吳望生　(長(zhǎng)江大學(xué)物理與光電工程學(xué)院，湖北 荊州 434023)

唐國(guó)寧　(廣西師范大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，廣西 桂林 541004)

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兩耦合HR混沌神經(jīng)元同步研究

吳望生(長(zhǎng)江大學(xué)物理與光電工程學(xué)院，湖北 荊州 434023)

唐國(guó)寧(廣西師范大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，廣西 桂林 541004)

[摘要]基于Hindmarsh-Rose(HR)神經(jīng)元?jiǎng)恿W(xué)模型，通過(guò)數(shù)值計(jì)算耦合神經(jīng)元系統(tǒng)的同步差和峰峰間期(ISI)隨耦合強(qiáng)度的變化研究了2個(gè)耦合混沌HR神經(jīng)元在近鄰反饋耦合下的同步過(guò)程。結(jié)果表明，初態(tài)混沌的HR神經(jīng)元在耦合中存在著復(fù)雜的同步過(guò)程；伴隨耦合強(qiáng)度的增大，神經(jīng)元會(huì)交替出現(xiàn)混沌發(fā)放、周期發(fā)放等放電現(xiàn)象；在達(dá)到精確的完全同步之前，會(huì)交替出現(xiàn)簇同步、近似同步和完全同步等同步現(xiàn)象；在弱耦合條件下，神經(jīng)元會(huì)出現(xiàn)反同步和去同步。

[關(guān)鍵詞]Hindmarsh-Rose神經(jīng)元；同步；反同步

自17世紀(jì)Huygens發(fā)現(xiàn)同步現(xiàn)象[1]后的很長(zhǎng)一段時(shí)間里，有關(guān)同步的研究始終是建立在周期運(yùn)動(dòng)的基礎(chǔ)之上。20世紀(jì)90年代，Pecora和Carro[2,3]首次在實(shí)驗(yàn)室的電子線路上實(shí)現(xiàn)混沌同步，從此混沌同步研究在許多學(xué)科領(lǐng)域深入展開。特別是在神經(jīng)科學(xué)領(lǐng)域，同步成為當(dāng)前研究的熱點(diǎn)問題。生理實(shí)驗(yàn)證實(shí)，大腦中存在著神經(jīng)元系統(tǒng)的局部同步模式。1989年Gray等[4]發(fā)現(xiàn)，當(dāng)給予同一個(gè)物體的輪廓作為共同刺激時(shí)，分布在相互分離模塊的視覺皮層細(xì)胞常常會(huì)產(chǎn)生同步化放電；1997年Riehle等[5]在猴的運(yùn)動(dòng)皮質(zhì)區(qū)發(fā)現(xiàn)不同神經(jīng)元之間出現(xiàn)了峰同步，證實(shí)了大腦局部同步區(qū)的存在。結(jié)合生物神經(jīng)系統(tǒng)中發(fā)現(xiàn)的許多同步現(xiàn)象，Pouget等[6]提出神經(jīng)系統(tǒng)的大量信息是由神經(jīng)元系統(tǒng)共同處理。神經(jīng)元系統(tǒng)是一個(gè)由快慢變量組成的多尺度系統(tǒng)，慢變量是神經(jīng)元的簇行為產(chǎn)生的機(jī)制[7]，導(dǎo)致神經(jīng)元會(huì)呈現(xiàn)豐富的發(fā)放行為，形成各種周期和混沌模式，因而耦合神經(jīng)元系統(tǒng)的同步過(guò)程也非常復(fù)雜。研究表明，神經(jīng)元在達(dá)到穩(wěn)定的完全同步之前，存在著不同類型的同步過(guò)程。胡崗等[8]研究了廣義同步和相位同步之間的同步過(guò)程，指出相位同步可能優(yōu)先也可能落后于廣義同步；Dhamala等[9]發(fā)現(xiàn)耦合神經(jīng)元達(dá)到完全同步前，會(huì)出現(xiàn)神經(jīng)元簇的同步和峰的同步。目前來(lái)看，對(duì)不同類型的同步過(guò)程仍有待進(jìn)一步研究，分析耦合神經(jīng)元系統(tǒng)的復(fù)雜同步過(guò)程對(duì)理解現(xiàn)實(shí)的神經(jīng)元同步行為具有重要的指導(dǎo)意義。為此，筆者選用近鄰反饋耦合，研究了2個(gè)初態(tài)混沌的Hindmarsh-Rose(HR)神經(jīng)元的同步過(guò)程。

