孫惠惠

（本文作者系朱樂(lè)平數(shù)學(xué)名師工作站“一課研究”組成員）

【課前思考】

倍的概念建立分兩個(gè)層次，第一層次是操作性意義的建構(gòu)，以圈出1份和幾份為基本過(guò)程溝通份數(shù)與倍數(shù)的關(guān)系，“以一個(gè)量為標(biāo)準(zhǔn)，另一個(gè)量有這樣相同的幾份就是它的幾倍”。第二層次是數(shù)學(xué)性意義的建構(gòu)，溝通幾個(gè)幾和倍數(shù)的關(guān)系，如“3個(gè)2就是2的3倍”。學(xué)生只有經(jīng)歷了這兩個(gè)層次的概念建立過(guò)程，才有助于增進(jìn)對(duì)于份數(shù)、幾個(gè)幾、倍數(shù)之間的聯(lián)系與認(rèn)識(shí)，建立起完整的倍的概念。

【教學(xué)過(guò)程】

一、呈現(xiàn)情境，以兩數(shù)關(guān)系引出“倍”

師：（出示主題圖）觀察這幅圖，你能提出哪些數(shù)學(xué)問(wèn)題？

生:白兔比黑兔多幾只？黑兔比白兔少幾只？?jī)煞N兔子一共有多少只……

師：同學(xué)們提出的問(wèn)題都很有價(jià)值。其實(shí)，兩個(gè)數(shù)量之間除了比多、比少這樣的相差關(guān)系外，還有一種倍的關(guān)系。今天我們就來(lái)認(rèn)識(shí)這個(gè)新朋友——倍（板書(shū)課題：倍的認(rèn)識(shí)）。

【設(shè)計(jì)意圖：“倍”的本質(zhì)屬性是兩個(gè)量比較的結(jié)果，在學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)中兩個(gè)量之間的關(guān)系不是求和就是求差，而在這節(jié)課里，將認(rèn)識(shí)兩個(gè)量的另一種關(guān)系，這種關(guān)系是全新的，因此呈現(xiàn)新概念與學(xué)生已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)之間的聯(lián)系和差異則是引入教學(xué)的有效契機(jī)?！?/p>

二、喚醒經(jīng)驗(yàn)，基于份數(shù)感知倍數(shù)的操作意義

1.借助實(shí)物，初步感知2倍。

出示2只黑兔，4只白兔，引導(dǎo)學(xué)生邊圈邊說(shuō)出：把2只黑兔看成1份（圈一個(gè)圈），白兔有這樣的2份（圈兩個(gè)圈），我們就說(shuō)白兔的只數(shù)是黑兔的2倍。

2.抽象實(shí)物，直觀認(rèn)識(shí)2倍。

把3個(gè)紅蘿卜6棵青菜抽象成3個(gè)紅圓和6個(gè)綠圓，引導(dǎo)學(xué)生邊圈邊說(shuō)出綠圓和紅圓的倍數(shù)關(guān)系。

3.變換圖形，豐富2倍表征。

出示兩行圖形，第一行5個(gè)五角星，第二行10個(gè)長(zhǎng)方形，引導(dǎo)學(xué)生邊圈邊說(shuō)出兩者的倍數(shù)關(guān)系。

4.對(duì)比實(shí)例，建立2倍模型。

師：這些圖中的形狀、個(gè)數(shù)都不一樣，但為什么我們都說(shuō)第二行的個(gè)數(shù)都是第一行的2倍呢？

引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，不管第一行擺幾個(gè),只要把它看成一份，第二行擺這樣的兩份,第二行的數(shù)量就是第一行的2倍。

【設(shè)計(jì)意圖：“倍”是一個(gè)數(shù)概念，對(duì)于倍的定義有操作性定義和數(shù)學(xué)性定義兩種，其中操作性定義能通過(guò)對(duì)“倍”形成過(guò)程的描述，將抽象的概念轉(zhuǎn)換成可觀察的操作過(guò)程；學(xué)生從圈實(shí)物圖、圈圓點(diǎn)圖到圈其他圖形，利用畫(huà)圖表征，層層反復(fù)操作和感知，在活動(dòng)中親身經(jīng)歷了“倍”的形成過(guò)程，自主構(gòu)造出“2倍”的概念模型?！?/p>

