高明海， 劉守鵬， 祁愛琴， 劉 琳， 劉 芳（濱州醫(yī)學院公共衛(wèi)生與管理學院，山東煙臺264003）

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繞曲線旋轉(zhuǎn)母線長度不變性及其應(yīng)用

高明海， 劉守鵬， 祁愛琴， 劉 琳， 劉 芳
（濱州醫(yī)學院公共衛(wèi)生與管理學院，山東煙臺264003）

［摘 要］以橢圓曲線為旋轉(zhuǎn)軸、平面曲線為母線，討論母線保持長度不變性的旋轉(zhuǎn)變換．首先，給出母線保持長度不變的條件、相關(guān)參數(shù)的取值范圍以及參數(shù)之間的關(guān)系．其次，建立旋轉(zhuǎn)變換模型．最后，以光滑曲線和折線為例，研究旋轉(zhuǎn)變換的可行性及旋轉(zhuǎn)模型的實用性，為折疊桌設(shè)計開槽曲線．

［關(guān)鍵詞］母線；旋轉(zhuǎn)變換；長度不變性；方程；參數(shù)

1　引 言

討論繞曲線旋轉(zhuǎn)的文獻不多，研究此類問題的理論更少見．以曲線為軸的旋轉(zhuǎn)變換涉及到旋轉(zhuǎn)對象幾何性狀的變化，是空間旋轉(zhuǎn)內(nèi)容中較難處理的問題．2014年全國大學生數(shù)學建模競賽B題［1］提出桌腿展開后可以與圓形桌面構(gòu)成一張平板的平面折疊問題．截至目前相關(guān)文獻很少，而且其中折疊桌設(shè)計方案都是取直線型鋼筋連接桌腿且以折疊過程中鋼筋起始位置和結(jié)束位置為邊界開鑿大面積槽口［2－3］，文獻也沒有涉及到曲線變換理論．

2　預備知識

2．1 符號說明與旋轉(zhuǎn)假設(shè)

（i）參數(shù)a，b，L分別表示橢圓兩個半軸長、矩形長邊的一半；m，n，c為母線數(shù)據(jù)，H和h表示桌面高度和厚度，d表示桌腿旋轉(zhuǎn)軸的量．

（ii）平面是由相互平行的一簇直線構(gòu)成，直線不能彎曲；直線與直線之間可以彈性變化．

（iii）平板厚度不對旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生影響．

（iv）在推導過程中，旋轉(zhuǎn)參數(shù)φ∈（－π／2，π／2）、橢圓參數(shù)θ∈（0，π／2）； φ（0）＜0，φ′（θ）≥0．

2．2 繞曲線旋轉(zhuǎn)母線長度不變變換

在空間直角坐標系O－xyz中，有一個中心在坐標原點的橢圓

以及長為2L寬為2b的矩形．橢圓內(nèi)切于矩形長邊的中點，如圖1所示．坐標平面xOy第一象限內(nèi)存在一條以θ為參數(shù)的曲線MN，其參數(shù)方程為

圖1　曲線MN繞橢圓曲線旋轉(zhuǎn)示意圖

曲線MN上任意點P0與橢圓上點A具有相同y坐標，線段AP0繞A點旋轉(zhuǎn)，P0終止于P，φ為AP與z軸的方向角．旋轉(zhuǎn)終止時曲線MN對應(yīng)的空間曲線為

