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打開二面角,翻開立幾新篇章

浙江省寧波市鎮(zhèn)海中學(xué)(315200)張義斌

立體幾何是高中階段考查空間想象能力的主要載體,因此近些年來,它一直是各地高考熱點.立體幾何在人教版中的內(nèi)容安排先是“立體幾何初步”,再是“空間向量與立體幾何”,呈螺旋式上升,適應(yīng)學(xué)生的認(rèn)知能力.然而求二面角是很多學(xué)生始終難以逾越的鴻溝,如何幫助學(xué)生清除這只“攔路虎”,如何培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力,如何提高學(xué)生分析問題的能力,這是我們一線教師亟待解決的一個重要課題.

雖然隨著后期空間向量的引入,學(xué)生欣喜地找到了一種用代數(shù)研究空間幾何的方法,巧妙地避開了尋找二面角這個難點,但是這也導(dǎo)致了很多學(xué)生只會用“空間向量”這一只腳走路,將空間想象能力的練習(xí)丟在一邊的尷尬局面.各地高考命題的專家也敏銳地發(fā)現(xiàn)了這一令人堪憂的現(xiàn)象,因此近些年的立體幾何大題逐漸呈現(xiàn)出難以建系的趨勢,這就要求一線教師始終應(yīng)當(dāng)要求學(xué)生用“兩條腿”走路.接下來筆者談?wù)勛约簩Χ娼沁@塊內(nèi)容粗淺的教學(xué)看法,不足之處還望批評指正.

1.原題呈現(xiàn)

圖1

(Ⅰ)求證：AF∥平面BDE；

(Ⅱ)求證：CF⊥平面BDE；

(Ⅲ)求二面角A-BE-D的大小.

2.學(xué)生的困惑

困惑一：怎樣才能找到二面角的平面角.

困惑二：如何求出二面角或其相應(yīng)的三角函數(shù)值.

3.困惑的探究

二面角是通過定義來描述的,對定義的深刻理解是解題的基礎(chǔ),學(xué)生只有正確理解了定義,才能在頭腦中想像并勾畫出相應(yīng)的幾何圖形,分解出解題需要的元素.因此,定義既是思維的基本元素,又是空間想像的出發(fā)點.教師應(yīng)當(dāng)抓住定義的本質(zhì)特征和關(guān)鍵要素進(jìn)行教學(xué),弄清定義蘊含的解題途徑.

從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角,這條直線叫做二面角的棱,這兩個半平面叫做二面角的面.從棱上的任一點出發(fā),在兩半平面內(nèi)分別作與棱垂直的兩條射線,這兩條垂線所成的角的大小就是二面角的平面角.

我們可以發(fā)現(xiàn)通過定義將二面角這個空間中的角轉(zhuǎn)化成了平面角,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)將未知向已知轉(zhuǎn)化的探究思路,同時應(yīng)向?qū)W生強調(diào)找二面角的關(guān)鍵在于找兩條與棱垂直的射線所成的角.定義法是“眾法之源”，萬變不離其宗，“樹高千尺，葉落歸根”，求二面角的一切方法起源于定義這個“根”！

法一：第(Ⅰ)、(Ⅱ)兩小題解答略.

圖2

ΔEMN～ΔEBA，

上述解法密切結(jié)合定義,可以快速地找出二面角,便于學(xué)生容易理解與運用,可美中不足的是計算量太大,對解三角形的能力要求較高,學(xué)生解題過程中往往會出現(xiàn)難以為繼的情況.該法通常應(yīng)用于有一個半平面是直角三角形時比較合適,因為在求邊時可用相似比轉(zhuǎn)化.

上述解法貌似并不完美,可引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步完善.法一不足之處在于計算量,而究其原因是有一條垂直于棱的射線并不是半平面的高,那么引導(dǎo)學(xué)生考慮能否選擇用另一條BE上的高來求二面角呢？事實上AB⊥BE,所以不難發(fā)現(xiàn)二面角與垂直于棱的兩條異面直線DM與AB所成角存在關(guān)系.

