摘 要：在初一數(shù)學(xué)中，代數(shù)領(lǐng)域開始接觸大量公式、法則，著重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感、運(yùn)算能力和符號(hào)意識(shí)。而在幾何領(lǐng)域，由小學(xué)段的認(rèn)識(shí)、了解圖形，感受簡(jiǎn)單圖形的基本特征，到初中學(xué)段的幾何直觀的要求和幾何推理能力的培養(yǎng)，無疑會(huì)使學(xué)生感到更加困難。初中幾何圖形繁雜，不少學(xué)生都有“霧里看花”的感覺。如何做到化繁為簡(jiǎn)，化難為易呢？筆者想，何不把其中一類圖形都包含的一個(gè)基本圖形作為一個(gè)“模型”，讓學(xué)生經(jīng)過訓(xùn)練、思考，找出其中的“模型”，類似于代數(shù)中的公式，套用起來，這樣不只是解答起來方便，也能使學(xué)生感悟到其中的本質(zhì)聯(lián)系，這樣不是很好嗎？筆者在教學(xué)實(shí)踐中，確實(shí)收到了不錯(cuò)的效果，學(xué)生反應(yīng)良好。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；案例；幾何；模型化

一、數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的案例分析

模題：如圖1所示的圖形，就像一只風(fēng)箏一樣，我們不妨把這樣的圖形叫做“箏形圖”。試探究∠BDC與∠A、∠B、∠C之間的關(guān)系。

這是《新蘇科版》七年級(jí)第7章《平面圖形認(rèn)識(shí)（二）》教材配套練習(xí)冊(cè)的一道例題。是在學(xué)了三角形內(nèi)角、定理以及推論“三角形的外角和等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和”后講解的一道典型例題。

初次遇到這個(gè)題目，絕大部分學(xué)生無從下手，畢竟這是以前不常見的凹四邊形。而要解決這個(gè)問題，需要用到分割補(bǔ)缺思想。下面筆者就簡(jiǎn)單地介紹一下常見的三種做法。

從分割角度講，有以下兩種解法：延長(zhǎng)BD，交AC于E，或者過點(diǎn)D，作射線AE。這兩種解法，本質(zhì)都是把這個(gè)凹四邊形分割成兩個(gè)三角形。由于本題要求探究的∠BDC、∠A、∠B、∠C這四角不在一個(gè)三角形內(nèi)，會(huì)自然地想到運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理，利用外角找出它們四角之間的關(guān)系：∠BDC=∠A+∠B+∠C。

從補(bǔ)缺角度講，可以連接BC，這也是較多學(xué)生能想到的方法，即利用三角形內(nèi)角和定理解題。但是這四角不是被囊括在一個(gè)三角形中，而是分別在△ABC和△BCD中。筆者個(gè)人感覺證明過程沒有上面的解法那么簡(jiǎn)單，要利用等式性質(zhì)把里面涉及的中間角∠DBC和∠DCB消去。

通過上述方法的證明，我們?cè)凇肮~形圖”中，得到了一個(gè)很重要的結(jié)論：∠BDC=∠A+∠B+∠C。下面我們就可以利用這樣一個(gè)模型圖和它的結(jié)論，解決后面出現(xiàn)的一系列問題。

問題1：如圖2所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度數(shù)。

在講了上面的模題后，再看這道題，很多學(xué)生馬上就有了思路，能很快說出在里面的凹四邊形ABCO就是我們要找的“箏形圖”，從而得到∠AOC=∠A+∠B+∠C。再利用對(duì)頂角，就能求解。

通過這道題，大部分學(xué)生對(duì)于“箏形圖”有了更深的認(rèn)識(shí)和直觀的理解，也初次嘗到“甜頭”。把這么一道看起來有點(diǎn)小復(fù)雜的圖形快速地解出來，關(guān)鍵在于能用我們的“火眼金睛”看出本題圖中蘊(yùn)含的模圖——“箏形圖”。

