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“楊輝三角”的拓展探究

◇湖北余智敏1何春玲2

高中數(shù)學(xué)教材人教A版《選修2-3》中用了較大篇幅介紹“楊輝三角”,主要是因?yàn)椤皸钶x三角”蘊(yùn)含了豐富的內(nèi)容,由它可以直觀看出二項(xiàng)式定理的性質(zhì)．楊輝三角是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的研究成果之一,它的發(fā)現(xiàn)顯示了我國(guó)古代勞動(dòng)人民的卓越智慧和才能．

“楊輝三角”將展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)幾何化,使之更加形象地展現(xiàn)在我們眼前．而三項(xiàng)式、四項(xiàng)式、五項(xiàng)式的相應(yīng)規(guī)律卻不能用“楊輝三角”來解釋．因此,我們的研究還可以繼續(xù)進(jìn)行,而要想形象地體現(xiàn)出三項(xiàng)式乃至多項(xiàng)式,也要從數(shù)字規(guī)律入手.

1多項(xiàng)式系數(shù)的代數(shù)表示

2多項(xiàng)式系數(shù)的幾何表示

1)an可理解為一個(gè)數(shù)軸．?dāng)?shù)軸、坐標(biāo)系能夠?qū)?shù)據(jù)與圖形結(jié)合,是數(shù)與形良好的載體.n無(wú)論取何值其“一次項(xiàng)系數(shù)”均為1,如圖1所示將坐標(biāo)軸上所有整點(diǎn)賦予“1”．

圖1

圖2

2) (a+b)n,也可以做出一個(gè)坐標(biāo)系,如圖2所示．將x、y軸整點(diǎn)賦予1,而第一象限任意整點(diǎn)上的數(shù)等于其左邊與下邊的數(shù)之和．就構(gòu)成了二項(xiàng)式系數(shù)在坐標(biāo)軸上的排布表．y=-x+1上經(jīng)過的2點(diǎn)便是(a+b)1的二項(xiàng)式系數(shù)．y=-x+2經(jīng)過的3個(gè)點(diǎn)便是(a+b)2的二項(xiàng)式系數(shù),故y=-x+n上的整點(diǎn)數(shù)字即為(a+b)n的二項(xiàng)式系數(shù)．另外,由于是在坐標(biāo)軸上,所以每個(gè)點(diǎn)就可以表示為naxby(其中n為該點(diǎn)所賦的值,x、y為該點(diǎn)的坐標(biāo))．

3) 類比以上規(guī)律,(a+b+c)n可放入三維坐標(biāo)系中．用x+y+z=r個(gè)平行的面去切割三維坐標(biāo)系,就會(huì)產(chǎn)生一個(gè)切面．同樣,切面上每個(gè)整數(shù)點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y,z)表示axbycz,將x、y、z軸整點(diǎn)賦予值1，每個(gè)點(diǎn)等于其下面、后面(面對(duì)于讀者)、左面的3個(gè)數(shù)之和．

4) (a+b+c+d)n應(yīng)在四維坐標(biāo)系中,無(wú)法畫出．只能推出x+y+z+w=r包含的點(diǎn)代表axbyczdw,無(wú)法知道其系數(shù)．

3“肩上”規(guī)律在三項(xiàng)式中的合情推理

1) 同第2章1)所述,an幾何表示仍是直線型．

2) (a+b)n的幾何表示就是著名的楊輝三角．如圖3所示．其中任一數(shù)等于其肩上2數(shù)之和．最外側(cè)均為1.第n行即為(a+b)n的二次項(xiàng)系數(shù)．第n行第m個(gè)數(shù)表示an-m+1bm-1的二項(xiàng)式系數(shù),即該數(shù)左側(cè)有幾個(gè)數(shù)字就是b的幾次方．

1

11

121

1331

14641

15101051

1615201561

172135352171

18285670562881

193684 126 126 843691

11045 120 210 252 210 120 45101

11155 165 330 462 462 330 165 55111

11266 220 495 792 924 792 495 220 66121

圖3

3) (a+b+c)n表示為一個(gè)四面體．每個(gè)側(cè)面都是一個(gè)楊輝三角，如圖4．不妨將這個(gè)四面體一層一層“切開”來看,如圖5.將每一層的3條邊填入楊輝三角中的對(duì)應(yīng)值,第4層之后中間就開始有點(diǎn)存在了,如圖6所示.中間的點(diǎn)等于立體圖中其上3個(gè)點(diǎn)之和,如6=2+2+2,第5層有12=6+3+3，…以此類推．每個(gè)點(diǎn)除了有數(shù)字,還要有對(duì)應(yīng)的字母項(xiàng),如圖7.令三角形頂點(diǎn)為a、b、c,三角形中點(diǎn)的某字母的次數(shù)就是這個(gè)點(diǎn)到該字母對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的對(duì)應(yīng)邊所隔線段數(shù)．

圖4　　　　　　　　　　　圖5

圖6　　　　　　　　　　　圖7

4“肩上規(guī)律”的證明

1) 二項(xiàng)式(a+b)n.

2) 三項(xiàng)式(a+b+c)n.

3) 四項(xiàng)式(a+b+c+d)n.

5其他規(guī)律

1) 對(duì)稱性:二項(xiàng)式(a+b)n的每一層數(shù)字左右對(duì)稱;

三項(xiàng)式(a+b+c)n的每一層的三角形關(guān)于三角形中心120°對(duì)稱;

四項(xiàng)式(a+b+c+d)n的每一層的正四面體關(guān)于其中心109°對(duì)稱(立體對(duì)稱).

2) 最大值:二項(xiàng)式(a+b)n的每一層最大值為中間1值(或2值);

三項(xiàng)式(a+b+c)n的每一層最大值為中心1值(或3值);

四項(xiàng)式(a+b+c+d)n的每一層最大值為中心1值(或4值).

3) 三項(xiàng)式(a+b+c)n特殊規(guī)律:三項(xiàng)式每層呈現(xiàn)邊上大,中心小規(guī)律,但是查看三角形任一條邊(包含三角形內(nèi)),可以發(fā)現(xiàn)這些邊都符合楊輝三角某行的數(shù)字之比．

證明略.

高中數(shù)學(xué)教學(xué)中關(guān)于多項(xiàng)式的數(shù)與形的探究可以適當(dāng)?shù)耐卣梗浴皸钶x三角”為基礎(chǔ),用類比推理的方法拓展至更多變量的情況,并運(yùn)用代數(shù)推理的工具驗(yàn)證這樣的推理,便于學(xué)生形象地理解多項(xiàng)式,深入地探究多項(xiàng)式的性質(zhì),這樣能極大地發(fā)散他們的思維,引導(dǎo)他們探索學(xué)習(xí)上的許許多多未知領(lǐng)域．