三、主體探究，溝通幾個(gè)幾建構(gòu)倍的數(shù)學(xué)意義

1.動(dòng)手操作，運(yùn)用經(jīng)驗(yàn)。

讓學(xué)生擺一幅有倍數(shù)關(guān)系的圖，具體的操作要求：

擺一擺

1.擺兩行，能清楚看出其中一行是另一行的幾倍。

2.擺完后同桌說(shuō)一說(shuō)：（）的數(shù)量是（）的（ ）倍。

2.成果展示，交流方法。

教師逐一出示收集的三幅學(xué)生作品（第一幅正向放，第二幅反向放，第三幅打亂放），請(qǐng)學(xué)生介紹。

生：我們組把3個(gè)小鳥(niǎo)看成1份，第二行有這樣的3份，第二行是第一行的3倍。

生：我們組把2個(gè)海豚看成一份，第一行有這樣的3份，第一行就是第二行的3倍。

生：第三幅也是3倍關(guān)系，我們可以把圖形重新擺一擺，就能看出是4個(gè)太陽(yáng)是一份，小花有這樣的3份。

生：不用重新擺，圈一圈就行，先把4個(gè)太陽(yáng)圈成1份，小花可以圈這樣的4份，小花的個(gè)數(shù)就是太陽(yáng)的4倍。

生：數(shù)一數(shù)也可以，太陽(yáng)有4個(gè)，小花有12個(gè)，12是3的4倍。

師：同學(xué)們的方法都很好，接下來(lái)請(qǐng)你仔細(xì)觀察，這些都是3倍關(guān)系的圖，誰(shuí)能用一句話來(lái)說(shuō)一說(shuō)，怎么擺就一定是3倍關(guān)系。

生：只要先擺一份，再擺同樣多的三份，它們之間就是三倍關(guān)系。

【設(shè)計(jì)意圖：“倍”的概念建立過(guò)程中，把誰(shuí)看成“1份數(shù)”是概念形成的重要環(huán)節(jié)，通過(guò)倍數(shù)創(chuàng)作素材的多元化和正向、反向、無(wú)序排放作品的解讀，讓學(xué)生能清晰體會(huì)到1倍標(biāo)準(zhǔn)的確立與它所在的行數(shù)、位置、所表示的圖形無(wú)關(guān)，只與和它比較的另一個(gè)數(shù)量的關(guān)系有關(guān)。這樣教學(xué)，學(xué)生能在辨析與思考中牢牢建立起“把哪一類物體的數(shù)量幾當(dāng)做1份數(shù)，另一類物體中有多少個(gè)同樣多的幾個(gè)，就是幾的多少倍”的表象?！?/p>

3.分析比較，溝通聯(lián)結(jié)。

師：剛才我們通過(guò)擺一擺、圈一圈已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了它們的倍數(shù)關(guān)系，接下來(lái)，我們從數(shù)量上來(lái)觀察一下。如果一份是2，以2個(gè)為標(biāo)準(zhǔn)去數(shù)一數(shù)，1個(gè)2,2個(gè)2,3個(gè)2。3個(gè)2就是2的3倍。（板書(shū)3個(gè)2）

師：（指板書(shū)中的圖）如果一份是3，以3個(gè)為標(biāo)準(zhǔn)、以4個(gè)為標(biāo)準(zhǔn)去數(shù)一數(shù)呢？

根據(jù)學(xué)生回答板書(shū)3個(gè)3，3的3倍；3個(gè)4，4的3倍。

【設(shè)計(jì)意圖：基于前面大量份數(shù)關(guān)系與“倍”的溝通后，學(xué)生關(guān)于倍的概念結(jié)構(gòu)已經(jīng)初步形成，在本環(huán)節(jié)中，適當(dāng)溝通“幾份”與“幾個(gè)幾”后，學(xué)生就能快速在“幾個(gè)幾”和“倍”中建立聯(lián)結(jié)?！?/p>

四、層層跟進(jìn)，應(yīng)用“倍”的概念

1.變化標(biāo)準(zhǔn)量，體驗(yàn)倍數(shù)結(jié)果的相對(duì)性。

師：看圖，你能快速說(shuō)出圓的數(shù)量是三角形的幾倍嗎？

引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，倍是兩個(gè)數(shù)量之間的關(guān)系，缺少三角形就不能比。

師：想一想，三角形可能是幾個(gè)?把你們的猜想畫(huà)在練習(xí)紙上。

學(xué)生完成后，分別得出圓可能是三角形的6倍、3倍、2倍、1倍。

教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，同樣都是6個(gè)圓，但和它比較的三角形的數(shù)量在發(fā)生變化，圓的數(shù)量是三角形的幾倍也會(huì)發(fā)生變化。

2.辨析倍數(shù)關(guān)系，突出以誰(shuí)為1倍標(biāo)準(zhǔn)。

（1）出示問(wèn)題。判斷：這樣做對(duì)嗎？

引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)要找準(zhǔn)把誰(shuí)看成一份數(shù)，不能說(shuō)反了。

（2）討論如何修改,如三角形的數(shù)量是圓的2倍，圓的數(shù)量是三角形的一半。

3.三個(gè)量?jī)蓛杀容^，熟練倍數(shù)的表述應(yīng)用。

師：如果我們?cè)趧偛诺膱D中再增加一行，你能從這幅圖中找出（）的數(shù)量是（）的（）倍嗎？

同桌說(shuō)一說(shuō)，看哪一桌找到的倍數(shù)關(guān)系多。

學(xué)生分別找出三角形的數(shù)量是圓的2倍，三角形的數(shù)量是長(zhǎng)方形的6倍，圓的數(shù)量是長(zhǎng)方形的3倍。