田秋月 黃利群 盛玲燕 徐偉榮

“數(shù)感”是小學(xué)數(shù)學(xué)核心概念之一，2001年版《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》指出，數(shù)感主要表現(xiàn)在“理解數(shù)的意義，能用多種方法表示數(shù)，能在具體情境中把握數(shù)的相對(duì)大小，能用數(shù)來(lái)表達(dá)和交流信息，能為解決問(wèn)題選擇適當(dāng)?shù)乃惴ǎ芄烙?jì)運(yùn)算結(jié)果，并對(duì)結(jié)果的合理性做出解釋”?；诖?，兩年來(lái)筆者所在教研團(tuán)隊(duì)從五個(gè)維度在小學(xué)高段學(xué)生中開(kāi)展了“數(shù)感”培養(yǎng)的實(shí)踐研究，這五個(gè)維度分別是：估算結(jié)果合理化、計(jì)算方法多樣化、算法解釋個(gè)性化、運(yùn)算方式簡(jiǎn)便化、計(jì)算結(jié)果準(zhǔn)確化。現(xiàn)以《分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)》一課教學(xué)為例，嘗試說(shuō)明我們?cè)趯?shí)踐中的一些做法，以求教大家。

【教材分析】

《分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)》位于浙教版新思維五年級(jí)下冊(cè)第二單元，主要內(nèi)容包括分?jǐn)?shù)單位相乘、幾分之幾乘幾分之幾的算法、算理及應(yīng)用。計(jì)算教學(xué)都有著共同的特點(diǎn)，即要在理解算理的基礎(chǔ)上探索算法、歸納法則。分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的計(jì)算法則簡(jiǎn)單說(shuō)來(lái)有兩句話“分子相乘的積做分子，分母相乘的積做分母”、“過(guò)程中能約分的先約分”。從算理上看，分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算和整數(shù)的四則運(yùn)算在本質(zhì)上是一樣的，不同的是整數(shù)運(yùn)算中，整數(shù)的基本單位是“1”，而分?jǐn)?shù)的單位是多義的。分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的算理是分?jǐn)?shù)的意義的運(yùn)用，本質(zhì)是產(chǎn)生了新的分?jǐn)?shù)單位，如可理解為“把平均分成5份、取其中的1份，相當(dāng)于把單位‘1’平均分成15份、取其中的1份，就是”。這兩個(gè)分?jǐn)?shù)單位相乘得到新的分?jǐn)?shù)單位可以看成××2×4，即（2×4）個(gè)，就等于。

【教學(xué)與反思】

我們從“數(shù)感”培養(yǎng)的五個(gè)維度來(lái)反思教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施過(guò)程，突出研究指向，聚焦學(xué)生在“數(shù)感”方面的表現(xiàn)。

一、估算結(jié)果合理化

逐一呈現(xiàn)下列圖形，整體部分快速閃現(xiàn)并消失，學(xué)生通過(guò)留存下來(lái)的涂色部分回憶、想象其各占整個(gè)圖形的幾分之幾。

【評(píng)析：“分?jǐn)?shù)的意義”是本課開(kāi)展學(xué)習(xí)活動(dòng)的基礎(chǔ)，以游戲形式呈現(xiàn)的“涂色部分占整個(gè)圖形的幾分之幾”既增強(qiáng)了學(xué)習(xí)的趣味性，又起到了復(fù)習(xí)舊知的作用（為后續(xù)探究埋下“作圖分析”的伏筆）?！伴W現(xiàn)”是為了達(dá)成快速估測(cè)的目的，數(shù)感水平一方面取決于估算值的精確度，另一方面也以估算反應(yīng)的快慢來(lái)呈現(xiàn)。在接下來(lái)探索精確值之前，也請(qǐng)學(xué)生先估一下乘積的大小或取值范圍，不僅對(duì)運(yùn)算方法的推導(dǎo)有幫助，也是對(duì)運(yùn)算結(jié)果合理性的評(píng)估?！?/p>

二、計(jì)算方法多樣化及算法解釋個(gè)性化

方法一：方格圖均分法

將長(zhǎng)方形紙看成單位“1”，把單位“1”平均分成5份，一份就是。

生：第一次平均分成5列，第二次平均分成2行，5列2行，5×2=10（份）。

師：怎么看出是10份？

生：第一次平均分成5列，第二次把每列再平均分成2列，5個(gè)2，就是10列。

方法二：線段圖均分法

師：還有別的畫(huà)法嗎？

生：題目要求平均分，后面4份也都要平均分成2份，從圖中知道的就是整個(gè)的。

方法三：圓形圖均分法

生：我是通過(guò)畫(huà)圓的方法，把5個(gè)圓形這個(gè)整體當(dāng)成單位“1”，一個(gè)圓形就是，再將每個(gè)圓平均分成2份，一份就是整個(gè)的。

