摘 要：本文首先介紹了拉格朗日中值定理在高中數(shù)學(xué)中的主要應(yīng)用形式和應(yīng)用范圍，對(duì)拉格朗日中值定理予以三種方式證明，并結(jié)合相關(guān)證明不等式例題，介紹了拉格朗日中值定理在高中不等式證明中的巧妙運(yùn)用。

關(guān)鍵詞：拉格朗日中值定理；不等式；證明；應(yīng)用

拉格朗日中值定理是微積分中值定理（包含羅爾定理、柯西定理以及拉格朗日定理）中的一種，對(duì)于微積分理論構(gòu)造有重要的作用。不等式的證明作為高中數(shù)學(xué)中較為常見的題型，也是高考中較為常見的題型。對(duì)于不等式證明的解題方式有很多，利用中值定理解不等式是一種常見的方式。但高中生并沒有深入學(xué)習(xí)微積分，對(duì)此種方法的理解不夠深入，應(yīng)用起來稍顯笨拙。

一、拉格朗日中值定理在高中數(shù)學(xué)中的主要應(yīng)用

1.極限問題的求解。極限問題是高中數(shù)學(xué)中極限學(xué)習(xí)的考察重點(diǎn)，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，許多教師都向?qū)W生介紹了洛必達(dá)法則、夾逼定理、泰勒公式等解題方式。這些解題方式原理簡單，解題思路順暢，解題效果較好，極容易被學(xué)生吸收。而利用拉格朗日中值定理來求解極限問題的教學(xué)比較少見，一方面，拉格朗日中值定理相對(duì)復(fù)雜，通常用來解決復(fù)雜的極限問題，另一方面，學(xué)生對(duì)于復(fù)雜的極限題目往往具有畏難心理，常常在解題過程中選擇放棄。實(shí)際上，利用拉格朗日中值定理來解決復(fù)雜的極限問題，其實(shí)質(zhì)在于分解題目，實(shí)現(xiàn)對(duì)題型的轉(zhuǎn)變，運(yùn)用拉格朗日中值定理求極限的時(shí)候要把握好拉格朗日中值定理與極限問題之間的關(guān)聯(lián)，尋找兩者之間的連接點(diǎn)，做好式子的簡化，這樣才能快速解題。

2.不等式證明的求解。不等式證明題是不等式教學(xué)中最基本的題型之一，解決不等式證明的常規(guī)方法有許多，例如：數(shù)形結(jié)合、導(dǎo)數(shù)法等。利用拉格朗日中值定理來解決不等式證明題，其核心在于對(duì)函數(shù)的構(gòu)建，以及進(jìn)一步探索導(dǎo)數(shù)與構(gòu)建的函數(shù)之間的關(guān)系，利用這種關(guān)系，進(jìn)一步確定在特定條件下函數(shù)成立，繼而證明不等式。常規(guī)方法證明較復(fù)雜的不等式需要耗費(fèi)大量的演算時(shí)間，且容易在求解過程中產(chǎn)生思維沖突，不利于正確解題，但直接運(yùn)用拉格朗日中值定理非常簡單，能夠快速求解。拉格朗日中值定理求解不等式或證明不等式時(shí)非常簡單，只需依照定理構(gòu)建符合拉格朗日中值定理?xiàng)l件的函數(shù)F（x）即可，然后依照中值定理的相應(yīng)內(nèi)容進(jìn)行求證。

3.函數(shù)問題的求解。拉格朗日中值定理是函數(shù)與導(dǎo)數(shù)之間連接的重要內(nèi)容。該定理是函數(shù)與導(dǎo)數(shù)結(jié)合的橋梁，是進(jìn)一步分析函數(shù)各種性質(zhì)的重要理論，是求解函數(shù)問題的重要方法。該定理在求解函數(shù)問題中，最為核心的應(yīng)用方式是做好逆向思維分析，其求證出發(fā)點(diǎn)是該定理與函數(shù)性質(zhì)之間的一致性，一定要注意輔助函數(shù)的構(gòu)造，尋找最直接、最有效的輔助函數(shù)。

三、結(jié)論

拉格朗日中值定理在數(shù)學(xué)分析中越來越多地被應(yīng)用，此定理是處理導(dǎo)數(shù)問題的必要工具。拉格朗日定理在高考和考研中被廣泛運(yùn)用，常被作為壓軸題出現(xiàn)。用拉格朗日中值定理交易解決，充分體現(xiàn)了高等數(shù)學(xué)的優(yōu)越性，讓更多的學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)中的樂趣。

參考文獻(xiàn)：

[1]閔蘭，陳曉敏.幾個(gè)微分中值定理之異[J].西南師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2012（6）：196-199.

[2]黨艷霞.淺談微分中值定理及其應(yīng)用[J].廊坊師范學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2010，10（1）.