其中φ與θ具有關(guān)系φ＝φ（θ）．若旋轉(zhuǎn)過程保持曲線MN長度不變，則式（2）滿足

求導得

綜合式（1），（2）和（3）得

解得

若要實解存在，由判別式大于等于零得

解不等式得到f（θ）的取值條件

結(jié)合定積分性質(zhì)，上式各部分分別在［θ，π／2］上積分得到

由f（π／2）＝m，得

式（5）和（6）的幾何意義如圖2和圖3所示，其中m可以小于a．式（6）有兩種特殊情況．

情況1 當f（θ）＝m時，由式（4）得φ＝π／2，即直線MN的初始狀態(tài)．

情況2 當f（θ）＝m＋acosθ時，

根據(jù)假設(shè)條件，若上式取大于號，得到f′（θ）＜0，則f（θ）存在范圍寬泛；此處用取等號成立來限制f（θ）的范圍，則有

圖2　f′（θ）的范圍示意圖

圖3　x＝f（θ）分布示意圖

（i）分子取差．得φ＝φ0，φ0是由初始條件確定的任意常數(shù)，即旋轉(zhuǎn)是自由的．

（ii）分子取和．φ與θ的函數(shù)關(guān)系為

其中C由初始條件確定．

除了兩種特殊情況，f（θ）可以是滿足條件式（6）由式（4）確定的任何連續(xù)曲線．

2．3 光滑曲線長度不變旋轉(zhuǎn)模型

以端點M固定作為初始條件，曲線MN繞橢圓曲線旋轉(zhuǎn)，保持長度不變須滿足

2．4 折線長度不變旋轉(zhuǎn)模型

在實際情況下，由式（1）確定的曲線較難實現(xiàn)，取而代之的可以是整體形狀與光滑曲線相似而局部差異較大的折線．根據(jù)式（5）得到

由式（1）得到

綜合這兩式，得

此式右端是橢圓上對應(yīng)參數(shù)θ的點處切線斜率，即與橢圓具有相同參數(shù)θ的點處，折線MN的斜率不大于橢圓切線的斜率．如圖4所示．

圖4　折線MN上第1段旋轉(zhuǎn)軸與第i＋1段示意圖

k等分y的取值區(qū)間［0，b］．考慮到式（5）限制，令折線MN上i分點與i＋1分點連線斜率等于i＋1分點對應(yīng)的橢圓上點處切線斜率－bcotθi＋1／a；由于k分點處相應(yīng)斜率不存在，令xk＝xk－1．分點的橫坐標遞推公式為

曲線換為折線，曲線旋轉(zhuǎn)變換局部變成線段繞平面xoy內(nèi)平行于y軸的直線旋轉(zhuǎn)．折線旋轉(zhuǎn)變換完

全由折線分界點旋轉(zhuǎn)狀態(tài)確定，記折線分段點處旋轉(zhuǎn)角為φi＝φ（θi）．變換后的空間曲線由

確定．保持長度不變變換的條件式（3）換為差分方程，即φi＝φ（θi）由

確定．折線的一段如圖4所示，直線x＝d是第一段折線的旋轉(zhuǎn)軸．

折線上不同的線段繞著不同的軸旋轉(zhuǎn)，分段點既要滿足前一線段旋轉(zhuǎn)要求又要滿足后一線段旋轉(zhuǎn)要求，這種矛盾需要通過改變設(shè)計參數(shù)得以解決．如增加MN旋轉(zhuǎn)自由度、旋轉(zhuǎn)軸離散化為點等．

3　旋轉(zhuǎn)軸為圓周的折疊桌模型

取參數(shù)L＝60cm，a＝b＝25cm，m＝30cm，H＝53cm，h＝3cm．可以驗證，若式（4）中分子取和，則φ相對于θ的變化率太大即φ的取值范圍過大，實際情況難以滿足，下面僅討論取差情形．

3．1 光滑曲線折疊桌模型

以光滑曲線f（θ）＝m＋ccosθ為例討論．假設(shè)構(gòu)成桌腿的窄木條足夠多，木條繞點作中心旋轉(zhuǎn)，中心都在圓周上．由桌高要求可以得到初始條件因此式（8）變?yōu)榉e分方程問題

又因為折疊桌伸展平面關(guān)于y軸對稱，其寬邊中點旋轉(zhuǎn)后的空間橫x坐標不能小于零，即

其中q＝2c／a－1．

積分方程右端積分上限θ等于零時，方程左端上限φ與參數(shù)q（或c）建立了函數(shù)關(guān)系．此問題只有唯一解q＝1（或c＝a）．若要得到其它解，可以通過優(yōu)化參數(shù)L和c實現(xiàn)．

3．2 折線折疊桌模型

在實際情況下，連接桌腿的槽線呈曲線性狀較難實現(xiàn)或造價高、呈平行于y軸的直線會造成桌面內(nèi)槽太長；假設(shè)桌腿足夠多且以點為中心旋轉(zhuǎn)也是較為理想化的．比較切合實際的是MN為折線．根據(jù)式（9）取k＝10，可以得到折線MN的長度約為32．33cm，參數(shù)n＝46．90cm（此時折線比光滑曲線長約0．78cm）．其它相關(guān)參數(shù)，見表1第一、二、三行．

