謝啟鴻（復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，上海200433）

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循環(huán)子空間的若干應(yīng)用

謝啟鴻
（復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，上海200433）

［摘 要］從線性變換誘導(dǎo)的循環(huán)子空間出發(fā)，推導(dǎo)出了Cayley－Hamilton定理，并給出了循環(huán)子空間在相似標(biāo)準(zhǔn)形理論以及一些相關(guān)問題中的若干應(yīng)用．

［關(guān)鍵詞］線性變換；不變子空間；循環(huán)子空間；Cayley－Hamilton定理；有理標(biāo)準(zhǔn)形；Jordan標(biāo)準(zhǔn)形

設(shè)V是數(shù)域K上的n維線性空間，φ是V上的線性變換．對任意的非零向量α∈V，由α，φ（α），φ2（α），…張成的子空間C（φ，α）稱為向量α關(guān)于線性變換φ的循環(huán)子空間，α稱為循環(huán)子空間C（φ，α）的循環(huán)向量．由定義知道，C（φ，α）是φ的不變子空間，而且是包含向量α的最小不變子空間．

講授相似標(biāo)準(zhǔn)形理論的傳統(tǒng)方法是λ－矩陣的方法，這種方法在證明有理標(biāo)準(zhǔn)形和Jordan標(biāo)準(zhǔn)形存在性的基礎(chǔ)上，還能教會學(xué)生如何計算上述兩種標(biāo)準(zhǔn)形，所以對初學(xué)者來說是一個較好的選擇．而如果要用幾何的方法建立相似標(biāo)準(zhǔn)形理論，那么循環(huán)子空間將在這一過程中起到舉足輕重的作用．例如，由Cayley－Hamilton定理可以得到全空間關(guān)于根子空間的直和分解，而每一個根子空間又可以分解為若干個循環(huán)子空間的直和，由此即可推導(dǎo)出Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的存在性（參考［2］的§7．2．10）．雖然仍需要通過進一步的計算來確定Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的形狀，但循環(huán)子空間給予了Jordan標(biāo)準(zhǔn)形理論一個清晰的幾何意義，讓我們可以看清楚復(fù)雜問題的幾何內(nèi)涵．

按照近世代數(shù)（模論）的觀點來看，V是多項式環(huán)K［x］上的模，即對任意的多項式f（x）以及任意的向量α∈V，K［x］關(guān)于V的作用可定義為f（x）·α＝f（φ）（α）．由于K［x］是主理想整區(qū)，故由主理想整區(qū)上有限生成模的結(jié)構(gòu)定理可得V的K［x］－循環(huán)子模的直和分解．注意到V的K［x］－循環(huán)子模均可寫成K［x］·α的形式，其中α是V中的某個向量，根據(jù)模結(jié)構(gòu)的定義，上述循環(huán)子模就是循環(huán)子空間C（φ，α）．進一步，對應(yīng)于V的K［x］－循環(huán)子模直和分解的不變因子組和初等因子組，可分別得到φ的有理標(biāo)準(zhǔn)形和Jordan標(biāo)準(zhǔn)形．因此，一個Frobenius塊或一個Jordan塊對應(yīng)的子空間就是一個循環(huán)子空間．當(dāng)然，即使不從較高的觀點來建立相似標(biāo)準(zhǔn)形理論，一般的高等代數(shù)教材（例如［1］）也都會引入循環(huán)子空間的概念并闡述其幾何意義，但通常篇幅不會太長，也很少探討它的相關(guān)應(yīng)用等．

在講授完相似標(biāo)準(zhǔn)形理論后，作者在復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院本科生的高等代數(shù)習(xí)題課上引入了循環(huán)子空間的理論，闡述了它的幾何意義，并且深入探討了它在一些問題中的應(yīng)用，得到了較好的教學(xué)效果．本文試將這些內(nèi)容進行如下的總結(jié)．