圖3

法二：由幾何圖形可得二面角A-BE-D為銳角,所以異面直線DM與AB所成角就是二面角A-BE-D的平面角.

法二將二面角與異面直線所成角建立了聯(lián)系,讓學(xué)生感受到“用數(shù)學(xué)”的成就感,但是似乎仍然要求較高,不能被多數(shù)學(xué)生所掌握,需要進(jìn)一步簡化完善.

法三大大簡化了計算,也遵循了定義中發(fā)現(xiàn)的解題途徑,讓學(xué)生充分感受了數(shù)學(xué)的魅力以及活學(xué)活用所帶來的樂趣,激發(fā)學(xué)生內(nèi)在的探究欲望.

圖4

法四：運用三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線,如果和這個平面的一條斜線的射影垂直,那么它也和這條斜線垂直．雖然這個定理已從人教版中刪除,但是我們可以通過證明線面垂直來達(dá)到相同的效果,因此本定理也提供了另一種添輔助線找二面角的一種途徑.如圖4，通常當(dāng)點D在一個半平面內(nèi),過點D作另一半平面ABC的垂線,得垂足O；再過該垂足O作棱AB的垂線,得垂足E,連結(jié)得到斜線段DE,便形成了三垂線定理的基本構(gòu)圖(斜線DE、垂線DO、射影OE),通過證棱AB垂直平面DOE得AB⊥DE,AB⊥OE從而確定二面角的平面角,再解直角三角形求二面角的大小或其三角函數(shù)值.

圖5

上述解法的優(yōu)勢在于計算量小,但是在找這個二面角的平面角的過程中思維量較大.教學(xué)中應(yīng)強調(diào)抓住從一個半平面內(nèi)點出發(fā)作另一個半平面的垂線這個解題關(guān)鍵,相信學(xué)生也能逐漸掌握這個方法.

以下是筆者在講解方法五時的課堂實錄.

生1：在應(yīng)用法四的解題模型時,雖說我已明白解題關(guān)鍵,但是未必有能力找到并證明那個線面垂直,但是我發(fā)現(xiàn)若能求出半平面內(nèi)點到另一個半平面的距離也可以求出二面角的正弦值,這樣就避開了找垂足位置這個難點.

師：這個想法非常好,那么如何恰當(dāng)?shù)厝デ簏c到平面的距離呢？有沒有同學(xué)能幫助他解決這個問題呢？

教室陷入了一片沉寂,終于有學(xué)生取得新發(fā)現(xiàn).

生2：可以結(jié)合幾何體的體積,因為在體積公式中可以轉(zhuǎn)化出點到平面的距離.

師：想法真好！能用學(xué)過的知識探究新的知識領(lǐng)域,這是一個很棒的發(fā)現(xiàn).那么大家能不能站在生2的“肩膀”上繼續(xù)解決生1的困惑呢？

思考后,生3撓著頭：雖說知道應(yīng)聯(lián)系體積,但我不知道該如何轉(zhuǎn)化出所需的點到平面的距離.

班里很多同學(xué)表示認(rèn)同,顯然都有這個困惑.

師：同學(xué)們知道三棱錐有四個頂點,而這四點中的任一點都可看作三棱錐的頂點,所以一個三棱錐有四種表示,但體積相等.

師：這樣做似乎還有漏洞,能否再補充一下.

師：很好！那么我想請同學(xué)來總結(jié)一下體積法在應(yīng)用過程中的注意事項.

生5：體積法的妙處在于利用三棱錐的頂點變換來建立等量關(guān)系,轉(zhuǎn)化得到點到平面的距離,然后應(yīng)用法四中的數(shù)學(xué)模型解決二面角問題,最后還要注意二面角是銳角還是鈍角.

