像原理證明連續(xù)函數(shù)的介值性定理

莫海萍， 胡慶席
（梧州學(xué)院信息與電子工程學(xué)院，廣西梧州543002）

［摘 要］以壓縮映像原理為工具，給出了閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)介值性定理的另一種證明．

［關(guān)鍵詞］壓縮映射；韋爾斯特拉斯逼近定理；中值定理

1　預(yù)備知識

連續(xù)函數(shù)的介值性定理［1］是數(shù)學(xué)分析中非常基本、非常重要的結(jié)論，本文以壓縮映射原理［2］為主要工具，給出它的一個與眾不同的證明．為此，先證明幾個輔助性的結(jié)論．

命題1 設(shè)p是一個非零多項式，則p在任何一個非退化的有界閉區(qū)間［a，b］上都至多有有限個零點．

證 設(shè)多項式p的次數(shù)為m，則p（m－1）為一次多項式，在區(qū)間［a，b］上最多只有一個零點．運(yùn)用反證法以及拉格朗日微分中值定理不難證明p在此區(qū)間上最多只有有限個零點．

命題2 設(shè)多項式p（x）在［a，b］上滿足p（a）＜0，p（b）＞0，則存在α，β使得a≤α＜β≤b，以及

證 顯然，多項式p′（x）為非零多項式，根據(jù)命題1的結(jié)論，多項式p′（x）在區(qū)間［a，b］上只有有限多個零點，記這些零點為x1，x2，…，xk，k可以等于零，這表示多項式p′（x）在［a，b］上沒有零點．

令S＝｛a，b｝∪x1，x2，…，xk｛

｝，把S中的數(shù)排列為：c1＜c2＜…＜cl．顯然，k≤l≤k＋2．設(shè)．記J最大值為t，則有p（ct）＜0，而p（ct＋1）≥0．

取α＝ct，β＝ct＋1，則在區(qū)間（α，β）上，p′處處不等于0，事實上，p′（x）＝0只在x1，…，xk處取得．根據(jù)達(dá)布定理，p′在區(qū)間（α，β）內(nèi)不變號．在［α，β］上根據(jù)拉格朗日中值定理，存在c∈（α，β），使得

顯然，從而，導(dǎo)數(shù)p′在（α，β）內(nèi)處處為正．

命題3 設(shè)函數(shù)f∶［a，b］→R連續(xù)，則存在一個閉區(qū)間［m，M］以及一個一次函數(shù)g∶［a，b］→［m，M］，使得fg－1為由［m，M］到其自身上的連續(xù)映射．

證 記M和m分別為函數(shù)f的最大值和最小值，不失一般性，設(shè)m＜M，則函數(shù)的值域為［m，M］．不難看出，一次函數(shù)

2　主要結(jié)論

定理1 設(shè)多項式f在［a，b］上滿足f（a）·f（b）＜0，則在（a，b）上至少存在一點ξ，使得f（ξ）＝0．

證 不失一般性，假設(shè)f（a）＜0，f（b）＞0．則根據(jù)命題2，存在a≤α＜β≤b，使得f（α）≤0，f（β）≥0；并且對于區(qū)間（α，β）內(nèi)的任意x，均有f′（x）＞0．如果f（α）＝0或者f（β）＝0，只需取ξ＝α或ξ＝β即可．

假設(shè)f（α）＜0且f（β）＞0．由于

存在c，d，使得α＜c＜d＜β，滿足

記f在區(qū)間［c，d］上的最小值和最大值分別為m和M，則有m＜0＜M．定義函數(shù)g∶［m，M］→［m，M］為

則

記g′在有界閉區(qū)間［m，M］上的最小值和最大值分別為q和Q，則顯然0＜q≤Q．若q＝Q，則g′（x）在區(qū)間［m，M］為常值函數(shù)，函數(shù)f（x）為一次函數(shù)，存在零點是顯然的．

設(shè)q＜Q．令

則

且有

由此可知

因此h在［m，M］上是單調(diào)遞增的，于是h（m）≤h（x）≤h （M）．不難驗證h（m）＞m，h（M）＜M，即函數(shù)h是由［m，M］到［m，M］的一個連續(xù)映射．并且有

所以，h∶［m，M］→［m，M］是壓縮映射．從而，函數(shù)h在區(qū)間［m，M］上存在唯一一個不動點x0．根據(jù)是函數(shù)f在［a，b］上的零點．

現(xiàn)在給出閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的零點定理的證明．

定理2 設(shè)f在區(qū)間［a，b］上連續(xù)，并且f（a）·f（b）＜0，則至少存在一點ξ∈（a，b），使得

證 不失一般性，假設(shè)f（a）＜0，f（b）＞0．根據(jù)韋爾斯特拉斯逼近定理［3］，存在一個多項式序列函數(shù)g，h的定義不難得出，點在［a，b］上一致收斂到f．

根據(jù)定理1，每個多項式fn都在區(qū)間（a，b）內(nèi)有一個零點ξn，即fn（ξn）＝0，n＝1，2，…．顯然，數(shù)列是有界數(shù)列，從而存在收斂子列．不失一般性，假設(shè)數(shù)列本身收斂，極限為ξ．設(shè)ε是任給的正數(shù)，有

因為f在ξ點連續(xù)，存在整數(shù)M1，使得當(dāng)n＞M1時，有

特別地，對于這些ξn，也有

取M＝M1＋M2，則當(dāng)n＞M時，有．所以

注 胡慶席為本文通訊作者．郵箱：huqxhu＠foxmail．com

［參 考 文 獻(xiàn)］

［1］ Walter Rudin．Principles of Mathematical Analysis［M］．McGraw－Hill Science，1976．

［2］ Serge Lang．Real and Functional Analysis［M］．Springer，1993．

［3］ Bruckner，Andrew M．Differentiation of real functions［M］．American Mathematical Society，1994．

Proof by Contraction Mapping Principle of Intermediate－value Theorem of Continuous Functions

MO Hai－ping， HU Qing－xi
（School of Information and Electronic Engineering，Wuzhou University，Wuzhou Guangxi 543002，China）

Abstract：The intermediate－value theorem of continuous functions is proved by means of the principle of contraction mapping．

Key words：contraction mapping；Weierstrass’s approximation theorem；intermediate－value theorem

［基金項目］廣西高?？蒲许椖浚?01204LX372）

［收稿日期］2015－04－15

［中圖分類號］O17

［文獻(xiàn)標(biāo)識碼］C

［文章編號］1672－1454（2016）01－0088－03