師：方法一、二、三都是畫(huà)圖，你有什么想說(shuō)的？

生：畫(huà)的圖形不同——長(zhǎng)方形、線段、圓形。

師：僅僅是圖形形狀上的區(qū)別嗎？

生：方法一和方法二是把一個(gè)長(zhǎng)方形或線段當(dāng)成單位“1”，而方法三是把5個(gè)圓形整體當(dāng)成單位“1”。

師：說(shuō)得很棒！這是不同之處，那它們有相同點(diǎn)嗎？

生：把方法一的豎著分的圖壓扁就成了方法二的線段，再把線段“養(yǎng)胖”就成了方法三的圓形。

師：分的過(guò)程中有什么相同之處嗎？

生：?jiǎn)挝弧?”先被平均分成5份，第二次被平均分成10份。

師：經(jīng)過(guò)兩次平均分，什么發(fā)生了改變？

方法四：分?jǐn)?shù)小數(shù)互化法（推導(dǎo)1）

師：誰(shuí)來(lái)點(diǎn)評(píng)一下這種方法？

生：把新知識(shí)轉(zhuǎn)化成上個(gè)學(xué)期學(xué)過(guò)的小數(shù)乘法很方便，但有些分?jǐn)?shù)不能化成有限小數(shù)。

師：根據(jù)分?jǐn)?shù)與小數(shù)的關(guān)系來(lái)推導(dǎo)，你的聯(lián)系能力很強(qiáng)！那么，有適用于所有分?jǐn)?shù)乘法的推導(dǎo)方法嗎？

方法五：分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系推導(dǎo)法（推導(dǎo)2）

生：其實(shí)和方法四是相同的，只是方法四除出了小數(shù)的商，而這里只是用除式表示。

師：你們找到了分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，還在思考它們的相同點(diǎn)，太棒了！

方法六：積不變的性質(zhì)化整法（推導(dǎo)3）

【評(píng)析：隨著“數(shù)感”課題研究的實(shí)施，學(xué)生的解題思路趨向多樣化、解決問(wèn)題的策略更加靈活，這些方法不是憑空而出，都是在已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上的拓展和延伸。方法多樣化不是簡(jiǎn)單的羅列和重復(fù)，其過(guò)程也并非停留在形式上的多樣，而是基于不同理解所帶來(lái)的不同思路，學(xué)生在探求知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展的過(guò)程中經(jīng)歷著差異化的思維方式，為總結(jié)、概括出更有價(jià)值的、更普適性的、應(yīng)對(duì)不同問(wèn)題的最優(yōu)化方法創(chuàng)造了可能。另外，即使是對(duì)同樣的算法也可能有著不同的理解和解釋?zhuān)瑯邮钱?huà)圖，也有數(shù)感水平的差異。教學(xué)中強(qiáng)調(diào)學(xué)生用自己的理解來(lái)表達(dá)自己的思考，為自己的算法尋找依據(jù)，這種個(gè)性化的算法解釋就是在用數(shù)來(lái)表達(dá)和交流信息，增強(qiáng)了數(shù)感體驗(yàn)?！?/p>

三、運(yùn)算方式簡(jiǎn)便化

師：這么多方法看起來(lái)各不相同，但它們之間是否有相同之處？

生：畫(huà)圖和推導(dǎo)兩種方式都說(shuō)明幾分之一乘幾分之一，分母相乘做分母，分子都是1。

師：從最后的結(jié)論上，我們都能看到這樣的相同點(diǎn)。為什么分母是10，分子是1呢？

師：是的，不管是圖示，還是推導(dǎo)，我們都能發(fā)現(xiàn)分母10是原來(lái)兩個(gè)分母相乘的積，分?jǐn)?shù)的分?jǐn)?shù)單位發(fā)生了變化。那分子呢？

生：分子也是原來(lái)兩個(gè)分子的積。

生：不好說(shuō)，這里只能體現(xiàn)出來(lái)是1。

師：現(xiàn)在能總結(jié)一下分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的計(jì)算方法了嗎？

生：用分子相乘的積作分子，用分母相乘的積作分母。

生：我是用方法五分?jǐn)?shù)和除法的關(guān)系進(jìn)行推導(dǎo)的：

師：剛才研究分?jǐn)?shù)單位相乘有六種方法，現(xiàn)在怎么只用推導(dǎo)的方法？

生：掌握了運(yùn)算的法則，直接用最簡(jiǎn)單。

【評(píng)析：運(yùn)算方式簡(jiǎn)便化是基于算理剖析之后對(duì)計(jì)算法則的概括和歸納。教師在引導(dǎo)學(xué)生比較算法的相同點(diǎn)時(shí)，說(shuō)明不管是圖示還是推導(dǎo)，根據(jù)“分?jǐn)?shù)的意義”都可以看出分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的本質(zhì)是產(chǎn)生了新的分?jǐn)?shù)單位，這個(gè)新分?jǐn)?shù)的分母等于原來(lái)兩個(gè)分?jǐn)?shù)的分母的乘積，進(jìn)而，再推導(dǎo)出分子也等于原來(lái)兩個(gè)分?jǐn)?shù)的分子的乘積。在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)概括出計(jì)算法則，讓學(xué)生覺(jué)得運(yùn)用法則計(jì)算的簡(jiǎn)便性，促進(jìn)了算理和算法的對(duì)照、理解?！?/p>

四、計(jì)算結(jié)果正確性

1.填空題。

2.根據(jù)算理填空。

3.解決問(wèn)題。

【評(píng)析：計(jì)算結(jié)果的正確性是課堂教學(xué)質(zhì)量的直接檢驗(yàn)，也是學(xué)生數(shù)感水平量化的直接顯現(xiàn)。通過(guò)學(xué)生現(xiàn)場(chǎng)反饋，這三題全班正確率 100%（共 36人），只有一位同學(xué)的結(jié)果未在過(guò)程中約分；全班都運(yùn)用計(jì)算法則進(jìn)行計(jì)算?！?/p>