1動(dòng)力學(xué)模型

2個(gè)初態(tài)混沌的耦合HR神經(jīng)元的動(dòng)力學(xué)方程[10]如下：

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

其中，角標(biāo)1(或2)分別代表HR神經(jīng)元1(或2)，統(tǒng)一簡(jiǎn)寫為HR1和HR2； u代表神經(jīng)細(xì)胞的膜電位；v是神經(jīng)元內(nèi)部的快速恢復(fù)電流；w是慢變調(diào)節(jié)電流(u和v是快變量，w是慢變量，共同構(gòu)成一個(gè)雙尺度系統(tǒng))；a、b、c、d、γ、s及χ都是系統(tǒng)參數(shù)；Iext表示外界直流激勵(lì)； k是耦合強(qiáng)度。各參數(shù)取值如下：a=1，b=3，c=1，d=5，γ=0.006，s=4，χ=-1.6和Iext=3.0，去暫態(tài)后單個(gè)神經(jīng)元進(jìn)入混沌初態(tài)。

在數(shù)值模擬中，采用四階龍格庫(kù)塔法求解耦合方程組，積分步長(zhǎng)Δt=0.001。神經(jīng)元實(shí)現(xiàn)精確的完全同步需要時(shí)間依賴耦合強(qiáng)度，為保證2個(gè)神經(jīng)元基本達(dá)到同步的漸進(jìn)態(tài)，總積分時(shí)間取為10000時(shí)間單位。同時(shí)為了保證數(shù)值計(jì)算的準(zhǔn)確性，需通過(guò)消除一定時(shí)間單位的暫態(tài)過(guò)程而得到穩(wěn)態(tài)結(jié)果。筆者通過(guò)對(duì)2個(gè)神經(jīng)元賦不同的隨機(jī)初值(-0.5,0.5)，去除500時(shí)間單位的暫態(tài)，讓各神經(jīng)元單獨(dú)演化進(jìn)入混沌初態(tài)。圖1展示了去暫態(tài)時(shí)間段內(nèi)HR神經(jīng)元的動(dòng)力學(xué)行為，圖1(a)顯示暫態(tài)末期2個(gè)神經(jīng)元先后進(jìn)入混沌發(fā)放模式，圖1(b)可看出2個(gè)神經(jīng)元在(ui,wi)相平面上的軌道先后進(jìn)入混沌吸引子。

圖1　去暫態(tài)時(shí)間段內(nèi)HR神經(jīng)元的動(dòng)力學(xué)行為

為了研究2個(gè)神經(jīng)元的同步程度，將同步差ei(t)及平均同步差δi定義為：

eu(t)=|u1(t)-u2(t)|

(7)

ew(t)=|w1(t)-w2(t)|

(8)

(9)

其中，eu(t)描述快變量的空間同步程度；ew(t)描述慢變量的空間同步程度。即eu(t)描述了t時(shí)刻2個(gè)神經(jīng)元膜電位u的同步差，ew(t)描述了t時(shí)刻2個(gè)神經(jīng)元慢變調(diào)節(jié)電流w的同步差。同步差越小，表明同步程度越高。通常同步差是振蕩式下降，根據(jù)其大小，一般不容易判斷不同參數(shù)下神經(jīng)元的同步程度，所以筆者用δi描述去掉同步暫態(tài)后的一段時(shí)間內(nèi)神經(jīng)元之間的平均同步情況。不失一般性，選擇時(shí)間范圍[9000,10000]。當(dāng)δi=0時(shí)，2個(gè)神經(jīng)元實(shí)現(xiàn)精確的完全同步，然而有限的時(shí)間內(nèi)δi一般是逐步趨于零，并且快變量δu和慢變量δw的同步速率不同。筆者設(shè)定，當(dāng)快變量和慢變量均小于等于0.001時(shí)，即δi≤10-3時(shí)，則2個(gè)神經(jīng)元達(dá)到完全同步；當(dāng)快變量和慢變量其中之一小于等于0.001時(shí)，即δu≤10-3或δw≤10-3時(shí)，2個(gè)神經(jīng)元達(dá)到近似同步。

