林毅云

[摘 要]分析法與綜合法是解決數(shù)學(xué)問題的基本方法。課堂教學(xué)中，教師應(yīng)循序漸進(jìn)，逐步指導(dǎo)學(xué)生掌握這兩種解決問題的方法，使學(xué)生真正掌握所學(xué)知識(shí)，在數(shù)學(xué)上獲得不同的發(fā)展。

[關(guān)鍵詞]解決問題 分析法 綜合法 含義 運(yùn)用 抽象

[中圖分類號(hào)] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1007-9068（2016）14-029

2011課標(biāo)版教材使用以來，加強(qiáng)了學(xué)生對(duì)解決問題方法的學(xué)習(xí)。翻看現(xiàn)行的教材，呈現(xiàn)出來的解決問題的方法有圖示法、列表法、枚舉法、假設(shè)法、倒推法等，而作為解決問題中最基本的方法——綜合法與分析法，卻被邊緣化了。實(shí)際上，數(shù)學(xué)問題一般都是由條件與問題兩部分構(gòu)成的，任何人解決數(shù)學(xué)問題都會(huì)看問題、找條件，這是最常見的思維方式。所以，分析法與綜合法是解決數(shù)學(xué)問題的兩種基本方法、基本思路，教師教學(xué)中應(yīng)讓學(xué)生重點(diǎn)掌握。

一、分析法和綜合法的含義

1.分析法

分析法就是從所求問題出發(fā)，逐步找出需要的條件，直到條件都是題中已知的，從而使問題獲得解決的方法，即執(zhí)果索因。

例如：“超市一周賣出5箱保溫壺，每箱保溫壺有12個(gè)，每個(gè)保溫壺賣45元。一共賣了多少錢？”

分析（1）：由于要求“一共賣了多少錢”，需要用“每個(gè)保溫壺的價(jià)錢”ד保溫壺的個(gè)數(shù)”。題目已經(jīng)直接告訴我們“每個(gè)保溫壺賣45元”，而“保溫壺的個(gè)數(shù)”不知道，因此要先求出“保溫壺的個(gè)數(shù)”，再求出“一共賣了多少錢”，列綜合算式為45×（12×5）。

分析（2）：由于要求“一共賣了多少錢”，可以用“每箱保溫壺的價(jià)錢”ד保溫壺的箱數(shù)”。題目已經(jīng)直接告訴我們“賣出保溫壺5箱”，而“每箱保溫壺的價(jià)錢”不知道，因此先求出“每箱保溫壺的價(jià)錢”，再求出“一共賣了多少錢”，列綜合算式為45×12×5。

可見，分析法從要求的問題出發(fā)，著重分析數(shù)量關(guān)系，這樣學(xué)生就不會(huì)亂猜算法，而是根據(jù)要求的問題找出數(shù)量關(guān)系，逐步解決問題。

2.綜合法

綜合法則是從已知條件出發(fā)，逐步找出可以解答的問題，直到這個(gè)問題就是題目所要求的，從而使問題獲得解決的方法，即由因?qū)Ч?/p>

仍以上述例子為例，用綜合法分析如下。

分析（1）：根據(jù)題目中信息“5箱保溫壺”與“每箱保溫壺有12個(gè)”，可以得到新的信息“5箱保溫壺的總個(gè)數(shù)”，然后根據(jù)“5箱保溫壺的總個(gè)數(shù)”與“每個(gè)保溫壺賣45元”，可以求出“一共賣出的價(jià)錢”，列綜合算式為45×（12×5）。

分析（2）：根據(jù)題目已知信息“每箱保溫壺有12個(gè)”與“每個(gè)保溫壺賣45元”，可求出“每箱保溫壺的價(jià)錢”，又根據(jù)“每箱保溫壺的價(jià)錢”與題目中的信息“5箱保溫壺”，可求出“一共賣出的價(jià)錢”，列綜合算式為45×12×5。

同樣是解決問題，用綜合法則順著思維，從已知條件入手，找出有關(guān)聯(lián)的兩個(gè)條件，逐步逼近要求的問題。

3.如何運(yùn)用

在解決問題過程中，用分析法要看題中的已知條件；用綜合法解答時(shí)，更要考慮題目要求的問題，才能使解題簡捷、靈活，故二者常常結(jié)合起來使用。

在以往教學(xué)用分析法解答題目時(shí)，教師常采用數(shù)形圖進(jìn)行講解，但往往過于繁雜，后來改進(jìn)教法。如解答一般兩步計(jì)算問題時(shí)，應(yīng)抓住題目中的主要問題，根據(jù)題中的數(shù)量關(guān)系，列出關(guān)系式，然后逐步推導(dǎo)，直到得出結(jié)果。

