時(shí)統(tǒng)業(yè)， 尹亞蘭， 周國輝（海軍指揮學(xué)院信息系，南京211800）

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嚴(yán)格的Hermite－Hadamard型不等式和Fejér型不等式

時(shí)統(tǒng)業(yè)， 尹亞蘭， 周國輝
（海軍指揮學(xué)院信息系，南京211800）

［摘 要］已有文獻(xiàn)引入與Hermite－Hadamard不等式和Fejér不等式有關(guān)的單調(diào)函數(shù)．考慮這些函數(shù)與其上界和下界的差，利用二階導(dǎo)數(shù)，給出這些差的上下界，建立了一些新的嚴(yán)格的Hermite－Hadamard型不等式和Fejér型不等式．

［關(guān)鍵詞］二階可微函數(shù)；凸函數(shù)；Fejér不等式；Hermite－Hadamard不等式；誤差估計(jì)

1　引 言

本文約定d＝（a＋b）／2．

若f是區(qū)間I上的凸函數(shù)，則對任意a，b∈I，a＜b，下面的不等式成立

稱為凸函數(shù)的Hermite－Hadamard不等式［1］．

1906年，F(xiàn)ejér推廣了Hermite－Hadamard不等式，給出下面的Fejér不等式［2］

其中f是區(qū)間［a，b］上的凸函數(shù)，p（x）是區(qū)間［a，b］上正的可積函數(shù)且關(guān)于x＝d對稱．

文［3－7］引入下面函數(shù)：

又記函數(shù)

定理A［3］設(shè)是凸函數(shù)，則H（t）是［0，1］上的凸函數(shù)且單調(diào)不減，對任意t∈［0，1］，有

定理B［6］設(shè)是凸函數(shù)，則P（t）是［0，1］上的凸函數(shù)且單調(diào)不減，對任意t∈［0，1］，有

定理C［4］設(shè)是凸函數(shù)是正的可積函數(shù)，且關(guān)于x＝ d對稱，則WH（t）和WP（t）是［0，1］上的凸函數(shù)且單調(diào)不減，對任意t∈［0，1］，有

定理D［7］設(shè)是凸函數(shù)是正的可積函數(shù)，且關(guān)于x＝d對稱，則I（t）和N（t）是［0，1］上的凸函數(shù)且單調(diào)不減，對任意t∈［0，1］，有

本文利用二階導(dǎo)數(shù)，給出由式（1），（2），（3），（4）決定的差的上下界．

2　主要結(jié)果

證 考慮定義在［a，b］上的函數(shù)

則有

由Taylor定理，在x與d之間存在ξ使得

因m≤f"≤M，所以有

式（7）在［a，b］上對x積分得到式（5）．

考慮定義在［a，d］上的函數(shù)

利用Newton－Leibniz公式和變量代換得

當(dāng)x∈［a，d］，u∈［x，tx＋（1－t）d］時(shí)，a＋b－2u≥0，因m≤f"≤M，所以有

上式在［x，tx＋（1－t）d］上對u積分得

也即

式（8）在［a，d］上對x積分得到式（6）．

注1 在定理1中取t＝0，則得到下面文［8］中關(guān)于中點(diǎn)積分公式的上下誤差界的不等式

證 式（7）乘以p（x）然后在［a，b］上對x積分得式（9），式（8）乘以p（x）然后在［a，d］上對x積分得式（10）．

推論2．1 設(shè)條件同定理2，則有

證 在定理2的式（9）中取t＝1得證．

定理3 設(shè)條件同定理2，則對任意t∈［0，1］，有

證

其中

由式（12）、（13）得到式（11）的右端部分．同理可證（11）的左端部分．

推論3．1 設(shè)條件同定理1，則對任意t∈［0，1］，有

證 在定理3中取p（x）≡1得證．

推論3．2 設(shè)條件同定理2，則有

證 在定理3中取t＝0得證．

注2 在定理3中取t＝0，p（x）≡1，則得到下面文［9］中關(guān)于梯形積分公式的上下誤差界的不等式：

定理4 設(shè)條件同定理2，則對任意t∈［0，1］，有

證 利用變量代換和p（x）的對稱性得

其中

以下的證明與定理3類似，故略去．

推論4．1 設(shè)條件同定理1，則對任意t∈［0，1］，有

證 在式（14）中取p（x）≡1得證．

定理5 設(shè)條件同定理2，則對任意t∈［0，1］，有

證

其中

以下的證明與定理3類似，故略去．

推論5．1 設(shè)條件同定理2，則有

證 在定理5的式（15）中取t＝1得證．

定理6 設(shè)條件同定理2，則對任意t∈［0，1］，有

證

其中

以下的證明與定理3類似，故略去．

推論6．1 設(shè)條件同定理2，則有

證 在定理6的式（16）中取t＝1得證．

注3 取f（x）＝x2，則本文定理和推論中的等號均成立．

［參 考 文 獻(xiàn)］

［1］ Mitrinovi＇cD S．Analytic inequalities［M］．New－York：Springer－Verlag，Berlin：Heidelerg，1970．

［2］ Fejér L．über die Fourierreihen，II，Math．［J］．Naturwiss，Anz．Ungar．Akad．Wiss．，1906（24）：369－390．

［3］ Dragomir S S．Two mappings in connection to Hadamard’s inequalities［J］．J．Math．Anal．Appl．，1992（167）：49－56．

［4］ Yang G S，Tseng K L．On certain integral inequalities related to Hermite－Hadamard inequalities［J］．J．Math．Anal．Appl．，1999（239）：180－187．

［5］ Dragomir S S，Milo?evi＇aD C，Sándor J．On some refinements of Hadamard’s inequalities and applications［J］．Univ．Belgrad．Publ．Elek．Fak．Sci．Math．，1993（4）：3－10．

［6］ Yang G S，Hong M C．A note on Hadamard’s inequality．Tamkang．J．Math．，1997，28（1）：33－37．

［7］ Tseng K L，Hwang S R，Dragomir S S．Fejér－type inequalities（I）［J／OL］．Hindawi Publishing Corporation Journal of Inequalities and Applications，2010，Article ID 531976，7pages doi：10．1155／2010／531976．

［8］ Cerone P，Dragomir S S．Midpoint－type rules from an inequality point of view［M］．Handbook of Analytic－Computational Methods in Applied Mathematics，New York：CRC Press，2000：135－200．

［9］ Cerone P，Dragomir S S．Trapezoidal－type rules from an inequality point of view］M］．Handbook of Analytic－Computational Methods in Applied Mathematics，New York：CRC Press，2000：65－134．

Sharp Hermite－Hadamard Type Inequalities and Fejér Type Inequalities

SHI Tong－ye， YIN Ya－lan， ZHOU Guo－h(huán)ui
（Department of Information，PLA Naval Command College，Nanjing 211800，China）

Abstract：Upper and lower bounds of the difference generated by monotone functions related to Hermite－Hadamard inequality and Fejér inequality are given by using the second derivative．

Key words：twice differentiable function；convex function；Fejér inequality；Hermite－Hadamard inequality；error estimation

［收稿日期］2014－12－29

［中圖分類號］O178

［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］C

［文章編號］1672－1454（2016）01－0071－06