鐘文體（華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，廣州510631）

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Fresnel積分的再推廣

鐘文體
（華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，廣州510631）

［摘 要］使用復(fù)變函數(shù)論中的方法計(jì)算了一類復(fù)雜的反常積分，這些反常積分都是Fresnel積分的推廣．

［關(guān)鍵詞］反常積分；Fresnel積分；Cauchy定理；Γ函數(shù)

眾所周知，使用復(fù)方法能計(jì)算很多復(fù)雜的實(shí)積分．在本文中，我們借助復(fù)分析提供的強(qiáng)大方法，同時(shí)引入Γ函數(shù)，推廣了Fresnel積分，得到了一類很廣泛的反常積分的計(jì)算公式．

1　第一步推廣

先給出一個(gè)初等但有用的不等式并略去證明，即下面的引理．

首先有下面的結(jié)論．

定理1．1 設(shè)φ∈［0，π／4］，則

證 考慮復(fù)變函數(shù)

取如圖1所示的積分路徑γ．把γ分為若干部分，其中γR是中心在原點(diǎn)，圓心角為φ，半徑為R的圓弧．因f（z）在γ所圍成的區(qū)域內(nèi)解析，根據(jù)復(fù)變函數(shù)論中的Cauchy定理，有

而

上面的估計(jì)使用了引理1．

圖1

解之，即得

注 特別地，取φ＝π／4，即得著名的Fresnel積分：

需注意，（3）式和（4）式中的φ應(yīng)滿足φ∈［0，π／4］．

將由上面兩式證明比定理1．1更一般的結(jié)果．

定理1．2 設(shè)m≥0，n≥0，且m2＋n2≠0，則

證 令

2　進(jìn)一步的推廣

稱為Γ函數(shù)，此積分對(duì)于任意x＞0都收斂．令t＝sα，α＞0，得

下面，進(jìn)一步推廣以上各個(gè)結(jié)果．為此，先介紹Γ函數(shù)的簡(jiǎn)單性質(zhì)．反常積分

引理2 設(shè)α＞0，則

利用（7）式，有下述結(jié)果．

證 考慮函數(shù)

設(shè)γ是圖2所示的閉曲線，把γ分為若干部分，其中γR和γr都是中心在原點(diǎn)，圓心角為φ的圓弧，而它們的的半徑分別為R和r．函數(shù)f（z）在γ所圍成的閉區(qū)域內(nèi)解析，因此有

圖2

即

下面，證明

設(shè)ρ＞0，有

上面的估計(jì)使用了引理1．因α－1＞0且

分離實(shí)部和虛部，并利用引理2，得

解之，最終得到

，得到比Fresnel積分更一般的結(jié)果

可得到與以上兩式等價(jià)的結(jié)果

用類似于定理1．2的方法，可得到本文最具普遍性的結(jié)果之一．定理2．2 設(shè)m≥0，n≥0，α＞1，且m2＋n2≠0，則

不再贅述上面兩式的證明．

由此易知ρ→＋∞和ρ→0時(shí)，（11）式右邊均趨于0，這樣，可以得到類似于定理2．1的結(jié)果．

定理2．3 設(shè)，則

注 特別地，在定理2．3中，取α＝1／n，n為正整數(shù)，并利用熟知的公式Γ（n）＝（n－1）！，可得到下述漂亮的結(jié)果．

當(dāng)n＞1時(shí)，在上兩式中還可取φ＝π／2，這樣又得到

推論2．5 設(shè)n為大于1的正整數(shù)，則

同樣地，由定理2．3并按照與定理1．2相同的論證方法，還可以得到類似于定理2．2的結(jié)果．

定理2．6 由m＞0，n≥0，且0＜α≤1，則

這里0≤φ＜π／2α且滿足

注 上述定理中的m不能為0，否則φ＝π／2α，定理2．3不成立，上述定理自然也不成立．

至此，通過(guò)使用復(fù)分析方法，我們已經(jīng)對(duì)Fresnel積分進(jìn)行了多方面的推廣．在進(jìn)行推廣的過(guò)程中，還得到了若干有趣的結(jié)果，這些結(jié)果用其它方法是很難計(jì)算的．實(shí)際上，許多著名的實(shí)積分，通過(guò)使用復(fù)方法都能得到推廣．由此，我們可以看到，一些看似困難的數(shù)學(xué)問(wèn)題，一旦使用強(qiáng)大的數(shù)學(xué)工具，就能輕松解決甚至作出推廣．

［參 考 文 獻(xiàn)］

［1］ 康威．單復(fù)變函數(shù)［M］．呂以輦，張南岳譯．上海：上海科學(xué)技術(shù)出版社，1985．

［2］ 鐘玉泉．復(fù)變函數(shù)論［M］．3版．北京：高等教育出版社，2004．

［3］ 菲赫金哥爾茨．微積分學(xué)教程（第二卷）［M］．8版．徐獻(xiàn)瑜，冷生明，梁文騏譯．北京：高等教育出版社，2006．

［4］ 葉鵬．Dirichlet積分的推廣［J］．湖北師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2002，22（1）：95－98．

A Further Generalization of Fresnel Integrals

ZHONG Wen－ti
（School of Mathematical Sciences，South China Normal University，Guangzhou，510631，China）

Abstract：Some improper integrals are calculated by using method of function of one complex variable．The results we obtained generalize Fresnel integrals．

Key words：improper integrals；Fresnel integrals；Cauchy＇s theory；Gamma function

［收稿日期］2015－09－30

［中圖分類號(hào)］O174．5

［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］C

［文章編號(hào)］1672－1454（2016）01－0077－06