2數(shù)值模擬

采用近鄰反饋耦合，對(duì)耦合混沌的神經(jīng)元的峰峰間期(ISI)和同步差進(jìn)行數(shù)值計(jì)算。圖2給出了HR神經(jīng)元1的峰峰間期(ISI)隨耦合強(qiáng)度k變化的分岔圖，圖3給出了耦合混沌神經(jīng)元快變量的平均同步差δi隨耦合強(qiáng)度k的變化關(guān)系。由圖2和圖3可以看出，隨著耦合強(qiáng)度k的逐步增大，HR神經(jīng)元呈現(xiàn)豐富的放電活動(dòng)。隨著耦合強(qiáng)度的增加，圖2被交替分割成多個(gè)帶狀密集區(qū)和線型軌跡區(qū)，表明混沌耦合的神經(jīng)元在混沌發(fā)放和周期發(fā)放2個(gè)狀態(tài)反復(fù)切換，直至進(jìn)入混沌發(fā)放達(dá)到完全同步。

圖2　HR1的ISI隨k變化的分岔圖　　　　　　　　　　　　　　圖3　平均同步差δi隨k的變化

圖2的第1段線型軌跡區(qū)對(duì)應(yīng)耦合強(qiáng)度區(qū)間0.008≤k≤0.028，表明神經(jīng)元HR1由開始的混沌發(fā)放模式變成了規(guī)則的周期發(fā)放，神經(jīng)元HR2-ISI分岔圖在此區(qū)間也有同類現(xiàn)象，這表明耦合神經(jīng)元發(fā)生了簇同步。不失一般性，取耦合強(qiáng)度k=0.024來(lái)分析神經(jīng)元的簇同步狀態(tài)，圖4展示了2個(gè)耦合神經(jīng)元膜電位的時(shí)間歷程和在(u1,w1)和(u1,u2)平面上所對(duì)應(yīng)的相圖。結(jié)合圖4(a)和(c)可以發(fā)現(xiàn)，2個(gè)耦合神經(jīng)元的周期簇同時(shí)發(fā)生，出現(xiàn)了簇同步；而圖4(b)顯示峰錯(cuò)位和圖4(d)中相位定位在二四象限，都表明在神經(jīng)元簇里的峰是不相關(guān)的，未發(fā)生峰同步。

圖4　k=0.024時(shí)，耦合神經(jīng)元簇同步狀態(tài)的分析圖

從圖2中可以清楚的看到，當(dāng)耦合較弱且參數(shù)范圍較小時(shí)，耦合強(qiáng)度可以抑制混沌而變?yōu)橹芷诘陌l(fā)放行為。但結(jié)合圖3和圖4，雖然神經(jīng)元由于耦合強(qiáng)度增大出現(xiàn)倍周期軌道，并出現(xiàn)簇同步，但2個(gè)神經(jīng)元之間并未達(dá)到峰同步，直到k大于0.42后，2耦合神經(jīng)元才出現(xiàn)峰同步現(xiàn)象。這說(shuō)明混沌發(fā)放被抑制變?yōu)橹芷诎l(fā)放，出現(xiàn)簇同步，只是峰同步前的一個(gè)中間過(guò)程，還需要繼續(xù)增大耦合強(qiáng)度，神經(jīng)元之間才有可能出現(xiàn)峰同步，并最終達(dá)成完全同步。