表1　折線分點坐標、內(nèi)側(cè)槽口長度（cm）和木條旋轉(zhuǎn)角

木板對稱性要求，其一側(cè)寬邊旋轉(zhuǎn)結(jié)束時不能影響另一側(cè)，即桌腳線中點橫坐標x不為負：

此時旋轉(zhuǎn)限制條件（10）變?yōu)?/p>

相鄰折線旋轉(zhuǎn)軸不同導致的矛盾，可以通過改善參數(shù)得以解決．方法是在每條桌腳寬木條的內(nèi)側(cè)開鑿一定長度的線槽，也就是說把桌腿的每一寬木條槽口形狀設(shè)計成喇叭形或三角形（如圖5所示），以此保證位于同一分段點兩側(cè)的木條在旋轉(zhuǎn)過程中其槽內(nèi)槽線有足夠活動范圍，即給槽線增加一個自由度．活動范圍即內(nèi)側(cè)槽口長度由桌面穩(wěn)定折疊后相鄰兩木條旋轉(zhuǎn)角φi與φi＋1的差異及其它相關(guān)參數(shù)決定．因為初始狀態(tài)時相鄰兩木條對應(yīng)的折線分段點重合，旋轉(zhuǎn)變換導致位于兩木條原本重合的分段點逐漸分離，分離長度Δ（θi）簡記為Δi，如圖5和圖6所示．最后一木條（i＝9分點內(nèi)側(cè)）不需要擴大槽口．折線MN的i＋1分點對應(yīng)的P0有兩個旋轉(zhuǎn)變換中心A 和A′，一個是相對于前一段折線，中心軸是x＝25cosθi（i≠0）；一個是相對于后一段折線，中心軸是x＝25cosθi＋1．同時，P0繞A（或A′）旋轉(zhuǎn)變換后的P（或P′）點對應(yīng)有兩個旋轉(zhuǎn)角記為φi（或φi＋1），其旋轉(zhuǎn)軌跡在zox坐標平面的投影如圖6所示，槽口形狀見圖5，槽口長度見圖5和圖6．

圖5　桌腿寬木條開槽示意圖

圖6　折點旋轉(zhuǎn)軌跡在zOx平面投影示意圖

差分方程難以得到分析解，但可以換一個角度分析，根據(jù)圖6得到關(guān)于φ的兩個等式

以及

式（11）是差分方程的解．Δi與φi計算結(jié)果數(shù)據(jù)見表1倒數(shù)第二、三行．考慮到旋轉(zhuǎn)終止條件，修正槽口長度和參數(shù)d．最后得到參數(shù)d≈9．16cm，旋轉(zhuǎn)變換后曲線長度為30．40m．

桌體形狀以及桌腳邊緣的空間曲線圖形如圖7所示，桌腳線最高點距桌面和地面都是25cm，關(guān)于y軸對稱觸地桌腳相距約36．70cm，桌體穩(wěn)定性較好．對稱桌角線在最高點重合，便于借助外部部件固定桌體．

圖7　桌體與桌腳線示意

3．3 模型參數(shù)優(yōu)化

3．3．1 光滑曲線參數(shù)優(yōu)化

若不考慮力學因素，桌體的穩(wěn)定性需要考慮兩個方面：一是對稱桌腿底端距離不易太??；二是旋轉(zhuǎn)結(jié)束狀態(tài)穩(wěn)定，可以通過外部構(gòu)件使桌體寬邊的中點重合在一起后借助外部附件實現(xiàn)，即滿足φ（0）＝－arcsin［a／（L－a）］．實現(xiàn)的方法較多，如優(yōu)化初始條件φ0、矩形長度L、位置參數(shù)m等等，也可以通過矩形寬邊向內(nèi)彎曲達到目的．此處只考慮優(yōu)化矩形長度L，由式（8）得

其中q＝2c／25－1，參數(shù)L和c的關(guān)系圖形如圖8所示．

只需取L＝59cm，c＝22．10cm即可．曲線MN的參數(shù)方程為

曲線端點N的坐標為（52．10，0，0）．此時折疊結(jié)果如圖9所示，其中紅色部分為桌腳線空間圖形．

3．3．2 折線參數(shù)優(yōu)化

折線模型的理論依據(jù)是光滑曲線模型，由以上討論可知，可以進行參數(shù)優(yōu)化．在桌高和板厚一定情況下，利用L與d的關(guān)系可以優(yōu)化參數(shù)．根據(jù)式（10），取k＝10．即

