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定積分計(jì)算中原函數(shù)求解的簡(jiǎn)化

◇山東閆西安

定積分的應(yīng)用是新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)新增的重要內(nèi)容,也是與高等數(shù)學(xué)相銜接的內(nèi)容,同時(shí)該部分與生活實(shí)際聯(lián)系密切,所以成為高考命題的熱點(diǎn)問(wèn)題之一．計(jì)算定積分的關(guān)鍵是找準(zhǔn)原函數(shù),對(duì)于被積函數(shù)為常規(guī)函數(shù)的定積分問(wèn)題,我們可逆用基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算求原函數(shù)．而對(duì)于被積函數(shù)為非常規(guī)函數(shù)的定積分問(wèn)題,同學(xué)們常感無(wú)從下手,對(duì)此本文提供幾種策略,供同學(xué)們參考．

1直接利用定積分的幾何意義

定積分的幾何意義,即求曲邊形的面積．對(duì)于被積函數(shù)較為復(fù)雜的定積分問(wèn)題,若可將被積函數(shù)轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的平面幾何圖形,即可利用定積分的幾何意義簡(jiǎn)潔求解．

2利用被積函數(shù)的奇偶性

若被積函數(shù)是奇函數(shù),則其在對(duì)稱區(qū)間上的定積分為0;若被積函數(shù)是偶函數(shù),則其在對(duì)稱區(qū)間上的積分等于正數(shù)區(qū)間的2倍．利用此性質(zhì)解題,可達(dá)到化難為易、簡(jiǎn)潔解題．

3將被積函數(shù)進(jìn)行等價(jià)變形

對(duì)于被積函數(shù)非常數(shù)的積分問(wèn)題,通過(guò)將被積函數(shù)進(jìn)行等價(jià)變形,轉(zhuǎn)化為幾個(gè)常規(guī)函數(shù)的和或差的形式,再利用定積分的基本運(yùn)算,分別求定積分．

4逆用復(fù)函數(shù)求導(dǎo)法則

函數(shù)y=f[u(x)]的導(dǎo)數(shù)y′=f′[u(x)]u′(x)．如果我們能夠把被積函數(shù)寫(xiě)成若干個(gè)函數(shù)之積,而每個(gè)函數(shù)都是某個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù),則可找到其原函數(shù),再利用微積分基本定理求定積分．

5將被積函數(shù)進(jìn)行等量代換

對(duì)于不易直接求原函數(shù)的定積分問(wèn)題,若利用函數(shù)圖象的對(duì)稱性,可將其用常規(guī)的函數(shù)進(jìn)行代換,則可達(dá)到化生為熟的目的．

圖1　　　　　　　　　　　圖2

故答案為1.

6分段討論求原函數(shù)

對(duì)于在不同積分區(qū)間內(nèi)具有不同被積函數(shù)的定積分問(wèn)題,可按積分變量所在區(qū)間進(jìn)行分類討論分別求定積分．

A0;B-4;C19/2;D16

當(dāng)-2≤x<1時(shí),f(x)=1-x3; 當(dāng)1≤x≤2時(shí),f(x)=x3-1．所以

故選項(xiàng)為C．

定積分問(wèn)題中原函數(shù)的求解，需要針對(duì)不同的情況采用不同的求解方法.希望同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)中不斷歸納總結(jié)，以提高解此類問(wèn)題的能力.

(作者單位：山東省定陶縣第一中學(xué))