隨著耦合強(qiáng)度逐步增強(qiáng)，周期發(fā)放的神經(jīng)元又進(jìn)入混沌狀態(tài)，且不同步，但當(dāng)0.151≤k≤0.180時(shí)，2個(gè)耦合神經(jīng)元隨耦合強(qiáng)度的變化交替出現(xiàn)倍周期軌道、混沌軌道，不同步和反同步等復(fù)雜的過(guò)渡模式。具體來(lái)說(shuō)，當(dāng)0.151≤k≤0.157時(shí)，神經(jīng)元會(huì)出現(xiàn)周期8的倍周期軌道，且出現(xiàn)反相的周期性同步狀態(tài)。下面，取k=0.151來(lái)分析倍周期和反同步現(xiàn)象(見圖5)。

圖5　k=0.151時(shí)，耦合神經(jīng)元反同步狀態(tài)的分析圖

從圖5(a)中可以看到，耦合神經(jīng)元HR1出現(xiàn)了周期8的倍周期軌道，比圖4(c)中周期數(shù)增加了，雖然從混沌軌道變成了周期軌道，但2個(gè)耦合神經(jīng)元并未出現(xiàn)如圖4(a)和(b)所示的簇同步，而是出現(xiàn)了反同步狀態(tài)；從圖5(b～d)中可以清楚看到神經(jīng)元3個(gè)快慢變量均處于反相的周期性同步狀態(tài)。經(jīng)過(guò)分析，反同步所對(duì)應(yīng)的平均同步差δi均出現(xiàn)較大的變化，如膜電位同步差δu>1就會(huì)出現(xiàn)反同步，這正好解釋了圖3在0.151≤k≤0.180區(qū)間內(nèi)出現(xiàn)的突然增大的同步差峰包，其δu值均大于1，說(shuō)明在峰包對(duì)應(yīng)的耦合強(qiáng)度范圍內(nèi)，神經(jīng)元出現(xiàn)了反相的周期性同步。

當(dāng)耦合強(qiáng)度離開這個(gè)反同步區(qū)，神經(jīng)元的反同步被破壞，神經(jīng)元重新由周期軌道進(jìn)入混沌軌道，直到耦合強(qiáng)度k≥0.422時(shí)，2個(gè)混沌耦合神經(jīng)元又出現(xiàn)近似同步。隨著耦合強(qiáng)度的的進(jìn)一步增加，當(dāng)耦合強(qiáng)度位于0.422≤k≤0.434時(shí)，耦合神經(jīng)元在這個(gè)區(qū)間存在著復(fù)雜的過(guò)渡模式。

圖6　對(duì)數(shù)化后平均同步差δi隨k的變化

具體的表現(xiàn)行為通過(guò)圖6可以分析清楚。將同步差δi對(duì)數(shù)化后可清晰看出，隨著耦合強(qiáng)度的增加，同步差震蕩式下降直至為0。藍(lán)色虛線表示δi=10-3，為完全同步分界線，線下為完全同步區(qū)。在δi與藍(lán)色虛線交界處，即耦合強(qiáng)度位于0.422≤k≤0.434時(shí)，有時(shí)δu<10-3而δw>10-3或δu>10-3而δw<10-3，說(shuō)明出現(xiàn)了近似同步；有時(shí)快慢變量的同步平均差均小于0.001，即δi<10-3，發(fā)生了完全同步。上述情況表明，耦合強(qiáng)度較大時(shí)，神經(jīng)元在完全同步之前，即可能出現(xiàn)峰同步(即近似同步)，也可能出現(xiàn)簇和峰均同步(即完全同步)，而且上述同步現(xiàn)象隨耦合強(qiáng)度的變化而交替出現(xiàn)，表明耦合混沌神經(jīng)元同步之前的過(guò)渡狀態(tài)中包含著復(fù)雜的放電信息。

