邢 丹，馬利斌

（中國船舶科學(xué)研究中心，江蘇 無錫 214082）

海流條件下中性纜纜形及張力的理論研究

邢 丹，馬利斌

（中國船舶科學(xué)研究中心，江蘇 無錫 214082）

文章考慮纜繩經(jīng)受的法向與切向流體阻力，在自然坐標(biāo)系下推導(dǎo)了任意海流中纜繩的動(dòng)力學(xué)方程。建立了中性纜在均勻、線性及組合海流作用下纜形與張力的參數(shù)表達(dá)式。參數(shù)表達(dá)式給出了對應(yīng)海流作用下纜形及張力的物理規(guī)律，從而為參數(shù)迭代求解時(shí)迅速收斂指明了數(shù)學(xué)途徑。自行編制程序，算例的定量結(jié)果進(jìn)一步驗(yàn)證了其物理規(guī)律，也表明在長纜繩下，忽略切向阻力在工程上是不合適的。

中性纜；纜形；線性海流；參數(shù)表達(dá)

0 引 言

水下拖曳系統(tǒng)在水下資源勘探開發(fā)、地質(zhì)考察、沉船打撈等活動(dòng)中得到了廣泛的應(yīng)用。拖攬用于實(shí)現(xiàn)母船和設(shè)備之間的拖帶與光電信號(hào)傳輸。對于拖攬，其纜長、纜形及張力分布的精確確定，在工程設(shè)計(jì)及應(yīng)用上有著重要的意義。拖曳系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)室試驗(yàn)研究受各種條件限制，很難全尺度進(jìn)行，目前只有少量的海上試驗(yàn)數(shù)據(jù)公布可見[1]。近些年來數(shù)值仿真得到了廣泛的應(yīng)用，發(fā)展了集中質(zhì)量法、有限元法、有限差分法和直接積分法等拖攬水動(dòng)力模型。上世紀(jì)開始，就有學(xué)者開始了飛機(jī)拖攬、水下拖曳等系統(tǒng)中纜索二維纜形的解析分析。解析解需要進(jìn)行一系列的假設(shè)與簡化，但其結(jié)果卻可給出規(guī)律性的結(jié)論并對數(shù)值仿真結(jié)果予以驗(yàn)證。1976年，Simpson和Tabarrok[2]推導(dǎo)了漂浮在水平面內(nèi)的中性纜在均勻海流作用下的平衡方程，證明了在不計(jì)切向流體阻力的情況下，平衡纜形為懸鏈線，張力為恒值。切向流體阻力引起的懸鏈線的偏移由一階擾動(dòng)理論近似給出，切向流體阻力采用了正比于切向速度分量的形式。1994年，Dennis[3]對Simpson和Tabarrok的工作做了補(bǔ)充。1995年，Leech和Tabarrok[4]忽略了拖攬的切向阻力，推導(dǎo)了均勻海流作用下二維穩(wěn)態(tài)控制方程，得到了纜形和張力的半解析表達(dá)，研究了拖攬的穩(wěn)態(tài)空間形狀和張力分布。2013年，章浩燕[5]對Leech和Tabarrok的二維解予以了補(bǔ)充。

對于速度與拖攬之間夾角較小的系統(tǒng)，忽略切向阻力或者將其取為定值并不適合。本文考慮切向與法向阻力，推導(dǎo)了海流中纜繩的二維動(dòng)力學(xué)方程。建立了中性纜在均勻海流、線性變化海流與組合海流作用下的空間位形與張力分布的參數(shù)表達(dá)式。得到了在不同海流作用下纜形及張力的物理規(guī)律并自行編制程序，計(jì)算了經(jīng)典算例。

1 受力分析與控制方程

忽略纜索剛度，纜索和拖體在同一平面。如圖1建立大地坐標(biāo)系為三個(gè)方向上的單位坐標(biāo)矢量，x向與海流方向相同，y向?yàn)楹Ｋ疃仍黾臃较?，z向滿足右手定則，整個(gè)纜繩便在xoy平面內(nèi)。在纜繩上建立自然坐標(biāo)為纜繩切向量，指向纜長增加方向，法向量