以下總是假設(shè)V是數(shù)域K上的n維線性空間，φ是V上的線性變換．我們先證明關(guān)于循環(huán)子空間的兩個引理．

引理1 設(shè)α是V中的非零向量，C（φ，α）是循環(huán)子空間．設(shè)di mC（φ，α）＝m，則｛α，φ（α），…，φm－1（α）｝是C（φ，α）的一組基．

證 設(shè)于是α，φ（α），…，φk－1（α）線性無關(guān)，但α，φ（α），…，φk（α）線性相關(guān)，故φk（α）是α，φ（α），…，φk－1（α）的線性組合．進一步用數(shù)學(xué)歸納法容易證明：對任意的i≥k，φi（α）都是α，φ（α），…，φk－1（α）的線性組合．因此｛α，φ（α），…，φk－1（α）｝是C（φ，α）的一組基，從而m＝dimC（φ，α）＝k，結(jié)論得證．

引理2 設(shè)α是V中的非零向量，使得V＝C（φ，α）（此時V稱為循環(huán)空間，α稱為全空間的循環(huán)向量）．設(shè)ψ是V上的另一線性變換且φψ＝ψφ，則

（i）ψ由它在循環(huán)向量α上的取值ψ（α）唯一確定；

（ii）存在多項式g（x）∈K［x］，使得ψ＝g（φ）．

證 （i）由引理1可知，｛α，φ（α），…，φn－1（α）｝是V的一組基．線性變換ψ由它在基向量上的取值唯一確定，又由φ，ψ的交換性可得ψ（φi（α））＝φi（ψ（α））（0≤i≤n－1），因此ψ由ψ（α）唯一確定．

（ii）設(shè)

令

則ψ（α）＝g（φ）（α），即線性變換ψ，g（φ）在循環(huán)向量α上的取值相同．又ψ，g（φ）都與φ可交換，從而由（1）可得ψ＝g（φ）．

先利用循環(huán)子空間來證明著名的Cayley－Hamilton定理．

證 任取非零向量α∈V，設(shè)dimC（φ，α）＝m，則由引理1可知，｛α，φ（α），…，φm－1（α）｝是C（φ，α）的一組基．設(shè)，

令

則g（φ）（α）＝0．容易驗證φ限制在C（φ，α）上在基｛α，φ（α），…，φm－1（α）｝下的表示矩陣為多項式g（λ）的友陣

將｛α，φ（α），…，φm－1（α）｝擴張為V的一組基，則φ在這組基下的表示矩陣為

于是

證 先證充分性．設(shè)f（λ）是K上的不可約多項式，則與定理1完全相同的證明可得f（λ）＝g（λ）h（λ），從而只能是h（λ）＝1，于是

因此C（φ，α）＝V對任意的非零向量α都成立．．因此f（φ）（α）＝h（φ）g（φ）（α）＝0，再由α的任意性即得f（φ）＝0．

若V有一個非平凡的φ－不變子空間U，任取一個非零向量α∈U，則有C（φ，α）?U≠V．反之，若存在一個非零向量α∈V，使得C（φ，α）≠V，則C（φ，α）就是一個非平凡的φ－不變子空間．因此，V只有平凡的φ－不變子空間當(dāng)且僅當(dāng)對任意的非零向量α∈V，C（φ，α）＝V都成立，即V的任一非零向量都是全空間的循環(huán)向量．利用循環(huán)子空間的理論，還能給出下列命題的一個簡單證明．

命題1 V只有平凡的φ－不變子空間當(dāng)且僅當(dāng)特征多項式

再證必要性．設(shè)f（λ）在K上可約，即f（λ）＝g（λ）h（λ），其中degg（λ）＜n，degh（λ）＜n，則由Cayley－Hamilton定理可得f（φ）＝g（φ）h（φ）＝0．注意到Kerg（φ）和Kerh（φ）不可能同時是零空間，否則g（φ）和h（φ）都是線性同構(gòu)，這與g（φ）h（φ）＝0相矛盾．因此Kerg（φ）和Kerh（φ）至少有一個非零，不妨設(shè)Kerg（φ）≠0．進一步可設(shè)