為了進(jìn)一步分析這些復(fù)雜的同步過(guò)程，考察完全同步和近似同步的不同之處，圖7在不同的耦合強(qiáng)度下研究神經(jīng)元快慢變量的各種相圖，其中黑色軌跡對(duì)應(yīng)k=0.423，紅色軌跡對(duì)應(yīng)k=0.433。圖7(a)和(b)顯示，黑色軌跡的相位與一三象限角平分線完全重合，表明k=0.423時(shí)，神經(jīng)元出現(xiàn)了完全同步。紅色軌跡的相位則定位在一三象限角平分線附近的小鄰域內(nèi)，這表明k=0.433時(shí)，神經(jīng)元產(chǎn)生了近似同步且處于混沌狀態(tài)。需要說(shuō)明的是，在耦合強(qiáng)度0.422≤k≤0.434的這個(gè)區(qū)間內(nèi)，沒有發(fā)現(xiàn)之前弱耦合狀態(tài)下，神經(jīng)元的峰不同步而簇同步的周期放電現(xiàn)象，神經(jīng)元不論同步與否，均處于混沌放電狀態(tài)。

圖7　神經(jīng)元在不同耦合強(qiáng)度下的平面相圖

從圖3和圖6中2條曲線完全歸零的位置可查出，當(dāng)耦合強(qiáng)度k≥0.474時(shí)，平均同步差δi=0，這時(shí)2個(gè)耦合神經(jīng)元達(dá)到了完全的峰同步和簇同步。圖8顯示，當(dāng)k=0.474時(shí)，2個(gè)耦合神經(jīng)元的混沌放電時(shí)間歷程圖8(a)和混沌吸引子圖8(b)完全重合，表明神經(jīng)元達(dá)成完全同步后仍然保持了穩(wěn)定的混沌狀態(tài)，結(jié)合圖1說(shuō)明初態(tài)隨機(jī)的2個(gè)混沌神經(jīng)元通過(guò)近鄰反饋耦合達(dá)成了精確的完全同步。

圖8　k=0.474時(shí)，耦合神經(jīng)元完全同步狀態(tài)的分析圖

3同步過(guò)程分析

HR神經(jīng)元是一個(gè)具有快慢變量的雙尺度系統(tǒng)，其中快變量產(chǎn)生了神經(jīng)元的峰，慢變量導(dǎo)致了神經(jīng)元的簇的形成，在不同的參數(shù)條件下，呈現(xiàn)出豐富的動(dòng)力學(xué)行為，如峰峰間期分岔、混沌吸引子等。下面，筆者來(lái)比較不同耦合條件下神經(jīng)元在(u,w)相平面上的吸引子變化情況。

圖1(b)顯示了未耦合狀態(tài)下，神經(jīng)元的混沌吸引子；圖4(c)展示耦合強(qiáng)度k=0.024時(shí)，神經(jīng)元HR1的周期5軌道；圖5展現(xiàn)了k=0.151時(shí)，神經(jīng)元HR1的周期8軌道；圖8則表明神經(jīng)元達(dá)到精確同步后仍然處于混沌吸引子中。隨著耦合強(qiáng)度的逐步增大，耦合神經(jīng)元吸引子軌道由混沌先后過(guò)渡到周期5、周期8，然后又進(jìn)入混沌狀態(tài)，直至以混沌狀態(tài)進(jìn)入精確的完全同步。

對(duì)于這種吸引子變化的原因可以用文獻(xiàn)[11]中耦合的Lorenz系統(tǒng)的動(dòng)力變化的解釋：在弱耦合的情況下，混沌的耦合破壞了原來(lái)Lorenz系統(tǒng)雙圈吸引子來(lái)回切換所遵循的一致性，結(jié)果造成原來(lái)吸引子的破壞而產(chǎn)生了新的更復(fù)雜的吸引子。上述解釋對(duì)于Lorenz系統(tǒng)是成立的，對(duì)同樣具有多圈吸引子的其他耦合系統(tǒng)也是成立的，因此在筆者所研究的HR神經(jīng)元模型中，神經(jīng)元在給定的初始參數(shù)下呈現(xiàn)了如圖1(b)所示的多圈混沌吸引子，隨著耦合強(qiáng)度的增加，混沌軌道被耦合破壞而進(jìn)入倍周期軌道(見圖4(c)和圖5(a))，繼續(xù)增大耦合強(qiáng)度，神經(jīng)元又脫離周期軌道而進(jìn)入混沌，直至最終達(dá)成精確的完全同步仍然保持混沌狀態(tài)。

