徐龍玉,　萬吉湘,　喬　磊

(　　　1. 西南科技大學(xué) 理學(xué)院, 四川 綿陽(yáng) 621010;　2. 綿陽(yáng)師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院, 四川 綿陽(yáng) 621000;

3. 四川師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院, 四川 成都 610066)

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模的fann-內(nèi)射維數(shù)及fann-平坦維數(shù)

徐龍玉1,萬吉湘2,喬磊3

(1. 西南科技大學(xué) 理學(xué)院, 四川 綿陽(yáng) 621010;2. 綿陽(yáng)師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院, 四川 綿陽(yáng) 621000;

3. 四川師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院, 四川 成都 610066)

摘要：設(shè)R為環(huán),給出R-模的fann-內(nèi)射維數(shù)、fann-平坦維數(shù)概念,并在此基礎(chǔ)上定義R的左整體fann-維數(shù)(記為I.fa.ID(R))和R的右整體fann-平坦維數(shù)(記為r.fa.FD(R)).若記所有fann-內(nèi)射R-模構(gòu)成的類為FAI,證明了若FAI滿足單同態(tài)的上核是封閉的,則有I.fa.ID(R)=r.fa.FD(R),且此時(shí)I.fa.ID(R)≤1的充要條件是R的每個(gè)有限生成左零化子都是投射模.

關(guān)鍵詞：fann-內(nèi)射模; fann-內(nèi)射維數(shù); fann-平坦模; fann-平坦維數(shù); 左AC環(huán)

1預(yù)備知識(shí)

fann-內(nèi)射模和fann-平坦模的概念最初見諸于文獻(xiàn)[1].對(duì)R的子集X,令

則l(X)稱為R的左零化子.注意有l(wèi)(X)=l(I),其中I是由X生成的右理想.回顧右R-模N稱為fann-平坦模[1],是指對(duì)R的任意有限生成的左零化子l(I),自然同態(tài)N?Rl(I)→N?RR是單同態(tài),亦即0→N?Rl(I)→N?RR是正合列.回顧左R-模M稱為fann-內(nèi)射模[1],是指對(duì)環(huán)R的任意有限生成左零化子l(I),R-模同態(tài)f:l(I)→M都能擴(kuò)張成同態(tài)g:R→M,即有交換圖1.

稱環(huán)R為左AC環(huán),是指R的任意有限生成的左零化子理想l(I)都是有限表現(xiàn)的[1].顯然內(nèi)射模是fann-內(nèi)射模,平坦模是fann-平坦模.當(dāng)R是整環(huán)時(shí),任何模都是fann-內(nèi)射模,也都是fann-平坦模.

(同調(diào))維數(shù)一直是同調(diào)代數(shù)中研究的焦點(diǎn).自然地,對(duì)任何由推廣內(nèi)射模和推廣平坦模而得到的新的模類[2-12],人們總是希望定義新的維數(shù)來刻畫環(huán)的性質(zhì)[13-17],其中,L. X. Mao等[13]給出了FP-投射維數(shù)的定義,并用此維數(shù)研究了Noether環(huán)和Coherent環(huán),也得到了FP-內(nèi)射維數(shù)與其他維數(shù)之間的關(guān)系.相應(yīng)地,我們也利用fann-內(nèi)射模和fann-平坦模定義模的fann-內(nèi)射維數(shù)與模的fann-平坦維數(shù),以及環(huán)的左整體fann-內(nèi)射維數(shù)l.fa.ID(R)和右整體fann-平坦維數(shù)r.fa.FD(R).通過對(duì)這些維數(shù)的系統(tǒng)討論,給出AC環(huán)的許多性質(zhì)刻畫.

本文中所有的環(huán)都是帶有單位元1的結(jié)合環(huán),所有的模都是酉模.

2fann-內(nèi)射維數(shù)及fann-平坦維數(shù)

定義 2.11) 設(shè)M是左R-模,M的左fann-內(nèi)射維數(shù)是指使得Extn+1(R/l(I),M)=0的最小非負(fù)整數(shù)n,記為l.fa-id(M)=n,其中l(wèi)(I)取遍環(huán)R所有有限生成的左零化子理想.如果這樣的n不存在,則稱M的左fann-內(nèi)射維數(shù)為∞,記為l.fa-id(M)=∞.

2) 定義

l.fa.ID(R)=sup{l.fa-id(M)|M∈RM},

稱之為環(huán)R的左整體fann-內(nèi)射維數(shù).

