☉浙江省黃巖實(shí)驗(yàn)中學(xué)　章文菊

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巧變課本習(xí)題點(diǎn)燃思維火花

☉浙江省黃巖實(shí)驗(yàn)中學(xué)章文菊

運(yùn)用習(xí)題舉一反三，是習(xí)題課中常用的教學(xué)手段.眾所周知，一堂數(shù)學(xué)習(xí)題課的成功，關(guān)鍵在于對(duì)習(xí)題的精心選擇.若所選的習(xí)題蘊(yùn)含一定的針對(duì)性、示范性、趣味性、綜合性等特點(diǎn)，不僅可以幫助學(xué)生走出知識(shí)誤區(qū)，更能激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，拓寬解題思路，提升思維能力.教材中的習(xí)題是專家從大量的“原材料”中經(jīng)過(guò)仔細(xì)斟酌、篩選、檢驗(yàn)、考證后才形成的“產(chǎn)品”，具有較強(qiáng)的典型性，有極高的研究?jī)r(jià)值.只要教者注意對(duì)習(xí)題進(jìn)行創(chuàng)造性的設(shè)計(jì)，包括對(duì)習(xí)題的選擇、挖掘、引申、改編，就一定能取得理想的教學(xué)效果.在此，筆者以人教版教材“四邊形”一章為例，談?wù)剮啄陙?lái)在習(xí)題課教學(xué)中的一些探索，作為拋磚引玉吧！

一、以課本練習(xí)為基礎(chǔ)題型，不斷增加問(wèn)題的綜合性，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力

原題1（八下第44頁(yè)練習(xí)2）如圖1，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，EF過(guò)點(diǎn)O與AB、CD分別相交于點(diǎn)E、F.求證OE=OF.

圖1

圖2

解決此題的關(guān)鍵是平行四邊形性質(zhì)定理的應(yīng)用，并通過(guò)△AOE≌△COF來(lái)達(dá)到目的.但在此題的條件下，全等三角形不只是以上一對(duì).因此，我們可以此題為基礎(chǔ)題型，進(jìn)行如下的變式、復(fù)合：

變題1：用此題的條件及圖形，找出圖中有幾對(duì)全等三角形.

這就要求學(xué)生必須通過(guò)仔細(xì)觀察，利用全等三角形的判定，才能準(zhǔn)確地完成此題.

變題2：增加條件：GH過(guò)點(diǎn)O與AD、BC分別相交于點(diǎn)G、H（圖2），求證四邊形EHFG是平行四邊形.

這樣，此題就可轉(zhuǎn)化為平行四邊形判定定理的應(yīng)用，但圖形明顯比以前復(fù)雜.只要觀察出兩圖形的關(guān)系，問(wèn)題就可迎刃而解.

變題3：再增加條件：若GH⊥EF，求證∠EGH= ∠FGH.

至此，本題就變成一道寓平行四邊形的性質(zhì)和判定、菱形的性質(zhì)和判定等諸多知識(shí)的綜合題.由于菱形是特殊的平行四邊形，增加條件GH⊥EF后，就可利用菱形與平行四邊形對(duì)角線之間的關(guān)系，得到四邊形EHFG是菱形，再由菱形的性質(zhì)可得∠EGH=∠FGH.

二、以課本例題為參照題型，不斷改變例題中的部分條件，使學(xué)生在解題中自覺(jué)做到舉一反三

原題2（八下第46頁(yè)例3）如圖3，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，E、F是AC上的兩點(diǎn)，并且AE= CF，求證四邊形BFDE是平行四邊形.

圖3

此題可從對(duì)角線的角度來(lái)證明，也可用平行四邊形的邊、角關(guān)系，由三角形全等知識(shí)來(lái)證明.

變題1：若把此題中的條件“AE=CF”改成“BE平分∠ABC交AC于點(diǎn)E，DF平分∠ADC交AC于點(diǎn)F”，那么，四邊形BFDE仍是平行四邊形嗎？

利用平行四邊形對(duì)角相等的性質(zhì)，是解決此題的關(guān)鍵.

變題2：把此題中的條件“AE=CF”改成“BE⊥AC于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F”，那么，四邊形BFDE還是平行四邊形嗎？

此題就要利用垂直的定義和三角形全等的知識(shí)，再結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)和判定來(lái)解決.

由原有例題引發(fā)出的變式題的講解和練習(xí)，既可讓學(xué)生熟練地掌握平行四邊形的各種判定和性質(zhì)，又能使學(xué)生在解題中進(jìn)行舉一反三，觸類旁通.