記θ為纜繩與y軸的夾角。則

將纜索看作圓柱體，海流法向阻力系數(shù)Cn和切向阻力系數(shù)Ct由拖攬?zhí)匦愿鶕?jù)經(jīng)驗(yàn)或試驗(yàn)數(shù)據(jù)取為定值。經(jīng)ds，張力由T變?yōu)門+dT，傾角θ變?yōu)棣?dθ，則力平衡方程為：

圖1 坐標(biāo)系及受力分析Fig.1 Coordinate system and force analysis

其中：m為單位長度拖攬?jiān)谒锌廴ジ×蟮闹亓?，ρ為海水密度，φ為纜繩直徑，q為海流大小。略去二階小量，可得

1.1 中性纜、均勻流

（6）、（7）兩式相除

積分可得

由（1）、（7）和（9）式可得：

1.2 中性纜，線性變化海流

此時(shí)，（4）、（5）式退化成：

（16）、（17）兩式相除并積分，可得與均勻流相同的張力表達(dá)式（9）。

圖2 線性變化海流Fig.2 Linear changing current flow

為數(shù)學(xué)求解方便，將海流場及纜繩拓展到全平面xoy，如圖2所示。在xoy全平面，（16）和（17）式依然成立，其物理解在y≥0。記并有dq=ady，注意到廣義纜繩與直線交于C點(diǎn)式變?yōu)檎砜傻茫?/p>

對（18）式積分并代入C點(diǎn)邊值，可得：

至此推導(dǎo)出了線性變化海流下纜形及張力表達(dá)式，通過C點(diǎn)的引入，得到了與均勻流（9）、（13）、（14）和（15）式形式相似的參數(shù)表達(dá)。

1.3 恒流、線性流的組合分布

在AD段：T，y，x，s即為均勻海流中（9），（13），（14），（15）式，其中Tp，fx，fy，fs均加下標(biāo)AD即可。

在DE段：T，y，x，s即為線性變化海流中（9），（20），（21），（22）式，其中Tp，fx，fy，fs均加下標(biāo)DE即可。

圖3 組合海流Fig.3 Combined current

2 拖纜動(dòng)力學(xué)規(guī)律分析

2.1 中性纜，x向均勻流

2.1.1 纜形變化規(guī)律

由（9）、（13）、（14）和（15）式可以看出，對于任意中性纜及均勻流，若K相同，則fT，fx，fy，fs完全相同。那么其對應(yīng)的無量綱張力無量綱型值及無量綱纜長均相等，即纜形在無量綱平面內(nèi)為同一條曲線。