其中m＜n，再任取0≠α∈Kerg（φ），則有

用數(shù)學(xué)歸納法容易證明：對任意的i≥m，φi（α）都是α，φ（α），…，φm－1（α）的線性組合，因此C（φ，α）的維數(shù)小于等于m，從而C（φ，α）≠V．

設(shè)φ的不變因子組為1，…，1，d1（λ），…，dk（λ），其中di（λ）是K上的非常數(shù)首一多項式，且di（λ）｜di＋1（λ）（1≤i≤k－1），則由有理標(biāo)準(zhǔn)形理論可知，存在V的一組基｛e1，e2，…，en｝，使得φ在這組基下的表示矩陣為有理標(biāo)準(zhǔn)形

其中F（di（λ））表示多項式di（λ）的友陣（形狀見定理1的證明）．例如，若設(shè)

則有如下的關(guān)系圖成立：

這說明第一個Frobenius塊F（d1（λ））對應(yīng)的子空間L（e1，e2，…，em）就是由e1生成的循環(huán)子空間C（φ，e1）．因此全空間V可以分解為若干個基向量生成的循環(huán)子空間的直和：

我們來看一個特殊情形．若φ的不變因子組為1，…，1，f（λ），即極小多項式等于特征多項式f（λ），則φ的有理標(biāo)準(zhǔn)形只含一個Frobenius塊F（f（λ）），此時V＝C（φ，e1）就是一個循環(huán)空間．反之，若V＝C（φ，α）是一個循環(huán)空間，則由引理1可知｛α，φ（α），…，φn－1（α）｝是V的一組基，仿照定理1的證明可得φ在這組基下的表示矩陣為F（f（λ）），其中f（λ）是φ的特征多項式，也是φ的極小多項式．利用上述一一對應(yīng)可得如下兩個有趣的推論．

推論1 設(shè)A＝F（f（λ））為n次首一多項式f（λ）的友陣，B為同階方陣，若AB＝BA，則存在次數(shù)小于n的多項式g（λ），使得B＝g（A）．

證 利用代數(shù)與幾何之間的對應(yīng)關(guān)系和引理2（2）即得結(jié)論．

推論2 設(shè)V是數(shù)域K上的n維線性空間，φ是V上的線性變換，α1≠0，α2，…，αm是V中的向量，滿足

令

若g（λ）在K上不可約，則α1，α2，…，αm線性無關(guān)．

證 顯然，U＝L（α1，α2，…，αm）＝C（φ，α1）是V的循環(huán)子空間．記φ在U上的限制為φ1，則U＝C（φ1，α1）也是一個循環(huán)空間．設(shè)φ1的特征多項式為h（λ），則h（λ）也是φ1的極小多項式．由假設(shè)可知g（φ1）（α1）＝0，故由引理2（1）可得g（φ1）＝0，再由極小多項式的基本性質(zhì)可得h（λ）｜g（λ）．因為g（λ）在K上不可約，所以只能是h（λ）＝g（λ），于是U的維數(shù)等于degh（λ）＝degg（λ）＝m，從而｛α1，α2，…，αm｝是U的一組基，故必線性無關(guān)．

一個循環(huán)空間還可以分解為若干個循環(huán)子空間的直和，我們來看下面的命題．

命題2 設(shè)V是數(shù)域K上的n維線性空間，φ是V上的線性變換，f（λ）是φ的特征多項式．設(shè)存在非零向量α∈V，使得V＝C（φ，α）為循環(huán)空間，則以下結(jié)論等價：

（i）f（λ）＝P1（λ）m1…Pr（λ）mr，其中Pi（λ）（1≤i≤r）是數(shù)域K上互異的首一不可約多項式，mi（1≤i≤r）是正整數(shù)；

（ii）r＝max｛s∈Z＋｜存在非零向量α1，…，αs∈V，使得

證 （i）由前面的討論可知，存在非零向量α∈V，使得V＝C（φ，α）當(dāng)且僅當(dāng)φ的不變因子組為1，…，1，f（λ）．改寫（ii）為：

（ii）k＝max｛s∈Z＋｜存在非零向量α1，…，αs∈V，使得，只要證明：由（i）可推出k≥r；由（ii）可推出r≥k，于是有k＝r，因此（i）與（ii）等價．

