◇ 北京 丁益祥(特級教師)

(作者單位：北京陳經(jīng)綸中學(xué))

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2016 年高考數(shù)學(xué)全國卷試題評析與新一輪高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)建議(上)

◇ 北京 丁益祥(特級教師)

1 試題總體評價

2016年全國高考數(shù)學(xué)甲、乙、丙3套試題,都依照考試大綱的要求,較好地堅(jiān)持了“考查基礎(chǔ)知識的同時,注重考查能力”的原則.在以能力立意的命題思想指導(dǎo)下,著意將知識、能力與素質(zhì)融為一體,全面檢測了考生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

試題注意了數(shù)學(xué)的學(xué)科特點(diǎn),突出了知識的基礎(chǔ)性和綜合性,以主干知識為主體,注意在知識網(wǎng)絡(luò)交會點(diǎn)設(shè)計(jì)試題.著力體現(xiàn)概念性、思辨性和應(yīng)用性,在數(shù)學(xué)思想、理性思維以及數(shù)學(xué)潛能方面都作了比較深入的考查.試題總體難度適中,除了個別把關(guān)試題較難外,大部分試題平和穩(wěn)定、似曾相識、穩(wěn)中有變、推陳出新.既考查了中學(xué)數(shù)學(xué)的知識和方法,又檢測了考生進(jìn)入高校繼續(xù)學(xué)習(xí)的潛能,發(fā)揮了數(shù)學(xué)作為基礎(chǔ)學(xué)科應(yīng)有的作用.

2 主要特點(diǎn)分析

2.1 在考查雙基中凸顯重點(diǎn)內(nèi)容

2016年的數(shù)學(xué)《考試大綱》在考查要求中明確指出:“對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的考查,既要全面又要突出重點(diǎn),對于支撐學(xué)科知識體系的重點(diǎn)內(nèi)容,要占有較大的比例,構(gòu)成數(shù)學(xué)試題的主體.”

《考試大綱》的這一命題要求,在2016年全國甲、乙、丙3套數(shù)學(xué)試題中都得到了較好的落實(shí).試題一方面對高中數(shù)學(xué)所涉及的概念、性質(zhì)、公式、法則、定理、公理等都作了較為全面的考查,知識點(diǎn)覆蓋面約占所有知識點(diǎn)的65%;另一方面凸顯了對導(dǎo)數(shù)與函數(shù)、三角函數(shù)(包括三角恒等變換和解三角形)、平面向量與空間向量、數(shù)列、不等式、概率與統(tǒng)計(jì)、圓錐曲線與方程、空間圖形與平面圖形等8個重要部分內(nèi)容的考查.

我們以2016年全國甲、乙、丙3套理科試題作說明見表1.這些都充分說明在全面考查雙基的同時,凸顯重點(diǎn)內(nèi)容重點(diǎn)考查、重點(diǎn)內(nèi)容反復(fù)考查的命題特點(diǎn).

表1

2.2 在考查交會中提高學(xué)科能力

2016年甲、乙、丙3套數(shù)學(xué)試題,都十分重視從學(xué)科的整體高度和思維價值的高度,凸顯對知識網(wǎng)絡(luò)交會問題的考查,據(jù)此檢測學(xué)生的數(shù)學(xué)能力.

(1) 證明|EA|+|EB|為定值,并寫出點(diǎn)E的軌跡方程;

(2) 設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線C1,直線l交C1于M、N2點(diǎn),過B且與l垂直的直線與圓A交于P、Q2點(diǎn),求四邊形MPNQ面積的取值范圍.

分析與評述 此題第(1)問是2條線段長度之和的定值問題和動點(diǎn)的軌跡問題,充分利用平面幾何中圓的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì),不難證明|EA|+|EB|等于已知定圓的半徑,當(dāng)然是定值.再結(jié)合橢圓的定義,即可判斷動點(diǎn)E的軌跡是橢圓,進(jìn)而可寫出其方程.

解決第(2)問的前提是求出四邊形MPNQ的面積函數(shù),然后確定其取值范圍.注意到這個四邊形的4個頂點(diǎn)是由直線l與第(1)問中求出的橢圓C1的交點(diǎn),以及過點(diǎn)B且垂直于l的直線與已知圓的交點(diǎn)所確定的,這自然想到應(yīng)考慮直線l斜率的存在與否,所以應(yīng)分“直線l與x軸不垂直”和“直線l與x軸垂直”2種情況討論.此外,無論是上述哪一種情況,都可以把四邊形分割成2個三角形來處理.為此需要通過弦長公式或圓的半徑、弦心距以及半弦所構(gòu)成的直角三角形,利用勾股定理求弦長,然后根據(jù)上述2種情況再確定四邊形面積的取值范圍.