例如：“興華村去年使用天然氣的戶數(shù)是前年的4倍，今年使用天然氣的又比去年增加了20戶。今年使用天然氣的一共有多少戶？”

分析題目時(shí)，可以找出關(guān)鍵信息“今年使用天然氣的又比去年增加了20戶 ”來寫出數(shù)量關(guān)系式，即“去年使用天然氣的戶數(shù)”﹢20戶=“今年使用天然氣的戶數(shù)”。“去年使用天然氣的戶數(shù)”還不知道，可根據(jù)信息“前年只有16戶使用天然氣”與“去年使用天然氣的戶數(shù)是前年的4倍”求得。即：

二、教學(xué)中如何幫助學(xué)生掌握綜合法和分析法

分析法、綜合法如何教給學(xué)生？何時(shí)開始學(xué)習(xí)？這是教師教學(xué)的困惑之處。

1.尋找隱含的數(shù)量關(guān)系

面對(duì)兩步計(jì)算解決的問題，學(xué)生最難的是找到中間問題，而一步計(jì)算解決的問題則是基礎(chǔ)。在學(xué)習(xí)一步計(jì)算解決問題的過程中，教師可有意識(shí)地幫助學(xué)生累積方法，提升處理信息的能力，使他們?cè)谝阎畔⒅姓业诫[含的數(shù)量關(guān)系。如“迎賓山莊有游客800人”“假日賓館有400人”，從這兩個(gè)信息可知其中隱含的數(shù)量關(guān)系：兩個(gè)酒店一共的人數(shù)；迎賓山莊比假日賓館多（或假日賓館比迎賓山莊少）的人數(shù)；迎賓山莊人數(shù)是假日賓館人數(shù)的2倍，假日賓館人數(shù)是迎賓山莊人數(shù)的一半。

2.數(shù)量關(guān)系逐步抽象

無論是哪種分析問題的方法，其目的是為了分析題目中的數(shù)量關(guān)系，而找到題目中兩個(gè)相關(guān)聯(lián)的數(shù)量之間隱含的關(guān)系，同樣需要長期的訓(xùn)練。數(shù)量之間隱含的關(guān)系如何表征出來？那便是數(shù)量關(guān)系式。以往的應(yīng)用題教學(xué)過于強(qiáng)調(diào)題目類型，以至于抑制了學(xué)生的發(fā)展，而現(xiàn)行教材對(duì)于數(shù)量關(guān)系沒有明確的要求，那該不該教呢？如果脫離了數(shù)量關(guān)系，完全依賴生活經(jīng)驗(yàn)，忽視數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，僅僅滿足于運(yùn)用生活經(jīng)驗(yàn)解決問題，時(shí)間長了，學(xué)生的思維就會(huì)出現(xiàn)局限性，始終在低水平處徘徊。國家課程標(biāo)準(zhǔn)核心組成員孔凡哲教授認(rèn)為：“數(shù)量關(guān)系是數(shù)學(xué)研究的核心內(nèi)容之一?！币虼?，數(shù)量關(guān)系需要重視。

那么，如何進(jìn)行數(shù)量關(guān)系的教學(xué)呢？建議分階段進(jìn)行，循序漸進(jìn)。

第一階段：初步感知數(shù)量關(guān)系。

教學(xué)低年級(jí)的一步計(jì)算解決問題時(shí)，可先讓學(xué)生具體說說算式中每個(gè)數(shù)所代表的含義，然后引導(dǎo)他們用數(shù)學(xué)方法表示出它們的關(guān)系，逐步理解題中的數(shù)量關(guān)系。如二年級(jí)上冊(cè)有這樣一道題：“每只小貓釣6條魚，4只小貓能釣多少條魚？”根據(jù)乘法意義，“求4只小貓能釣多少條魚”就是求4個(gè)6是多少，列式解答為6×4=24（條），然后讓學(xué)生說說算式中每個(gè)數(shù)所表示的含義是什么。學(xué)生答：“6是每只小貓釣魚的條數(shù)，4是小貓的只數(shù)，24是一共釣魚的條數(shù)?！苯又處熤赋隹梢杂靡韵碌氖阶颖硎境鰯?shù)量之間的關(guān)系：“每只小貓釣魚的條數(shù)”ד小貓的只數(shù)”=“一共釣魚的條數(shù)”。

第二階段：自覺地表述具體的數(shù)量關(guān)系。

三年級(jí)學(xué)生在之前知識(shí)積累的基礎(chǔ)上，嘗試獨(dú)立找出數(shù)量關(guān)系，并用具體的量來表述，為用分析法解決問題奠定基礎(chǔ)。