假設(shè)（i）成立，因為初等因子組是相似關(guān)系下的全系不變量，故由［2］的例7．2可知，存在直和分解，使得的不變因子組為于是存在使得Vi從而

假設(shè)（ii）成立，設(shè)dimC（φ，αi）＝ni，則由引理1可知，是C（φ，αi）的一組基．于是是V的一組基，φ在這組基下的表示矩陣為

其中fi（λ）是φ限制在C（φ，αi）上的特征多項式，F(xiàn)（fi（λ））是fi（λ）的友陣．一方面考察特征多項式，有f（λ）＝f1（λ）…fk（λ）；另一方面考察極小多項式，由［1］的命題6．3．3可知，f（λ）是f1（λ），…，fk（λ）的最小公倍式，因此f1（λ），…，fk（λ）必兩兩互素，于是f（λ）的互異的首一不可約因式至少有k個，從而r≥k．

其中Jri（λi）是如下ri階的Jordan塊：

這說明第一個Jordan塊Jr1（λ1）對應(yīng)的子空間V1＝L（e1，e2，…，er1）就是由er1生成的循環(huán)子空間C（φ1，er1）．因此全空間V可以分解為若干個基向量生成的循環(huán)子空間的直和：

注意到φi＝φ｜Vi－λiIVi，其中Vi是第i個Jordan塊對應(yīng)的子空間，因此上述循環(huán)子空間都是關(guān)于不同線性變換的循環(huán)子空間，而且每一個循環(huán)軌道（上述關(guān)系圖）都是以零向量結(jié)尾，這些都是與有理標(biāo)準(zhǔn)形誘導(dǎo)的循環(huán)子空間直和分解不同的．

下面利用Jordan塊對應(yīng)的循環(huán)子空間來給出兩個有趣的應(yīng)用．

推論3 設(shè)A＝Jn（λ0）是特征值為λ0的n階Jordan塊，B為同階方陣，若AB＝BA，則存在次數(shù)小于n的多項式g（λ），使得B＝g（A）．

證 用幾何的語言來證明．設(shè)φ是n維復(fù)線性空間V上的線性變換，φ在V的一組基｛e1，e2，…，en｝下的表示矩陣是Jordan標(biāo)準(zhǔn)形Jn（λ0），ψ是另一線性變換且與φ可交換，令φ0＝φ－λ0IV，則V＝C（φ0，en）為循環(huán)空間且φ0ψ＝ψφ0．由引理2（2）可知，存在次數(shù)小于n的多項式g0（λ），使得ψ＝g0（φ0），令g（λ）＝g0（λ－λ0），則ψ＝g（φ）．

如果已知n階方陣A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形為J＝diag｛Jr1（λ1），Jr2（λ2），…，Jrk（λk）｝，一個自然的問題是，對任意的正整數(shù)m，Am的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型如何確定？要回答這個問題，只要對Jordan塊Jn（λ0）來考慮即可．若λ0≠0，則通過Jordan標(biāo)準(zhǔn)形理論不難證明Jn（λ0）m的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形是（參考［2］的例7．35）；若要考慮Jn（0）m的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形，如用代數(shù)的方法，則需要通過矩陣的秩與Jordan塊個數(shù)的關(guān)系來得到結(jié)論（參考［2］的例7．33和例7．36）．在這里我們將通過Jordan塊對應(yīng)的循環(huán)子空間來給出上述問題的幾何解法．