定義 2.21) 設(shè)N是右R-模.N的右fann-平坦維數(shù)是指使得Torn+1(N,R/l(I))=0的最小非負(fù)整數(shù)n,記為r.fa-fdRN=n,其中l(wèi)(I)取遍環(huán)R所有有限生成的左零化子理想.如果這樣的n不存在,則稱N的右fann-平坦維數(shù)為∞,記為r.fa-fd(N)=∞.

2) 定義

r.fa.FD(R)=sup{r.fa-fd(N)|N∈MR},

稱之為環(huán)R的右整體fann-平坦維數(shù).

例 2.3自然地,左R-模M是fann-內(nèi)射模當(dāng)且僅當(dāng)l.fa-id(M)=0.同理,右R-模N是fann-平坦模當(dāng)且僅當(dāng)r.fa-fd(N)=0.對(duì)任何右(或左)R-模N,記N+=HomZ(N,Q/Z),稱之為N的特征模.

命題 2.4右R-模N是fann-平坦右R-模當(dāng)且僅當(dāng)N+是fann-內(nèi)射左R-模.

證明對(duì)R的任意有限生成的左零化子理想l(I),由自然同構(gòu)

知結(jié)論成立.

命題 2.5設(shè){Mi}是一簇左R-模,則⊕Mi是fann-內(nèi)射模當(dāng)且僅當(dāng)每一Mi是fann-內(nèi)射模.

證明對(duì)環(huán)R的任意有限生成的左零化子理想l(I),由自然同構(gòu)

知結(jié)論成立.

下面把fann-內(nèi)射左R-模類和fann-平坦右R-模類分別記為FAI和FAF.

命題 2.6模類FAF在純子模下封閉.

證明設(shè)A是fann-平坦右R-模B的純子模.由文獻(xiàn)[18],0→(B/A)+→B+→A+→0是分裂的正合列.由命題2.4,B+是fann-內(nèi)射左R-模,因此有A+是fann-內(nèi)射左R-模.仍由命題2.4,A是fann-平坦模.

定理 2.7對(duì)環(huán)R,以下條件等價(jià):

1) 環(huán)R是左AC環(huán);

2) fann-平坦右R-模的直積是fann-平坦模;

3) 左R-模M是fann-內(nèi)射模當(dāng)且僅當(dāng)M+是fann-平坦右R-模.

定理 2.8對(duì)環(huán)R,以下等價(jià):

1) l.fa.ID(R)=0;

2) r.fa.FD(R)=0;

3) 每個(gè)左R-模是fann-內(nèi)射模;

4) 每個(gè)右R-模是fann-平坦模;

5) 每個(gè)有限生成的左零化子理想l(I)是R的純子模.

定理 2.9對(duì)環(huán)R,以下條件等價(jià):

1) FAI中單同態(tài)的上核是封閉的;

2)R是左AC環(huán),且FAF中滿同態(tài)的核是封閉;

3)R是左AC環(huán),且有Tork(N,R/l(I))=0,其中k≥1,N是fann-平坦右R-模,l(I)是R的有限生成左零化子;

4) Extk(R/l(I),M)=0,其中k≥1,M是fann-內(nèi)射左R-模,l(I)是R的有限生成的左零化子.

其次令0→A→B→L→0是右R-模正合列,其中B及L是fann-平坦右R-模,則有正合列0→L+→B+→A+→0,又因?yàn)锽+及L+是fann-內(nèi)射左R-模,故A+是fann-內(nèi)射左R-模,則A是fann-平坦右R-模.

為陳述簡(jiǎn)潔起見,我們用(X)表示性質(zhì):模類FAI滿足單同態(tài)的上核是封閉的.

顯然無零因子環(huán)有性質(zhì)(X).

定理 2.10設(shè)環(huán)R有性質(zhì)(X),則對(duì)左R-模M,以下條件等價(jià):

1) l.fa-id(M)≤n;

2) 設(shè)0→M→E0→E1→…→En-1→Ln→0是正合列,其中E0,E1,…,En-1是fann-內(nèi)射模,則Ln是fann-內(nèi)射R-模;

3) 對(duì)R的每個(gè)有限生成的左零化子l(I),有Extn+1(R/l(I),M)=0;

4) 對(duì)R的每個(gè)有限生成的左零化子l(I),及k≥1,有Extn+k(R/l(I),M)=0.