圖8　L與c的關(guān)系圖

圖9　紅色為桌腳線空

雖然模型已知，但遞推過程較長、運算過程難實現(xiàn)．此處討論φ（0）恰好取到最小值時的情況，采用步長搜索［4］確定參數(shù)L的最優(yōu)值，步長為0．5cm，數(shù)據(jù)見表2．

表2　參數(shù)優(yōu)化（L與d的關(guān)系）步長0．5cm

根據(jù)需要取最優(yōu)解，如L＝60cm，d≈1．35cm，圖形與圖7相似．

3．3．3 利用邊界條件曲線優(yōu)化

當式（6）達到最大值邊界即f（θ）＝m＋acosθ時得到式（7），利用式（7）確定分段點把連續(xù)曲線離散化為折線，也可以實現(xiàn)參數(shù)優(yōu)化．優(yōu)化過程與結(jié)果如下：

由此可以得到對應(yīng)于參數(shù)θi的旋轉(zhuǎn)參數(shù)φi，利用（12）也可得到數(shù)據(jù)Δi．在L＝60cm時，數(shù)據(jù)見表1最后一行．利用步長搜索法優(yōu)化參數(shù)L和d，結(jié)果數(shù)據(jù)見表3．

表3　參數(shù)優(yōu)化（L與d的關(guān)系）步長0．5cm

考慮到桌體的穩(wěn)定性、美觀性，兩對稱桌腿的距不能太小、d不要過小且盡量保證與其后兩個旋轉(zhuǎn)軸位置成單調(diào)數(shù)列，可以在表3中選取一對數(shù)值，如L＝57cm，d≈6．75cm．具體情況，可以根據(jù)實際需要確定參數(shù)值．對比兩種優(yōu)化參數(shù)d值，1．35cm牢固性差，6．75cm會更合理．

4　結(jié) 論

本文以橢圓曲線為旋轉(zhuǎn)軸、平面內(nèi)曲線為母線，研究在旋轉(zhuǎn)過程中母線保持長度不變的變換，給出母線保持長度不變旋轉(zhuǎn)變換應(yīng)具備的條件、旋轉(zhuǎn)參數(shù)的取值范圍及參數(shù)之間的關(guān)系，建立繞橢圓旋轉(zhuǎn)的分析模型．利用模型為折疊桌設(shè)計開槽曲線，并討論了相關(guān)參數(shù)的優(yōu)化設(shè)計策略．

在理論推導過程與模型數(shù)據(jù)檢驗過程中發(fā)現(xiàn)，參數(shù)之間的關(guān)系密切且變化率大．如參數(shù)c的較小變化量會導致φ有較大變化、d對L的影響也比較大、分段點確定方式對設(shè)計參數(shù)的影響較大．

［參 考 文 獻］

［1］ 高教社杯全國大學生數(shù)學建模競賽．B題：創(chuàng)意平板折疊桌，2014．http：／／www．mcm．edu．cn／problem／2014／cumcm2014problems．rar

［2］ 侯勇超，張大全，李媛媛，等．一種平板折疊桌的動態(tài)建模和最優(yōu)設(shè)計［J］．巢湖學院學報，2014，16（6）：24－28．

［3］ 劉睿，張蒙，張政．創(chuàng)意平板折疊桌優(yōu)化設(shè)計［J］．西安航空學院學報，2015，33（3）：65－71．

［4］ 高明海，劉守鵬．容器變位識別與容量表標定模型研究［J］．工程數(shù)學學報，2014，31（3）：321－340．

The Invariance of Length of a Generatrix Revolved about a Curve and Its Application

GAO Ming－h(huán)ai， LIU Shou－peng， QI Ai－qin， LIU Lin， LIU Fang
（School of Public Health and Management，Binzhou Medical University，Yantai 264003，China）

Abstract：The rotation transform，with its axis is an elliptic curve and its generatrix is a plane curve，will be discussed，and the generatrixwill keep up its length in rotation．Firstly，the conditions of rotation，the range of parameters and the relationships between parameters will all be given．Secondly，the transformation model will be built up．Finally，the feasibility of the rotation transform and the practicality of the rotation model will be searched，and then the throating will be designed in the table legs，such as an elliptic curve and a broken line．

Key words：generatrix；rotation transform；invariance of length；equation；parameter

［基金項目］國家自然科學基金（11001117）；山東省教育科學“十二五”規(guī)劃課題（YBS15019）

［收稿日期］2015－10－09

［中圖分類號］O13；O172

［文獻標識碼］B

［文章編號］1672－1454（2016）01－0049－07