顯然,此題突出了解析幾何與平面幾何的交會,具有較強(qiáng)的綜合性,著重考查了直線與圓及橢圓的位置關(guān)系、橢圓的定義、弦長公式、平行線的性質(zhì)、勾股定理、三角形面積等知識,考查了分類與整合的思想以及運(yùn)算求解能力和推理論證能力.通過此類問題求解,可以有效地檢測和提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力.

2.3 在考查應(yīng)用中強(qiáng)化應(yīng)用意識

數(shù)學(xué)應(yīng)用問題的考查由來已久,2016年應(yīng)用問題在保持考查概率與統(tǒng)計(jì)模型的基礎(chǔ)上,又關(guān)注了其他數(shù)學(xué)模型應(yīng)用問題的考查.

圖1

(1) 求X的分布列;

(2) 若要求P(X≤n)≥0.5,確定n的最小值;

(3) 以購買易損零件所需費(fèi)用的期望值為決策依據(jù),在n=19與n=20之中選其一,應(yīng)選用哪個?

分析與評述 第(1)問給出了關(guān)于100臺這種機(jī)器在3年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)的柱狀圖,并且在“以這100臺機(jī)器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺機(jī)器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率”的條件下,求2臺機(jī)器3年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù)X的分布列.核心是X可取值的確定及相應(yīng)概率的分析和計(jì)算.

第(2)問是在第(1)問基礎(chǔ)上的自然引申.事實(shí)上,只需根據(jù)第(1)問所求出的X的分布列,通過計(jì)算、比較,便可以確定n的最小值.

處理第(3)問,首先應(yīng)弄清購買零件的費(fèi)用所包括的2個方面:1)購買機(jī)器時同時購買的零件所需費(fèi)用,按每個200元計(jì)算; 2)備用零件不足時另外購買的零件,按每個500元計(jì)算.在此基礎(chǔ)上,分別計(jì)算n=19與n=20這2種情況下各自所需費(fèi)用的分布列,進(jìn)而求出期望,再比較大小,即可作出正確決策.

不難看出,此題著重考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望.后2問從經(jīng)濟(jì)核算的角度,考查了在數(shù)理統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)上的理性決策,體現(xiàn)了概率統(tǒng)計(jì)知識在實(shí)際問題中的應(yīng)用.這種概率統(tǒng)計(jì)知識的命題方式,既是近幾年高考試題的熱點(diǎn),又是亮點(diǎn),具有濃郁的應(yīng)用味兒,它有效地檢測了學(xué)生的應(yīng)用意識和實(shí)踐能力.

圖2

A 各月的平均最低氣溫都在0℃以上;

B 7月的平均溫差比1月的平均溫差大;

C 3月和11月的平均最高氣溫基本相同;

D 平均氣溫高于20℃的月份有5個

分析與評述 由雷達(dá)圖可看出:對于選項(xiàng)A,0℃在虛線為邊界的圖形內(nèi),故各月的平均最低氣溫都在0℃以上,因此A正確.對于選項(xiàng)B,7月的平均溫差大于7.5℃,1月的平均溫差小于7.5℃,所以7月的平均溫差比1月的平均溫差大,因此B正確.對于選項(xiàng)C,3月和11月的平均最高氣溫大約都在10℃左右,所以3月和11月的平均最高氣溫基本相同,因此C正確.由此可知D錯誤,因此選D.

事實(shí)上,由雷達(dá)圖可看出,平均氣溫高于20℃的只有3個月份(6、7、8月),因此D錯誤.

此題是關(guān)于某城市氣溫情況的實(shí)際問題.問題的解決利用了雷達(dá)圖的閱讀和分析技術(shù),這種技術(shù)是基于一種形似導(dǎo)航雷達(dá)顯示屏上的圖形而構(gòu)建的一種多變量對比分析技術(shù),雷達(dá)圖是統(tǒng)計(jì)圖中的一種,它由若干個同心圓以及從圓心向外引出的若干條射線構(gòu)成.這些同心圓的間距相等,每個圓代表一定的指標(biāo)值.解題時,通常將同一類變量不同時期的指標(biāo)值依次連接成封閉折線,從而獲得不同類別變量不同的折線圖,再進(jìn)行對比分析,進(jìn)而作出相應(yīng)的判斷.

這里,雷達(dá)圖只是這個旅游城市用來向游客介紹本地氣溫情況的一種形式.命制此題的弦外之音是數(shù)學(xué)應(yīng)用意識的考查,除了概率與統(tǒng)計(jì)問題以外,還有涉及其他知識的問題.此題的考查為我們把握應(yīng)用問題的復(fù)習(xí)內(nèi)容和方向,提供了新的視角.同時,通過不同知識內(nèi)容實(shí)際問題的考查,體現(xiàn)數(shù)學(xué)應(yīng)用的廣泛性,以此不斷強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識.

(未完待續(xù))

(作者單位：北京陳經(jīng)綸中學(xué))