呂東風(fēng)（廣東技術(shù)師范學(xué)院天河學(xué)院通識教育部，廣州510540）

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從Bergman空間到Bloch空間的疊加算子

呂東風(fēng)
（廣東技術(shù)師范學(xué)院天河學(xué)院通識教育部，廣州510540）

［摘 要］研究從Bergman空間到Bloch空間的疊加算子．從函數(shù)空間的性質(zhì)出發(fā)，利用不同維數(shù)的函數(shù)空間之間的關(guān)系，討論疊加算子，把單變量有關(guān)疊加算子的結(jié)果推廣到多變量，得到了與單變量一致的結(jié)果，從而刻畫了從Bergman空間到Bloch空間的疊加算子的特征，得到了從Bergman空間到Bloch空間的疊加算子的充要條件．

［關(guān)鍵詞］Bergman空間；Bloch空間；疊加算子

1　引 言

疊加算子的概念在實變函數(shù)中也有，且有很長的研究歷史，但在解析函數(shù)空間研究這個問題最近才開始［1］．1994年，Cámera和Giménez研究了從一個Bergman空間到另一個Bergman空間的疊加算子，得到了很好的結(jié)果［2］．接著，Cámera又研究了從一個Hardy空間到另一個Hardy空間的疊加算子［3］．2004年，Venancio álvarez M，Auxiliadora Márquez和Dragan Vukoti＇c．研究了從Bergman空間到Bloch空間的疊加算子［4］．但這些結(jié)果都是單變量的，本文主要把單變量的關(guān)于疊加算子結(jié)果推廣到多變量情形．

設(shè)X和Y都是距離空間，且X?H（Bn），Y?H（Bn），其中H（Bn）表示n中單位球Bn上所有全純函數(shù)的集合，ψ為復(fù)平面上的函數(shù)．若對任意的f∈X，均有φf∈Y，則得到一個從X到Y(jié)的映射，記為Tψ，即Tψ（f）＝ψf，我們稱Tψ為從X到Y(jié)的由ψ誘導(dǎo)的疊加算子，ψ稱為疊加算子的符號．顯然，如果X中含有線性函數(shù)，則ψ必為整函數(shù)．如果X和Y均是線性賦范空間，則Tψ是線性算子當(dāng)且僅當(dāng)ψ（z）＝az．

很自然的問題是：對給定的X和Y，當(dāng)ψ滿足什么條件時，Tψ是從X到Y(jié)的由ψ誘導(dǎo)的疊加算子？ψ滿足什么條件時，Tψ是有界的？

2　主要結(jié)論

定義1 本文中，用dm2n（z）表示中單位球Bn上的Lebesgue測度，規(guī)范化后記為即．設(shè)記，則Ap（n）為Bergman空間．

Bergman空間的性質(zhì)［5］

當(dāng)0＜p＜1時，Ap（n）為完備的距離空間，其距離定義為

當(dāng)p≥1時，Ap（n）為Banach空間，其范數(shù)定義為

當(dāng)p＝2時，A2（n）為Hilbert空間，其內(nèi)積定義如下

定義2［5］記為全純函數(shù)f（z）在點z的復(fù)梯度，則B（n）即為Bloch空間，在范數(shù)‖f‖B下，B（n）則為Banach空間．

注1 為了后面表述更為清晰，上述定義中所用記號與常用記號有所不同，主要是表明了維數(shù)．

引理1［4］設(shè)0＜p＜＋∞，φ是一個整函數(shù)，則算子Tφ（f）＝φf為從Ap（1）到B（1）的疊加算子當(dāng)且僅當(dāng)φ（z）＝c，z∈，c為常數(shù)．

由引理1，可推出如下定理1．

定理1 設(shè)0＜p＜＋∞，φ是一個整函數(shù)，那么算子Tφ（f）＝φf為從Ap（n）到B（n）的疊加算子當(dāng)且僅當(dāng)φ（z）＝c，z∈，c為常數(shù)．

為證明定理1，先證如下引理2：

引理2 Ap（k）?Ap（n），其中1≤k＜n．

證 設(shè)f∈Ap（k），令g（z）＝g（z′，z″）＝f（z′），其中

因為f∈Ap（k），故．此時

引理3 設(shè)1≤k＜n，g（z）＝g（z′，z″）＝f（z′），其中

則g（z）∈B（n）當(dāng)且僅當(dāng)f（z′）∈B（k）．

證 必要性． 設(shè)g（z）∈B（n），由于＝

故f（z′）∈B（k）．

故g（z）∈B（n）．

定理1證 充分性顯然成立，只需證明必要性．

必要性．對任意f∈Ap（1），由引理2可知f∈Ap（n）．因為Tφ（f）＝φf是從Ap（n）到B（n）的疊加算子，故對任意的f∈Ap（1），有φf∈B（n），而f只依賴一個變量，故φf也只依賴一個變量，從而由引理3可知φf∈B（1），所以Tφ（f）＝φf也是從Ap（1）到B（1）的疊加算子，由引理1可知，φ（z）＝c，z∈，c為常數(shù)．

注3 結(jié)合定理1、引理2、引理3可得出更一般的結(jié)論，即定理2．

定理2 用X（n）和Y（n）表示兩個距離空間，且Χ（n）?H（Bn），Y（n）?H（Bn）．設(shè)ψ為復(fù)平面上的函數(shù)，X（n）具有性質(zhì)X（1）?X（n），Y（n）具有性質(zhì)g（z）＝g（z′，z″）＝f（z′）∈Y（n）當(dāng)且僅當(dāng)f（z′）∈Y（k），其中z＝（z′，z″），z′＝（z1，…，zk），z″＝（zk＋1，…，zn）．那么，如果算子Tφ（f）＝φf為從X（n）到Y(jié)（n）的疊加算子，則算子Tφ（f）＝φf為從X（1）到Y(jié)（1）的疊加算子．

［參 考 文 獻(xiàn)］

［1］ Appell J，Zabrejko P P．Nonlinear Superposition Operators［M］．Cambridge Tracts in Mathematics95，Cambridge：Cambridge Univ．Press，1990．

［2］ Cámera G A，Giménez J．The nonlinear superposition operators acting on Bergman spaces［J］．Compositio Math，1994，93：23－35．

［3］ Cámera G A．Nonlinear superposition on spaces of analytic functions，in Harmonic Analysis and Operator Theory （Caracas，1994）［J］．Contemp．Math．，1995，189：103－116．

［4］ Venancio álvarez M，Auxiliadora Márquez and Dragan Vukoti＇c．Superposition operators between the Bloch space and Bergman spaces［J］．Arkiv f?r Matematik，2004，42（2）：205－216

［5］ Zhu K H．Spaces of Holomorphic Functions in the Unit Ball［M］．New York：Springer，2004．

Superposition Operators from the Bergman Space to Bloch Space

LV Dong－feng
（General Education Department，Guangdong Polytechnic Normal University，Gangzhou 510540，China）

Abstract：We research the superposition operators from the Bergman space to Bloch space．With the nature of function spaces and the relationship between the function spaces of different dimensions，we discuss the superposition operators，generalize the results of superposition operator about single variable to multiple variables and obtain the results that are consistent with the ones of single variable．It describes the nature and obtains necessary and sufficient conditions of the superposition operators from the Bergman space to Bloch space．

Key words：Bergman space；Bloch space；superposition operators

［收稿日期］2015－04－23

［中圖分類號］O177．1

［文獻(xiàn)標(biāo)識碼］A

［文章編號］1672－1454（2016）01－0026－03