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        一題解說數(shù)列不等式恒成立問題

        2016-05-04 03:41:31山東張美霞
        高中數(shù)理化 2016年18期
        關鍵詞:高青縣區(qū)分度淄博

        ◇ 山東 張美霞

        (作者單位:山東淄博高青縣第一中學)

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        一題解說數(shù)列不等式恒成立問題

        ◇ 山東 張美霞

        等差、等比數(shù)列是歷年高考考查的重點內(nèi)容之一,通常情況下都會設置1個選擇題或填空題和1個解答題.解答題一般設置2個問題,其中第(1)問比較簡單,屬于基礎題;第(2)問有一定的區(qū)分度,常與數(shù)列求和、不等式證明等知識有密切的聯(lián)系.其中數(shù)列與不等式相聯(lián)系考查恒成立問題是熱點,也往往是學生易丟分的環(huán)節(jié).下面舉例談談這類題的解法.

        方法1 構造新數(shù)列,轉(zhuǎn)化為數(shù)列的最大項問題.

        當n≥5,cn+1≤cn, {cn}為單調(diào)遞減數(shù)列.

        當1≤n<5,cn+1>cn, {cn}為單調(diào)遞增數(shù)列.

        說明 這里對于數(shù)列{cn}的單調(diào)性的判定除了作差外,我們也可以作商,即

        當n≤3時,cn<0;

        則x、f′(x)、f(x)變化如表1.

        表1

        (此處雖然也是構造函數(shù),但是研究的是不含參數(shù)的函數(shù).)

        從以上解法可以看出分離變量是避開研究含參數(shù)問題的關鍵,構造函數(shù)求導時略顯麻煩,且由于x是整數(shù),須估值易出錯.相比之下構造數(shù)列法比較簡單,適合廣大學生.

        總之,適時地構造新數(shù)列,利用數(shù)列的性質(zhì)解決問題是解答數(shù)列與不等式綜合題常用的手段.

        (作者單位:山東淄博高青縣第一中學)

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