劉　靜

宿州學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，安徽宿州，234000

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雙Lipschitz等價的兩均勻Cantor集相似壓縮不動點坐標的關(guān)系

劉靜

宿州學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，安徽宿州，234000

摘要：首先利用雙Lipschitz等價的條件，構(gòu)造了滿足雙Lipschitz等價的兩均勻Cantor集E1和E2，并研究了它們相似壓縮不動點的坐標公式，同時通過一個函數(shù)建立了兩坐標公式的關(guān)系。最后，對與E2滿足雙Lipschitz等價條件的均勻Cantor集E的相似壓縮不動點坐標公式給出了一個重要猜測。

關(guān)鍵詞：雙Lipschitz等價; 均勻Cantor集; 坐標公式; 相似壓縮不動點

雙Lipschitz映射保持集的許多“分形性質(zhì)”不變[1]167。例如，維數(shù)是雙Lipschitz不變量，這里的維數(shù)表示Hausdorff維數(shù)[2]47，上、下盒維數(shù)或任何合理定義的其他維數(shù)。研究自相似集的相似壓縮不動點是當前分形學(xué)的一個前言課題。找到自相似集的相似壓縮不動點，便可得到自相似集在該點處的局部性質(zhì)，對認識自相似集的整體結(jié)構(gòu)有重要意義。本文主要討論滿足雙Lipschitz等價的兩個均勻Cantor集的相似壓縮不動點之間的關(guān)系，并給出一個相關(guān)猜測。

1基本概念與已知結(jié)論

一些基本概念與符號見參考文獻[1]和[2]。

定義1設(shè)集E和F是兩自相似集，如果存在雙Lipschitz映射，令f:E→F，滿足下式的雙射：

則集E和F稱為Lipschitz等價，其中,0

引理3設(shè)E和F是m-λ1均勻Cantor集和n-λ2均勻Cantor集，則E和F是雙Lipschitz等價的充要條件是

dimHE=dimHF

且m=nq

(1)

或n=mq

(2)

其中q∈(0,+∞)[2]170。

2重要結(jié)果

2.1兩均勻Cantor集的構(gòu)造

由于dimHE1=dimHE2=log32，且存在正整數(shù)q=2使條件(1)成立，則由引理3知E1和E2滿足雙Lpschitz等價。

2.2E1和E2的相似壓縮不動點

在證明定理1之前,先考察E1的第k級壓縮與第k+1級壓縮得到的相似壓縮不動點坐標之間的關(guān)系。

注1由定義3知,E1左右兩個端點0和1始終是它的各級相似壓縮不動點，下面討論E1的其他相似壓縮不動點情況。

(3)

(4)

證明：由引理條件知：

成立，則由相似壓縮映射的性質(zhì)有：

|Si1°Si2°…°Sik(x0)-Si1°Si2°…°Sik(S1(x1))|

(5)

(1)若x0≥r1x1，則有：

故x0≥x1。

(5)式兩邊同時去絕對值得：

(2)若x0≤r1x1，則有：

故有x0≤x1。

此時，(5)式兩邊同時再去絕對值得：

故引理證畢。

以下利用引理4和數(shù)學(xué)歸納法證明定理1。

證明:(1)當k=1時，結(jié)論顯然成立。

故此時定理1結(jié)論也成立，綜上所述定理1成立。

注2E1的相似壓縮不動點0和1也滿足定理1的結(jié)論[7]。

定理2E2的相似壓縮不動點的坐標為

證明：同定理1。

2.3E1與E2相似壓縮不動點坐標之間的關(guān)系及相關(guān)猜測

由定理1和定理2結(jié)論知，E1與E2相似壓縮不動點坐標公式在形式上具有形似性[8]，若建立函數(shù)：

(6)

于是，可以提出以下猜測：

參考文獻：

[1]肯尼思·法爾科內(nèi)．分形幾何中的技巧[M]．曾文曲,王向陽,陸夷,譯.沈陽：東北大學(xué)出版社，1999：167-172

[2]肯尼思·法爾科內(nèi)．分形幾何數(shù)學(xué)基礎(chǔ)及其應(yīng)用[M]．曾文曲,劉世耀,戴連貴,譯.沈陽：東北大學(xué)出版社，1991：45-53

[3]Zhou Z L,Feng L.Twelve open problems on the exact value of the Hausdorff measure and on topological entropy: a brief survey of recent results[J].Nonlinearity,2004,17(2):493-502

[4]文勝友，許紹元．關(guān)于自相似集的Hausdorff測度[J]．數(shù)學(xué)學(xué)報，2001，44(1)：117-124

[5]許紹元，周作領(lǐng)．關(guān)于滿足強分離開集條件的自相似集的Hausdorff測度[J]．數(shù)學(xué)進展，2005，34(5)：545-552

[6]戴美鳳，殷啟正．兩均勻康托集雙李卜希茲等價的條件[J]．洛陽大學(xué)學(xué)報，2002，17(2)：18-20

[7]劉靜，孫善輝．一類直線上自相似集的相似壓縮不動點的分布[J]．大學(xué)數(shù)學(xué)，2011，27(3)：66-69

[8]劉靜．一類推廣的Cantor集相似壓縮不動點的計算機實現(xiàn)[J]．蚌埠學(xué)院學(xué)報，2012，1(3)：29-31

(責(zé)任編輯：汪材印)

The Relationship of Coordinate Formulas of the Contractingsimilarity Fixed

Points for Two Uniforms Cantor Sets to Be Bi-Lipschitz Equivalent

LIU Jing

School of Mathematics and Statistics，Suzhou University，Suzhou Anhui，234000，China

Abstract:First,we construct two uniform Cantor sets E1 and E2,which to be bi-Lipschitz equivalent, using the condition of bi-Lipschitz equivalent. Then we research the coordinate formulas for the contracting-similarity fixed points of them. Moreover, we establish the relationship between two coordinate formulas using a function. At last , an important conjecture is given for the formula of the contracting-similarity fixed point of the uniform Cantor set E,and E2 are to be bi-Lipschitz equivalent.

Key words:Difference equations;bi-Lipschitz equivalent;uniform Cantor set; coordinate formula; contracting-similarity fixed point

中圖分類號：O189.1

文獻標識碼：A

文章編號：1673-2006(2016)02-0097-03

作者簡介：劉靜(1981-)，女，安徽宿州人，碩士，講師，主要研究方向：分形幾何。

收稿日期：2015-12-12

doi:10.3969/j.issn.1673-2006.2016.02.027