例1 求Jn（0）m（m≥1）的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形．

解 若m≥n，則Jn（0）m＝O．以下可設(shè)m＜n，并作帶余除法n＝mq＋r，其中0≤r＜m．用幾何的語言來考慮，設(shè)φ是n維復(fù)線性空間V上的線性變換，φ在V的一組基｛e1，e2，…，en｝下的表示矩陣是Jordan標(biāo)準(zhǔn)形Jn（0），則V＝C（φ，en）為循環(huán)空間．由φm可誘導(dǎo)出如下的循環(huán)軌道：是K上的不可約多項式，用反證法來證明結(jié)論．若任取Im（φψ－ψφ）中的非零向量α，則Im（φψ－ψφ）＝L（α）．因為φ的特征多項式f（λ）在K上不可約，由命題1充分性的證明可得V＝C（φ，α），再由引理1可知，｛α，φ（α），…，φn－1（α）｝是V的一組基．設(shè)線性變換φψ－ψφ在這組基下的表示矩陣為C＝（cij），則由Im（φψ－ψφ）＝L（α）可得cij＝0對任意的i＞1成立，于是

一般地，對任意的k≥1，考慮線性變換（φψ－ψφ）φk－1在上述基下的表示矩陣，這是一個從第二行開始都為零且第（1，1）元素等于c1k的矩陣，于是

從而C＝O，即φψ－ψφ＝0，這與r（φψ－ψφ）＝1相矛盾．

注意到命題1，推論2和例2中都有不可約多項式的條件，因此利用互素多項式的性質(zhì)也可以給出上述題目的其他證明（推論2的另證可參考［2］的例5．76）；另外，推論1和推論3也有代數(shù)的證明（可參考［2］的例7．22和例7．23）．可能某些證明要比本文中的證明更簡單，然而循環(huán)子空間的方法卻給出了清晰的幾何意義，讓學(xué)生們能通過幾何直觀抓住問題的本質(zhì)，從而加深對問題的理解，最終找到解決問題的有效途徑．事實上，這也是復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院高等代數(shù)教學(xué)中的一條主線，即在要求學(xué)生熟練掌握代數(shù)方法的同時，也要求學(xué)生深入理解概念和定理的幾何意義，強調(diào)代數(shù)與幾何之間的相互轉(zhuǎn)換和有機統(tǒng)一，而本文所闡述的循環(huán)子空間的若干應(yīng)用正是從一個側(cè)面反映了這種理念在高等代數(shù)教學(xué)中的實踐．

致謝 在本文的撰寫過程中，得到了復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院姚慕生教授、吳泉水教授、朱勝林教授的熱心指導(dǎo)和大力斧正，在此謹(jǐn)表示衷心的感謝．

由循環(huán)軌道與Jordan塊之間的對應(yīng)可知，只要將舊基｛e1，e2，…，en｝按照上述循環(huán)軌道進行重排，則φm在新基｛er，…，en－m，en；…；e1，…，en－r＋1－m，en－r＋1；em，…，en－r－m，en－r；…；er＋1，…，en－2 m＋1，en－m＋1｝下的表示矩陣為diag｛Jq＋1（0），…，Jq＋1（0），Jq（0），…，Jq（0）｝，其中有r個Jq＋1（0），m－r個Jq（0）．由Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的唯一性可知，這就是φm或Jn（0）m的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形．

最后，給出一個綜合運用循環(huán)子空間理論的例題．

例2 設(shè)A，B是數(shù)域K上的n階方陣，且A的特征多項式f（λ）是K上的不可約多項式，證明：r（AB－BA）≠1．

證 換成幾何的語言來證明，設(shè)V是數(shù)域K上的n維線性空間，φ，ψ是V上的線性變換，

［參 考 文 獻］

［1］ 姚慕生，吳泉水，謝啟鴻．高等代數(shù)學(xué)［M］．3版．上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，2014．

［2］ 姚慕生，謝啟鴻．高等代數(shù)（大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)叢書）［M］．3版．上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，2015．

Construction of LDPC Code Based on Self－dual Code

CHAO Hai－zhou1， Ni Xiang－fei2
（1．Department of Basic Courses，Shanghai University of Finance ＆Economics Zhejiang College，Jinhua Zhejiang 321013，China；2．Department of Mathematics，Zhejiang Normal University，Jinhua Zhejiang 321001，China）

CLC Number：O29 Document Code：A Article ID：1672－1454（2016）01－0007－04

Received date：2015－05－20

Foundation item：National Science Foundation of China（11401534），（11226050）and（61272007）