問題2：如圖3，國(guó)旗中五

角星的五個(gè)角的和∠A+∠B+

∠C+∠D+∠E等于多少度？

這是大家在生活中最常見的圖形，是我們的國(guó)旗上的圖形。常見歸常見，可真問起來，也沒有多少學(xué)生能回答對(duì)。這張圖其實(shí)要比上面的圖形復(fù)雜得多，但關(guān)鍵還是要看能不能找到其中的“箏形圖”。其實(shí)圖里面有5個(gè)“箏形圖”，五角星的每個(gè)角都可以與它不相鄰的兩個(gè)角構(gòu)成一個(gè)“箏形圖”。當(dāng)然，找到其中一個(gè)就能解決該題。在這里，筆者就以凹四邊形ACOD為例，得∠COD=∠A+∠C+∠D，接下來由對(duì)頂角，最后得解。通過提示，學(xué)生找到了答案，想到原來我們天天見的五角星還有這么多奧秘和學(xué)問。這樣，把愛國(guó)教育穿插在課堂教學(xué)中，達(dá)到潤(rùn)物細(xì)無聲的效果。

問題3：如圖4所示，試求∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E的度數(shù)。

看完上一道題，再看這張有點(diǎn)“怪”的圖，有些反應(yīng)快的學(xué)生就看明白了與上面的兩道題是一樣的。對(duì)啊，就是把上圖中的點(diǎn)A移動(dòng)到邊BE上。同理，答案也是相同的。

問題4：如圖5所示，∠1=130°，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)為多少？

在這道題里，圖形比上面一張更為復(fù)雜。不少學(xué)生想了一會(huì)，還是沒有什么思路。因?yàn)樵谶@道題里面，找到“箏形圖”并不能馬上求出解，還需要利用外角進(jìn)行轉(zhuǎn)換。

如圖6，凹四邊形ADOE是“箏形圖”，可得

∠2=∠A+∠D+∠E，由對(duì)頂角得∠2=∠3，

再根據(jù)外角定理，∠1=∠3+∠F，∠1=∠B+∠C，等量代換，最后得到結(jié)果260°。

其實(shí)在問題3的鋪墊下，一部分學(xué)生有了更好的解法。如圖7，如果把本圖里面的△BCO去掉，就相當(dāng)于把問題3中的點(diǎn)A繼續(xù)往下移動(dòng)。由問題3的結(jié)論可得，∠A+∠F+∠E+∠D+∠2=180°，又因?yàn)椤?+∠2=180°，可得∠A+∠F+∠E+∠D=130°。再由外角，最后求出解。

問題5：1.如圖8，把一塊三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的兩條直角邊XY、XZ恰好經(jīng)過點(diǎn)B、C，若∠A=50°，則∠ABX+∠ACX =______°。

2.如圖9，DC平分∠AD，EC平分∠AEB，

若∠DAE=50°，∠DBE=130°，求∠DCE的度數(shù)。

3.如圖10，分別作∠ABD與∠ACD的十等分線，

并分別交于點(diǎn)G1，G2，…G9，若∠BDC=140°，

∠BG1C=77°，求∠A的度數(shù)。

本題中的第1小題，多了一個(gè)直角三角尺道具，但只要能掌握“箏形圖”的圖形特點(diǎn)和結(jié)論，本題不難做出答案。

第2小題，把“箏形圖”與角平分線結(jié)合在一起，會(huì)出現(xiàn)怎樣的奇妙結(jié)論呢？先提問學(xué)生，大家能找出其中的“箏形圖”嗎？有幾個(gè)“箏形圖”？圖形感覺好的學(xué)生，能找出其中存在3個(gè)“箏形圖”。根據(jù)題目條件，由已知得未知，先看這個(gè)“箏形圖”——凹四邊形ADBE，可得∠B=∠A+∠ADB+∠AEB，代入算出∠ADB+∠AEB=80°。根據(jù)角平分線，得到∠ADC+∠AEC=40°，下面找上式對(duì)應(yīng)的“箏形圖”——凹四邊形ADCE，最后得解。

第3小題，初看起來挺嚇人，里面多了好多線，還帶省略號(hào)，會(huì)讓不少學(xué)生“望山止步”。這時(shí)，要鼓勵(lì)學(xué)生首先克服恐懼心理，再帶著他們慢慢走近題目，多看看，多想想。這一小題跟在后面，有什么用意呢？這時(shí)要明確告知學(xué)生，這種類型題目，后面的小題往往會(huì)用到前面小題的思想方法，往往有“異曲同工”之妙。這時(shí)，教師要幫助學(xué)生，不要被“異曲”迷惑，找出“同工”之妙。這道題的“同工”在哪里？其實(shí)就是“箏形圖”。由已知條件∠BDC=140°，∠BG1C=77°，找對(duì)應(yīng)的“箏形圖”——凹四邊形G1BDC，得到∠BDC= BG1C+∠G1BD+∠G1CD，算出∠G1BD+∠G1CD=63°，因?yàn)槭确志€∠ABD+ACD=（∠G1BD+∠G1CD）=70°，最后再由圖中的最大“箏形圖”求出答案。