第三階段：形成模型。

四年級(jí)下冊(cè)教材結(jié)合解決問題，引導(dǎo)學(xué)生抽象概括出關(guān)于價(jià)錢、行程問題的數(shù)量關(guān)系式，即單價(jià)×數(shù)量=總價(jià)、速度×?xí)r間=路程，使學(xué)生進(jìn)一步明晰數(shù)量關(guān)系在解決問題中的作用。

第四階段：運(yùn)用數(shù)量關(guān)系式分析和解答問題。

此時(shí)，學(xué)生能運(yùn)用數(shù)量關(guān)系式，綜合使用綜合法、分析法解答題目，而不再是依靠生活經(jīng)驗(yàn)解決問題。

3.追本溯源，日積月累

從兩步計(jì)算解決問題開始，教師大多引導(dǎo)學(xué)生抓住題中的關(guān)鍵（即中間問題）來分析與解答，而根據(jù)數(shù)量之間的關(guān)系找出中間問題卻又是教學(xué)的難點(diǎn)，如何突破？不少教師采用的方法是讓學(xué)生說出每一步的小標(biāo)題，而這僅僅是表述每一步所要求的是什么，至于如何找到中間問題，即第一步先求什么，大多數(shù)教師沒有關(guān)注到。因此，課堂教學(xué)中，教師可引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用綜合法或分析法找到題中的中間問題。教師應(yīng)對(duì)第一步先求的量多問一個(gè)“為什么”，促使學(xué)生回顧解題思路，提煉分析方法。如歸總問題的教學(xué)，當(dāng)學(xué)生解答后，教師可進(jìn)一步提問：“為什么要先求出‘買6個(gè)碗一共用多少錢呢？”通過問題，引導(dǎo)學(xué)生找出方法：可以根據(jù)信息“買6元一個(gè)的碗”與“可以買6個(gè)碗”，求出“買6個(gè)碗一共用多少錢”；也可以根據(jù)問題“買9元一個(gè)的碗可以買幾個(gè)”，需要找出“一共用了多少錢”與“買了9元一個(gè)的碗”這兩個(gè)條件才能解答。因此，無論是根據(jù)已知信息分析，還是根據(jù)問題進(jìn)行分析，都需要先求出“買6個(gè)碗一共用了多少錢”。同時(shí)，教師根據(jù)學(xué)生的回答適時(shí)點(diǎn)撥、小結(jié)方法，有利于學(xué)生逐步掌握分析的方法。當(dāng)然，任何方法的學(xué)習(xí)并非一蹴而就的，需要教師有意識(shí)、長期不懈的滲透和培養(yǎng)。

4.逐步分段，潛移默化

相對(duì)于分析法的逆向思維而言，綜合法從條件入手的順向思考，學(xué)生掌握起來更加容易，而分析法從問題入手更符合思維習(xí)慣。因此，建議在剛開始學(xué)習(xí)兩步計(jì)算解決問題時(shí)，教師用綜合法幫助學(xué)生分析題目中的數(shù)量關(guān)系，并逐步滲透分析法。剛開始學(xué)習(xí)，可借助學(xué)生表述如何想到中間問題，引出分析方法的回顧，引導(dǎo)學(xué)生逐步感知這兩種解決問題的方法。在學(xué)生熟悉之后，可指導(dǎo)他們完整地表述解題思路，深化分析的方法。

實(shí)際上，在解決問題過程中，分析法、綜合法是結(jié)合使用、互相協(xié)調(diào)的。嚴(yán)格來說，分析是為了綜合，綜合又需要基于分析。

由于分析法和綜合法是解決問題的基本方法，故應(yīng)貫穿解決問題教學(xué)的始終。因此，課堂教學(xué)，教師需要有計(jì)劃地滲透分析法和綜合法，提高學(xué)生使用分析法和綜合法解決問題的能力。

[ 參 考 文 獻(xiàn) ]

[1] 朱燕青.小學(xué)數(shù)學(xué)問題解決的教學(xué)研究與實(shí)踐——三年級(jí)“用兩步計(jì)算解決簡單的實(shí)際問題”教學(xué)輯錄[J].現(xiàn)代教學(xué)，2015（7）.

[2] 曹培英.小學(xué)數(shù)學(xué)問題解決的教學(xué)研究[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教育，2013（9）.

[3] 宋煜陽.對(duì)典型應(yīng)用題回歸現(xiàn)象的認(rèn)識(shí)與思考[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2015（1）.

[4] 宋淑持，孫麗谷，張企曾，余海建.小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)研究與實(shí)踐[M].上海：上海教育出版社，1994.

（責(zé)編 藍(lán) 天）