（b）纜形是向海流正向突出的，且是關(guān)于y=yp的對稱曲線

由（13）、（15）式，當(dāng)s-sp→∞，對于定值y-yp有僅當(dāng)時(shí)才有

2.1.2 張力變化規(guī)律

（a）型線極值點(diǎn)對應(yīng)的張力為全纜最小值，向端點(diǎn)靠攏，張力增加；若Ct=0，則張力為常數(shù)Tp。此由（9）式可得。

（b）當(dāng)纜繩長度增加時(shí)，相應(yīng)的張力Tp減小

由2.1.1（d），當(dāng)s-sp→∞時(shí)根據(jù)（13）式此時(shí)而是定值，故唯有L1→0，即Tp→0。

（c）當(dāng)纜繩收緊時(shí)，相應(yīng)張力增加

（d）Tp與流速的平方成正比

由2.1.1（e），不同流速時(shí)纜形不變。那么x-xp、y-yp、s-sp均不變，則亦不變，即

2.2 中性纜，線性流

2.2.1 纜形變化規(guī)律（a）纜形總體上是海流正方向突出的，且不對稱

由 （20）、（22）式當(dāng)s-sC→∞，對于定值y-yC有僅當(dāng)時(shí)才有

2.2.2 張力變化規(guī)律

（a）同2.1.2（a），型線極值點(diǎn)對應(yīng)的張力為全纜最小值，向端點(diǎn)靠攏，張力增加；若Ct=0，則張力為常數(shù)Tp。

（b）當(dāng)纜繩長度增加時(shí)，相應(yīng)的張力Tp減小

由2.2.1（c）當(dāng)s-sC→∞時(shí)由（13）式知此時(shí)而是定值，故唯有L2→0，即Tp→0。

（c）當(dāng)纜繩收緊時(shí)，相應(yīng)的張力增加

2.3 恒流、線性流的組合分布

3 編程求解邏輯

傳統(tǒng)的微分方程求解，以完整的邊界條件為求解起點(diǎn)。纜繩動(dòng)力學(xué)微分方程求解起始點(diǎn)應(yīng)該有四個(gè)邊值已知。但實(shí)際問題往往只有其中兩個(gè)已知，另外兩個(gè)已知邊值在其解的末端點(diǎn)。這給求解過程帶來不小的困難，即使是本文的參數(shù)表達(dá)式，也無法避開此難處。但第2章中纜的特性及規(guī)律使我們以數(shù)值積分辦法對θ,T全域搜索時(shí)變得極有方向性，從而可以快速求解。

分段海流時(shí)，只需將均勻海流與線性變化海流的纜求解結(jié)合，在連接點(diǎn)處張力相等，θ相同，采用類似的逼近邏輯便可方便求解。本文在個(gè)人電腦上采用Fortran語言編程，即使積分步長取得很小，如Δθ=0.000 1 rad，均勻海流和線性變化海流均可在數(shù)秒內(nèi)得到結(jié)果，分段海流大概需要十幾秒即可收斂。

4 計(jì)算結(jié)果與討論

4.1 纜長的影響

計(jì)算了纜長為250、300、350、400m時(shí)的纜形及張力分布，計(jì)算參數(shù)如表1（a）所示。由圖4（a）可知不同纜長時(shí)拖攬空間形狀相似。張力分布如圖4（b）所示，張力在θ=0時(shí)最小，系纜點(diǎn)處最大。張力隨纜長的增加而減小，但趨勢減緩。纜長300 m、350 m、400 m時(shí)的最大張力分別是纜長250 m時(shí)最大張力的75%、65%、60%，見表2。

表1 計(jì)算參數(shù)Tab.1 Calculation parameters

表2 不同纜長時(shí)最大及最小張力Tab.2 Maximum&minimum tension of different cable length

表3 最大張力與海流大小關(guān)系Tab.3 Relationship between maximum tension and current velocity

圖5 不同海流大小時(shí)纜形及張力分布Fig.5 Cable geometry and tension distribution in different current velocity

4.2 海流大小的影響

圖5給出了表1（b）所示參數(shù)下，不同海流大小時(shí)的纜形與張力?？芍|形與海流大小無關(guān)，但張力隨海流增大而迅速增大。由表3可知最大張力與海流大小的平方成正比關(guān)系。

4.3 切向阻力系數(shù)的影響

文獻(xiàn)[4-5]忽略了切向阻力的影響，本文分別計(jì)算了纜長為300 m、450 m兩種情況下不同切向阻力系數(shù)時(shí)的纜形及張力分布。具體計(jì)算參數(shù)如表1（c）所示。由圖6所示結(jié)果可以看出，切向阻力系數(shù)變化時(shí)纜形幾乎不變，但對拖攬內(nèi)部張力大小及分布有所影響。在纜長s=300 m情況下，不考慮切向阻力即Ct=0.0時(shí)，纜繩張力為恒值766 N；Ct=0.02時(shí)，最大張力增大到102.5%；Ct增大到0.06時(shí)，最大張力增大到107.4%。纜長s=450 m情況下，不考慮切向阻力時(shí)，纜繩張力為恒值521 N；Ct=0.02時(shí)，最大張力增大到107.3%；Ct增大到0.06時(shí)，最大張力增大到122%。纜長增大時(shí)切向阻力的影響變大。在計(jì)算時(shí)應(yīng)該根據(jù)纜繩形狀選擇合適的阻力系數(shù)，或進(jìn)行試驗(yàn)測定，以便得到更好的預(yù)報(bào)結(jié)果。

4.4 不同海流形式的影響

計(jì)算了三組不同海流作用下的纜形及張力分布。

圖6 不同切向阻力時(shí)纜形及張力分布 （a）s=300 m；（b）s=450 mFig.6 Cable geometry and tension distribution in different tangential resistance(a)s=300 m;(b)s=450 m