二、思考

義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)2011版（下面簡(jiǎn)稱新課標(biāo)）與老課標(biāo)相比較，其中一個(gè)很大的變化就是課程目標(biāo)由原來的“雙基”升華為“四基”，特別把“基本思想”視為更加上位的課程目標(biāo)。數(shù)學(xué)的“基本思想”是關(guān)于數(shù)學(xué)科學(xué)最為根本的要旨，是數(shù)學(xué)研究的基礎(chǔ)，也是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心所在。這里的“基本思想”是最能體現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì)特征的思想，包括數(shù)學(xué)抽象的思想、數(shù)學(xué)推理的思想、數(shù)學(xué)建模的思想。由“建模的思想”可以派生出量化的思想、函數(shù)的思想、方程的思想等。

事實(shí)上，這些“基本思想”也是其他數(shù)學(xué)思想產(chǎn)生的源頭。例如，由“抽象的思想”可以派生出數(shù)學(xué)結(jié)合的思想、符號(hào)表示的思想等；由“推理的思想”可以派生出演繹的思想、轉(zhuǎn)化化歸的思想等。而當(dāng)應(yīng)用數(shù)學(xué)思想解決問題時(shí)，需要有具體的操作程序，這樣就逐步形成了“數(shù)學(xué)方法”，也就可以得到我們?nèi)粘Ｋf的反證法、待定系數(shù)法、配方法。

而筆者在本文所提及的“模型化”教學(xué)應(yīng)該更貼近數(shù)學(xué)方法這一層面的概念，是一種具體的程序化操作。按模型所使用的數(shù)學(xué)工具來分屬于幾何模型，雖然簡(jiǎn)單，難登大雅之堂，但也能以管窺豹。所謂數(shù)學(xué)模型是指針對(duì)或參照某種事物系統(tǒng)的主要特征、主要關(guān)系，用形式化的數(shù)學(xué)語言，概括地或近似地表述出來的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。筆者這里就是用“箏形圖”來概括命名一類凹四邊形，并用一個(gè)等式表述其中蘊(yùn)含的雖然簡(jiǎn)單但卻很實(shí)用的結(jié)論，方便學(xué)生找出圖形的本質(zhì)特征，優(yōu)化學(xué)生的思維過程，也能激發(fā)部分學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

小學(xué)階段到初中階段，由研究數(shù)學(xué)事物本身升華到研究數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)關(guān)系，這一個(gè)飛躍不可謂不大，也算開始真正接觸數(shù)學(xué)，真正邁進(jìn)數(shù)學(xué)殿堂。但是橫亙?cè)趯W(xué)生面前的無形的鴻溝，使不少學(xué)生“談數(shù)學(xué)色變”。教師研究的就是如何教學(xué)，如何縮小這個(gè)“鴻溝”。最常用的方法就是把陌生的問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)個(gè)熟悉的基本問題，而筆者也一直在日常教學(xué)中反思、研究這個(gè)問題。筆者覺得，從初中開始的幾何演繹推理教學(xué)，可以作為一個(gè)很好的突破口和抓手，幾何圖形蘊(yùn)含的結(jié)構(gòu)特征才是一些幾何問題的本質(zhì)所在。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，從結(jié)構(gòu)的觀點(diǎn)出發(fā)分析問題和解決問題，有利于知識(shí)的統(tǒng)一化、整體化、精煉化。因?yàn)樵诮Y(jié)構(gòu)方法中，凡具有同構(gòu)性質(zhì)的一些結(jié)構(gòu)，在本質(zhì)上都可以看成一種結(jié)構(gòu)。利用同構(gòu)概念對(duì)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)進(jìn)行比較和分類，在同一類中只要把其中一個(gè)結(jié)構(gòu)的性質(zhì)屬性搞清楚，該類中的有關(guān)性質(zhì)就只需經(jīng)過一個(gè)簡(jiǎn)單的符號(hào)“翻譯”即可獲得。

本文提及的“模型化教學(xué)”只是初步嘗試，想把“數(shù)學(xué)建模思想”用一種具體的程序化操作為“數(shù)學(xué)方法”，也許不太成熟，但筆者會(huì)在今后的教學(xué)實(shí)踐中不斷完善、修正，以期取得更好的效果。