1　Introduction

Low density parity check codes were firstly introduced by R．G．Gallager in 1962［1］．These classes of codes can be defined by very sparse parity matrix．For their decoding performance are near to the Shannon limit［2－3］，LDPC codes were investigated wildly．There are two classes of LDPC codes．If the parity check matrix has weight kin each row and weight l in each column exactly，the code can be called（k，l）－regular LDPC code and irregular otherwise．

Two methods can be used to construct LDPC codes：random or pseudo－random ways and algebraic way．In general，irregular LDPC codes constructed by random or pseudo－random ways have been shown surpassing performance in AWGN channel than regular LDPC codes generated by algebraic way when the code has more long length．But these methods also face to its shortage．With losing of structure，the complexity will increase unavoidably both of encoding and decoding proceedings．So the requirement will be high both for hardware and software．

LDPC codes can be formed from Reed－Solomon code［4］，which is a typical block code．It is an useful way to construct LDPC codes from other good codes．

A code is self－dual if the generator matrix of the code identifies its parity check matrix．It implies that the code has rate 1／2．In［5］，an useful way to generate self－dual code fromq－ary circulant matrices based on orthogonal design has been introduced．In this paper，we will build binary LDPC code from the generator matrix of the q－ary self－dual code．

2　Code Construction

Let GF（q）be a Galois field with qelements andαbe a primitive element of GF（q）．If we denoteα－∞＝0，then all elements of GF（q）can be presented asα0＝1，α1，α2，…，αq－2，α－∞＝0．We can make a one－one corresponding between elements of GF（q）and a subset of（q－1）－dimensional vector space Rq－1on real number field by a function Z．

Definition 2．1 The function

is calledα－location vector function on GF（q），where

The vector corresponding toαiis called the location vector［4］ofαi．Given a q－ary matrix，the function Zcan be generalized to deal with a matrix．

Given a q－ary circulant matrix A，if there exists a circulant matrix Bsuch that

then a self－dual code can be generated by the following matrix［5］

Based on the generator matrix of self－dual code，we can construct a LDPC code byα－location vector function．

Proposition 2．1 Let Gbe a generator matrix of a q－ary self－dual code in the form of（a）and H arise fromby deleting its all－zero columns．Thenis a parity check matrices of a LDPC code．

Obviously，I2nwill be remained，whendelete its all－zero columns．It implies that rows ofare linear independence and the number of columns ofis at most

Hence the maximum rate of the codes is

But for the existence of all－zero columns in the second half of the matrix，the value of the maximum rate can hardly be achieved．

Now we will calculate the length and rate of the code．

Let a1，a2，…，ambe a sequence comes fromGF（q）．The set Dis composed of all different nonzero elements of a1，a2，…，am．If we denote the number of elements in Dby l（a1，a2，…，am），then

Lemma 2．2 The number of all non－zero columns of（Z（a1）T，Z（a2）T，…，Z（am）T）Tis l（a1，a2，…，am）．

Proof Letαbe a primitive element in GF（q）and aibe a power ofα．If ai≠aj，then location vectors of aiand ajare distinct．So 1stays in different positions of their location vectors．If b∈GF（q）and b?D，then the corresponding columns of b in（Z（a1）T，Z（a2）T，…，Z（am）T）Tare all zero．Otherwise，location vector of b appear and there is a 1in the right place．It implies that b∈D，contradictorily．

The formulation of length Land rate Rof the code corresponding tois

and then the rate of the code Ris are given by：

Theorem 2．3 The length Lof the LDPC code corresponding to

where（α1，…，αn），（β1，…，βn）are first rows of Aand Brespectively．

Proof Because Aand Bare all circulant，ATand－BTare circulant．Then all columns of Aand ATare composed of（α1，…，αn），all columns of Bare composed of（β1，…，βn）and all columns of－BTare composed of（－β1，…，－βn）．We only need to observe first rows of（A，B）and（A，－B）respectively．By lemma 2．2，the conclusion is straightforward．