正當(dāng)筆者準(zhǔn)備讓學(xué)生總結(jié)二面角的所有常用解法時,一個學(xué)生要求展示他的解法.

師：非常精彩的解法！那么請你說說你是怎么想到這個思路的.

生6：說來比較丟人,我當(dāng)時未能正確使用體積法,但我發(fā)現(xiàn)AF∥平面BDE,那么我就利用它將距離轉(zhuǎn)移到了F到平面BDE的距離hF.

師：生6很好地運用了數(shù)學(xué)中轉(zhuǎn)化的思想方法,為問題的解決創(chuàng)造了可行條件,值得肯定.

在法五、法六的教學(xué)過程中,學(xué)生閃耀出智慧的光輝,令人動容.求二面角的方法還有很多,如面積投影法、空間向量法等等,筆者在此不再一一贅述.相信學(xué)生在理解本質(zhì)的基礎(chǔ)上,適當(dāng)?shù)丶右跃毩?xí)鞏固,二面角這個攔路虎就不難清除了.

4.幾點思考

高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)活動必須建立在學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的知識經(jīng)驗基礎(chǔ)上.教師應(yīng)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性,向?qū)W生提供充分經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動的機會,幫助他們在自主探索和合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識與技能、數(shù)學(xué)思想和方法,獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗.教師是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者與合作者.”

如何使數(shù)學(xué)課堂高效？這是每位數(shù)學(xué)教師都該積極探索的問題,也是新課改的目標(biāo)之一.

4.1定義是數(shù)學(xué)解題的基礎(chǔ)

很多學(xué)生不重視定義的理解,忽視了數(shù)學(xué)定義對解題的作用.可想而知,若是對定義總是似懂非懂的,對學(xué)生的學(xué)習(xí)肯定是十分不利的.因此,教師應(yīng)該重視引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)的基本定義和知識出發(fā),分析探索數(shù)學(xué)問題的解題途徑,這不但能教給學(xué)生知識,而且在這個探索的過程中培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)能力,例如轉(zhuǎn)化化歸、類比聯(lián)想等等,這才是數(shù)學(xué)教學(xué)的根本.

4.2解學(xué)生之惑是實現(xiàn)高效課堂的手段

困惑是學(xué)生在課堂中的自然產(chǎn)物,教師若能敏銳地發(fā)現(xiàn)并及時地加以引導(dǎo),就能提高學(xué)生的聽課積極性和效率.與此同時,教師往往能在與學(xué)生的思維碰撞中擦出智慧的火花.因此,解學(xué)生之惑是實現(xiàn)高效課堂的有力手段.

4.3引領(lǐng)式教學(xué)是實現(xiàn)高效課堂的途徑

引導(dǎo)學(xué)生在解決面臨的問題中,主動獲取和運用知識、技能,激發(fā)其學(xué)習(xí)主動性、自主學(xué)習(xí)能力和創(chuàng)造性解決問題的能力.該教學(xué)法以學(xué)生在教師的導(dǎo)學(xué)下自主合作完成學(xué)習(xí)任務(wù),達(dá)成學(xué)習(xí)目標(biāo)為宗旨.它不惟形而惟實,不惟新而惟效,把課堂的聚焦由“老師教得怎么樣”轉(zhuǎn)向“學(xué)生學(xué)得怎么樣”,明確了衡量高效課堂的三條標(biāo)準(zhǔn)：即以學(xué)生“愿學(xué)不愿學(xué)”、“會學(xué)不會學(xué)”、學(xué)會沒學(xué)會”為標(biāo)準(zhǔn).一般操作步驟為自主探究的問題→合作探究的問題→質(zhì)疑再探的問題→拓展創(chuàng)新的問題.

參考文獻(xiàn)

[1]郭風(fēng)祿.二面角求解策略——面面觀[J].高中數(shù)理化,2012:14-18.

[2]李金興.講清數(shù)學(xué)道理揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)[J].中學(xué)教研(數(shù)學(xué)),2013(1):7-8.