王 靜， 江 婧， 王子怡， 金少華， 趙玉姝（河北工業(yè)大學(xué)理學(xué)院，天津300401）

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樹(shù)指標(biāo)馬氏鏈關(guān)于乘積二項(xiàng)分布的強(qiáng)偏差定理

王 靜， 江 婧， 王子怡， 金少華， 趙玉姝
（河北工業(yè)大學(xué)理學(xué)院，天津300401）

［摘 要］通過(guò)構(gòu)造適當(dāng)?shù)姆秦?fù)上鞅，將Doob鞅收斂定理應(yīng)用于幾乎處處收斂的研究，研究給出了樹(shù)指標(biāo)馬氏鏈關(guān)于乘積二項(xiàng)分布的一類(lèi)強(qiáng)偏差定理．

［關(guān)鍵詞］非齊次樹(shù)；鞅；馬氏鏈；強(qiáng)偏差定理

1　引 言

樹(shù)指標(biāo)隨機(jī)過(guò)程已成為近年來(lái)發(fā)展起來(lái)的概率論的研究方向之一．強(qiáng)偏差定理一直是國(guó)際概率論界研究的中心課題之一．Dong等人在文獻(xiàn)［1］中研究了Cayley樹(shù)指標(biāo)有限狀態(tài)非齊次Markov鏈的強(qiáng)大數(shù)定律和漸近均分割性（AEP）．文獻(xiàn)［2］研究給出了Bethe樹(shù)上非齊次馬爾科夫隨機(jī)場(chǎng)的一類(lèi)強(qiáng)偏差定理．本文通過(guò)構(gòu)造適當(dāng)?shù)姆秦?fù)上鞅，將Doob鞅收斂定理應(yīng)用于幾乎處處收斂的研究，研究給出了樹(shù)指標(biāo)馬氏鏈關(guān)于乘積二項(xiàng)分布的一類(lèi)強(qiáng)偏差定理．

2　定 義

設(shè)T是一個(gè)具有根頂點(diǎn)o的無(wú)限樹(shù)，｛Nn，n≥1｝是一列正整數(shù)集，如果第n（n≥0）層上的每個(gè)頂點(diǎn)均與第n＋1層上的Nn＋1個(gè)頂點(diǎn)相鄰，則稱(chēng)T為廣義Bethe樹(shù)或廣義Cayley樹(shù)．特別地，若對(duì)非負(fù)整數(shù)集N，用模m的同余關(guān)系對(duì)其分類(lèi)得到模m的剩余類(lèi)

當(dāng)n∈（i）時(shí)，令Nn＋1＝αi（αi均為正整數(shù)且不同時(shí)為1），i＝0，1，2，…，m－1，就得到了一類(lèi)特殊的非齊次樹(shù)Tα0，α1，…，αm－1．以下恒以T表示樹(shù)Tα0，α1，…，αm－1．

設(shè)G＝0，1，2，…，N｛

｝，Xσ，σ∈T｛

｝是定義在概率空間｛Ω，F(xiàn)，P｝上的在G中取值的隨機(jī)變量族，

是G上的一概率分布，

是定義在G2上的隨機(jī)矩陣，如果?σ∈T，如si∈T滿足，有

與

3　主要結(jié)果及其證明

引理3．1 設(shè)｛Xσ，σ∈T｝是具有初始分布（1）與轉(zhuǎn)移矩陣（2）的樹(shù)指標(biāo)馬氏鏈，k＝0，1，2，…｝如前定義，令

證 因?yàn)?/p>

定理3．1 設(shè)｛Xσ，σ∈T｝是具有初始分布（1）與轉(zhuǎn)移矩陣（2）的樹(shù)指標(biāo)馬氏鏈k＝0，1，2，…｝及rn（ω）如前定義．又設(shè)M＞0，0≤c＜1為常數(shù)，令D （c）為滿足下列條件的樣本點(diǎn)ω的全體

則

證 由引理3．1及Doob鞅收斂定理知，存在A（λ）∈F，P （A（λ））＝1，使得

由（3）式，（4）式與（6）式，有

由（11）式與（12）式，有

由（8）式與（13）式，有

取λ∈（1，＋∞），將（14）式兩端同除以lnλ，得

由（5）式，（15）式與不等式

及上極限的性質(zhì)

得

有

即得當(dāng)0＜c＜1時(shí)，（9）式成立．

因?yàn)镻 （A1）＝1，故由（17）式知當(dāng)c＝0時(shí)，（9）式也成立．

取λ∈（0，1），將（14）式兩端同除以lnλ，得

由（5）式，（18）式與不等式

及下極限的性質(zhì)

得

有

由（20）式知當(dāng)0＜c＜1時(shí)，（10）式成立．仿照（17）式的證明可知當(dāng)c＝0時(shí)，（10）式也成立．

注 金少華為本文通訊作者．

［參 考 文 獻(xiàn)］

［1］ Dong Y，Yang W G，Bai J F．The strong law of large numbers and the Shannon－McMillan theorem for non－h(huán)omogeneous Markov chains indexed by a Cayley tree［J］．Statist Probab Lett，2011，81：1883－1890．

［2］ Yang W G．A class of deviation theorems for the random fields associated with non－h(huán)omogeneous Markov chains indexed by a Bethe tree［J］．Stochastic Analysis and Applications，2012，30（2）：220－237．

A Class of Strong Deviation Theorems of the Product Binomial Distribution for Markov Chains Indexed by Trees

WANG Jing， JIANG Jing， WANG Zi－yi，JIN Shao－h(huán)ua，ZHAO Yu－shu
（College of Science，Hebei University of Technology，Tianjin 300401，China）

Abstract：Through constructing a non－negative supermartingale and applies Doob’s martingale convergence theorem to the research of a．e．convergence，a class of strong deviation theorems of the product binomial distribution for Markov chains indexed by trees are given．

Key words：non－h(huán)omogeneous tree；martingale；Markov chain；strong deviation theorem

［基金項(xiàng)目］河北省高等學(xué)校科學(xué)技術(shù)研究重點(diǎn)項(xiàng)目（ZD2014051）．河北省“大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓(xùn)練計(jì)劃”創(chuàng)新訓(xùn)練項(xiàng)目（201510080059）

［收稿日期］2015－07－25

［中圖分類(lèi)號(hào)］O177．91

［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］A

［文章編號(hào)］1672－1454（2016）01－0029－04