其余參數(shù)均相同，A（0，0），B（50，300），纜長s=350 m，法向阻力系數(shù)Cn=1.0，切向阻力系數(shù)Ct= 0.05，海水密度ρ=1 021 kg/m3，纜徑φ=0.022 86 m。

在這三個(gè)算例中，平均速度相同，均為0.481 m/s。圖7給出了不同海流形式下的纜形及張力分布?？梢娂词蛊骄俣认嗤诓煌暮Ａ髂Ｐ妥饔孟?，拖攬的空間位形，張力分布均有明顯的變化，算例1的最大張力為算例3的兩倍。故計(jì)入不同海流形式的影響可更準(zhǔn)確地預(yù)報(bào)實(shí)際情況。

圖7 （a）不同海流形式時(shí)纜形；（b）不同海流形式時(shí)張力分布Fig.7(a)Cable geometry;(b)Tension distribution in different current types

5 結(jié) 論

本文在自然坐標(biāo)系下，推導(dǎo)了任意海流中纜繩的動(dòng)力學(xué)方程，并針對均勻流及線性流建立了纜形及張力分布的參數(shù)表達(dá)式。常規(guī)的真實(shí)海流可視為兩者的組合。對這些參數(shù)表達(dá)式的分析，一方面得到了均勻流、線性流及二者組合的流剖面下纜形及張力的物理規(guī)律；另一方面也指出了參數(shù)表達(dá)式積分求解時(shí)，在θ,T全域迅速迭代收斂的數(shù)學(xué)途徑。自行編制的數(shù)值程序在個(gè)人電腦上耗費(fèi)幾秒至十幾秒完成了均勻流、線性流及組合流的典型算例，給出了定量結(jié)果，進(jìn)一步驗(yàn)證了其物理規(guī)律。計(jì)算結(jié)果還表明切向阻力系數(shù)對拖攬張力的影響隨著拖攬長度的增加而增大，在工程上應(yīng)予以考慮。

[1]Rispin P.Data package No.1 for cable and array maneuvering[R]．Bethesda,Maryland,USA:David W.Taylor Naval Ship Research and Development Center,1980.

[2]Simpson A,Tabarrok B．On the equilibrium configuration of a chain subjected to uniform fluid flow in a horizontal plane[J]. International Journal of Mechanical Sciences,1976,18(2):91-94.

[3]Dennis N.On the formation of funicular curves[J].International Journal of Mechanical Sciences,1994,36(3):183-188.

[4]Leech C M,Tabarrok B．The cable geometry for a towed submersible[J]．International Journal of Mechanical Sciences,1995, 37(10):1079-1087.

[5]章浩燕,朱克強(qiáng),張 洋,等.水下拖曳纜索二維幾何形態(tài)的研究[J].艦船科學(xué)技術(shù),2013,35(4):35-39. Zhang Haoyan,Zhu Keqiang,Zhang Yang,et al.Research on the two-dimensional cable geometries of a towed submersible [J].Ship Science and Technology,2013,35(4):35-39.

Theoretical study on the cable geometry and tension of neutral cable in current

XING Dan,MA Li-bin
(China Ship Scientific Research Center,Wuxi 214082,China)

The dynamic equations of the cable in different ocean currents are developed in the natural coordinate,the effects of normal and tangential components of the fluid drag are both considered.The parameter expressions for the cable geometry and tension of the neutral cable under the action of uniform,linear and combined current flow are established.The physical laws of the cable geometry and tension distribution in different currents are obtained.Also,the mathematical approach to the fast convergence of the numerical integration is pointed out.Some typical examples are calculated by the self-compiled program.The quantitative results further verify the physical laws,and show that ignoring tangential resistance is not appropriate for long cable.

neutral cable;cable geometry;linear current;parameter expression

U661.1

A

10.3969/j.issn.1007-7294.2016.08.007

1007-7294（2016）08-0983-09

2016-06-26

海洋調(diào)查專項(xiàng)（TRQDC201401）

邢 丹（1987-），女，碩士，工程師，E-mail:xingdan0420@163.com。