The following corollary shows the region of R．

Proof We consider two especial cases．Firstly，if A＝Inand B＝O，then the rate reach low bound．

S

econdly，if first rows of（A，B）and（A，－B）contain all q－1nonzero elements of GF（q），then the rate can attain the upper bound

As an example，by computer searching，when n＝4and q＝11，we have

Example 2．1 When is 60and the rate of the code is 0．8667．The code hasn’t the largest rate and the longest length in the situation that self－dual codes have length 16on GF（11）．But if we ignore the identity matrix in the front of

the length of the code corresponding to，the remain satisfy RC－constraint by computer testing．

If the generator matrix of a code can be gained just by elementary transformation of rows and columns from another one’s，two codes are called equivalent．In general，self－dual codes with the same length are not unique under equivalence relationship．Suppose that there are Ninequivalent selfdual codes in the form of（a）with length n．We choose integer numbers s and t satisfying st≤N．Thenst inequivalent self－dual codes with length ncan be selected out for arranging a matrix G＊with their generator matrices as G＊′s elements．Now we replace everyαiby their location vectors and delete columns with all 0elements．We have a parity check matrix of LDPC codes．

Proposition 2．5 Let Gij（i＝1，…，s；j＝1，…t）be generator matrices of self－dual codes in the form of（a），which are inequivalent each other．Denote G＊＝（Gij）s×t．Letis arisen fromZ（G＊）by deleting its all－zero columns．Thenis parity check matrix for some LDPC code．

3　Conclusion

?Based on self－dual codes with length 4n，we have the main method of constructing LDPC codes from theα－location vector function of generator matrix of self－dual codes．

?By considering the first row of generator matrix of the corresponding self－dual code，we investigate the length and the rate of LDPC code，and show the range of rates of this codes．

?To expand the method，we consider all inequivalent self－dual codes with the same size as cells，constructing a more large matrix．The size of LDPC code can be more adaptable．

?By computer searching，when n＝4and q＝11，the superior code with high rate have been found．

The method shows a way to search codes with high rate and good algebraic structure．

［References］

［1］ Gallager RG．Low Density Parity Check Codes［M］．Cambridge，MA：MIT Press，1963．

［2］ Shannon CE．A mathematical theory of communication［J］．Bell systems Technology Journal，1948，27：379－423．

［3］ Chung S，F(xiàn)orney GD，Richardson JJ and Urbanke R．On the design of low－denisty parity－check codes within 0．0045 db of the Shannon limit［J］．IEEE Commun．Lett．，2001，5：58－60．

［4］ Djurdjevic I，Xu J，Abdel－Ghaffar K and Lin S．A class of Low－density parity－check codes Constructed based on Reed－Solomon codes with two information symbols［J］．IEEE Commun．Lett．，2003，7：317－319．

［5］ Koichi Betsumiya，Telio Georgiou，Aron Gulliver T，Masaaki Harada and Christos Koukouvinos．On self－Dual Codes over Some Prime Fields［J］．Discrete Math．，2003，262：37－58．

Some Applications of Cyclic Subspaces

XIE Qi－h(huán)ong
（School of Mathematical Sciences，F(xiàn)udan University，Shanghai 200433，China）

Abstract：By means of cyclic subspaces induced by a linear transformation，we reprove the Cayley－Hamilton theorem，and give some applications to certain problems in the theory of similarity of matrices． A new method for constructing LDPC codes based on self－dual code is introduced．Rates and lengths of these codes are analyzed．Code with high rate and good property in this class has been searched out by using MATLAB when the length of self－dual code on GF（11）is 16．

Key words：linear transformation；invariant subspace；cyclic subspace；Cayley－Hamilton theorem；rational canonical form；Jordan canonical form LDPC code；self－dual code；α－location vector function；algebraic coding theory；generator matrix

［基金項目］國家自然科學(xué)基金項目（11422101）

［收稿日期］2015－09－16

［中圖分類號］O151．21

［文獻標(biāo)識碼］A

［文章編號］1672－1454（2016）01－0001－06