對(duì)偶地,可以證明下面的定理.

定理 2.11設(shè)環(huán)R有性質(zhì)(X),則對(duì)右R-模N,以下條件等價(jià):

1) r.fa-fd(N)≤n;

2) 設(shè)0→Kn→Fn-1→…→F1→F0→N→0是正合列,其中F0,F1,…,Fn-1是fann-平坦右R-模,則Kn是fann-平坦右R-模;

3) 對(duì)R的每個(gè)有限生成的左零化子l(I),有Torn+1(N,R/l(I))=0;

4) 對(duì)R的每個(gè)有限生成的左零化子l(I),及任何k≥1,有Torn+k(N,R/l(I))=0.

定理 2.12設(shè)環(huán)R有性質(zhì)(X),n是非負(fù)整數(shù),則l.fa.ID(R)≤n當(dāng)且僅當(dāng)r.fa.FD(R)≤n.

推論 2.13設(shè)環(huán)R有性質(zhì)(X),則l.fa.ID(R)=r.fa.FD(R).

定理 2.14設(shè)R有性質(zhì)(X),且l.fa.ID(R)<∞,則l.fa.ID(R)=r.fa.FD(R)=l.fa-id(RR).

證明只需證l.fa.ID(R)≤l.fa-id(RR).設(shè)m=l.fa-id(RR)<∞,則有正合列0→R→E0→E1→…→Em-1→Em→0,其中E0,E1,…,Em-1,Em是fann-內(nèi)射模.于是有正合列0→⊕R→⊕E0→⊕E1→…→⊕Em-1→⊕Em→0,于是對(duì)任意自由左R-模F有l(wèi).fa-id(F)≤m.

記n=l.fa.ID(R)<∞.設(shè)M是左R-模,取正合列0→Kn→Fn-1→…→F1→F0→M→0,其中F0,F1,…,Fn-1是自由模.由于l.fa-id(Kn)≤n,及l(fā).fa-id(Fi)≤m,則對(duì)R的有限生成的左零化子l(I),有Extm+1(R/l(I),M)?Extm+n+1(R/l(I),Kn)=0,故l.fa-id(M)≤m,因此有n≤m.

定理 2.15對(duì)環(huán)R,以下條件等價(jià):

1)R的有限生成的左零化子l(I)是投射模;

2)R是左AC環(huán),且fann-平坦右R-模的子模是fann-平坦模;

3)R是左AC環(huán),且R的右理想是fann-平坦模;

4) fann-內(nèi)射左R-模的商模是fann-內(nèi)射模;

當(dāng)R有性質(zhì)(X)時(shí),上面各條又等價(jià)于:

5) l.fa.ID(R)≤1;

6) r.fa.FD(R)≤1.

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2010 MSC：13C10; 13C11; 13D07

(編輯鄭月蓉)

On Fann-Injective Dimension and Fann-Flat Dimension

XU Longyu1,WAN Jixiang2,QIAO Lei3

(1.CollegeofScience,SouthwestUniversityofScienceandTechnology,Mianyang621010,Sichuan;2.CollegeofMathematicsandComputerScience,MianyangNormalCollege,Mianyang621010,Sichuan;3.CollegeofMathematicsandSoftwareScience,SichuanNormalUniversity,Chengdu610066,Sichuan)

Abstract：In this paper, for a ring R the notions of fann-injective dimension and fann-flat dimesion are introduced. Based on these, the left global fann dimension of R, denoted by I.fa.ID(R) and the right global fann dimension of, denoted by r.fa.FD(R) are defined. Moreover, let (X) express the codition that the uppe kernelsof injective homomorphisms are closed and denote the class of all fann-injective R-modules as FAI. It is proved that if FAI satisfies (X) then I.fa.ID(R)=r.fa.FD(R) and in this case, I.fa.ID(R)≤1 if and only if every finitely generated left annihilator in R is projective.

Key words：fann-injective modules; fann-injective dimension; fann-flat modules; fann-flat dimension; left AC ring

doi:10.3969/j.issn.1001-8395.2016.01.006

中圖分類號(hào)：O153; O154

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1001-8395(2016)01-0033-04

作者簡(jiǎn)介：徐龍玉(1979—),女,講師,主要從事環(huán)與模范疇理論的研究,E-mail:xulongyu3@163.com

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金(11171240)

收稿日期:2014-07-08