三、以課本復(fù)習(xí)題為背景題型，改變課本習(xí)題，進(jìn)行一題多解，提高學(xué)生的解題能力

原題3（八下第69頁(yè)復(fù)習(xí)題第14題）如圖4，四邊形ABCD是正方形，E是邊BC的中點(diǎn)，∠EAF=90°，且EF交正方形外角的平分線CF于點(diǎn)F，求證AE=EF.

圖4

圖5

圖6

圖7

方法1：如圖4，取AB的中點(diǎn)G，連接GE，則AG=BG= BE=EC，進(jìn)而得出∠BGE=45°，所以∠AGE=∠ECF= 135°.又不難證明∠BAE=∠FEC，于是△AGE≌△ECF，從而得出結(jié)論.

若作為一節(jié)九年級(jí)的習(xí)題課，還可以從以下兩種方法去引導(dǎo)：

方法2：如圖5，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥BC于點(diǎn)H，由此可以證明△ABE∽△EHF，進(jìn)而可得，由比例性質(zhì)可得.又△FCH是等腰直角三角形，故有EH-FH=EH-CH=CE，同時(shí)易證AB-BE=BC-BE=CE，從而有，所以BE=FH，就可以證得△ABE≌△EHF，得出結(jié)論.

方法3：如圖6，連接AF、AC，因?yàn)椤螦CD=45°，∠DCF=45°，可以證得∠ACF=90°，從而有點(diǎn)A、E、C、F四點(diǎn)在以AF為直徑的圓上，由同弧所對(duì)的圓周角相等，知∠AFE=∠ACB=45°，結(jié)論得證.

當(dāng)然，本題還可以變式為一般情形，即E是BC邊上的任意一點(diǎn)，如圖7所示，也可以采用以上三種方法進(jìn)行解答.

上述幾種方法既體現(xiàn)了幾何題一題多解的特點(diǎn)，同時(shí)又進(jìn)行了全面復(fù)習(xí)，也是對(duì)所學(xué)知識(shí)的一次整合.

四、以課本習(xí)題為基本題型，進(jìn)行一題多變，提升學(xué)生的發(fā)散性思維

原題4（八下第68頁(yè)復(fù)習(xí)題第8題）如圖8，四邊形ABCD是一個(gè)正方形花園，E、F是它的兩個(gè)門(mén)，且DE=CF，要修建兩條路BE和AF，這兩條路等長(zhǎng)嗎？它們有什么位置關(guān)系？為什么？

分析：本題思路特別簡(jiǎn)單，利用三角形全等去證明兩條線段相等及位置關(guān)系，為了進(jìn)一步提升學(xué)生的思維，先從點(diǎn)E、F的位置上進(jìn)行改編：

變題1：如圖9，在正方形ABCD中，已知點(diǎn)E、F分別在邊AD、DC的延長(zhǎng)線上，且DE=CF，連接BE、AF相交于點(diǎn)P.

（1）試說(shuō)明：AF=BE；

（2）求∠BPF的度數(shù).

再把這兩條直線的位置加以改變，同時(shí)添加垂直的條件，證明它們相等.

變題2：如圖10，在正方形ABCD中，M、N、P、Q分別是邊AB、BC、CD、DA上的點(diǎn)，且MP⊥NQ，MP與NQ是否相等？并說(shuō)明理由.

圖8

圖9

圖10

圖11

繼續(xù)由直線位置改變?yōu)樗膫€(gè)點(diǎn)的位置，并轉(zhuǎn)化成面積問(wèn)題.

變題3：如圖10，在正方形ABCD中，M、N、P、Q分別為邊AB、BC、CD、DA上的點(diǎn)，AM=BN=CP=DQ，連接MP，NQ，交點(diǎn)為O.

（1）求證：MP⊥NQ，MP=NQ；

（2）將正方形ABCD沿線段MP、NQ剪開(kāi)，再把得到的四個(gè)四邊形按圖11所示的方式拼接成一個(gè)四邊形，若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3cm，MA=NB=PC=QD=1cm，則圖11中陰影部分的面積為_(kāi)____cm2.

最后借助垂直條件，將其改編成一道綜合性強(qiáng)的幾何題.

變題4：如圖12，正方形ABCD中，E、F分別為邊AD、DC上的點(diǎn)，且AE=FC，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥BE，交AB于點(diǎn)G，連接BF，DH，求證：

（1）∠BGF=∠CFB；

圖12

解題思路：（1）由BE⊥GF可知BE=GF，又由AE=CF可證BE=BF，所以GF=BF，則∠BGF=∠ABF.又由AB∥DC得∠ABF=∠CFB，從而得出結(jié)論.

（2）由于出現(xiàn)了線段和，可以延長(zhǎng)HE到點(diǎn)M，使EM= HF，連接DM，證△DEQ≌△DFH，從而得到△QDH為等腰直角三角形，結(jié)論得證.