耦合的多尺度系統(tǒng)的混沌同步與快慢子系統(tǒng)的動(dòng)力行為是緊密相關(guān)的，耦合神經(jīng)元達(dá)到完全同步前，會(huì)出現(xiàn)神經(jīng)元簇的同步和峰的同步[9]。筆者研究發(fā)現(xiàn)，耦合混沌的HR神經(jīng)元隨著耦合強(qiáng)度的增加，會(huì)在弱耦合區(qū)間出現(xiàn)簇同步，即慢變量的同步(見圖4(a)和(b))，慢變量的同步隨耦合強(qiáng)度繼續(xù)增加而被破壞，直至耦合強(qiáng)度大到能使神經(jīng)元出現(xiàn)峰的同步和簇的同步，即完全同步，意味著快慢變量都達(dá)到同步。因此，2個(gè)耦合混沌的HR神經(jīng)元采用近鄰反饋耦合，隨著耦合強(qiáng)度的增加，會(huì)先后出現(xiàn)簇同步、峰同步直至完全同步。耦合強(qiáng)度的增加除了可以改變神經(jīng)元的吸引子，還可以影響神經(jīng)元的放電節(jié)律形成反同步。如圖5所示，當(dāng)在某些耦合強(qiáng)度區(qū)間內(nèi)出現(xiàn)周期性吸引子時(shí)，2個(gè)神經(jīng)元的快慢變量如膜電位和慢電流會(huì)出現(xiàn)反相的周期性同步，事實(shí)上在這個(gè)區(qū)間附近，2個(gè)耦合神經(jīng)元隨耦合強(qiáng)度的變化交替出現(xiàn)倍周期軌道、混沌軌道，不同步和反同步等復(fù)雜的過(guò)渡模式。

4結(jié)論

研究了采用近鄰反饋耦合2個(gè)混沌HR神經(jīng)元的同步問題。在數(shù)值模擬中，采用四階龍格庫(kù)塔法求解耦合方程組，通過(guò)計(jì)算耦合神經(jīng)元系統(tǒng)的同步差和峰峰間期隨耦合強(qiáng)度的變化，發(fā)現(xiàn)在耦合混沌的HR神經(jīng)元模型中，存在著復(fù)雜的同步過(guò)程。

1)隨著耦合強(qiáng)度的增大，神經(jīng)元的吸引子會(huì)被改變，會(huì)交替出現(xiàn)混沌發(fā)放、周期發(fā)放等放電現(xiàn)象，表明混沌軌道被耦合破壞而進(jìn)入倍周期軌道，繼續(xù)增大耦合強(qiáng)度，神經(jīng)元又脫離周期軌道而進(jìn)入混沌，直至最終達(dá)成精確的完全同步仍然保持混沌狀態(tài)。

2)在達(dá)到精確的完全同步之前，隨著耦合強(qiáng)度的增大，神經(jīng)元會(huì)交替出現(xiàn)混沌發(fā)放、周期發(fā)放等放電現(xiàn)象，神經(jīng)元系統(tǒng)會(huì)依次出現(xiàn)神經(jīng)元簇的同步、峰的同步，最終達(dá)成完全同步。

3)耦合強(qiáng)度的增加除了可以改變神經(jīng)元的吸引子，影響神經(jīng)元的放電節(jié)律，甚至在某些弱耦合區(qū)間，會(huì)導(dǎo)致神經(jīng)元系統(tǒng)出現(xiàn)反相的周期性同步，抑制同步的發(fā)生。

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[編輯]張濤

[文獻(xiàn)標(biāo)志碼]A

[文章編號(hào)]1673-1409(2016)07-0022-06

[中圖分類號(hào)]O415.5

[作者簡(jiǎn)介]吳望生(1979-)，男，碩士，講師，現(xiàn)主要從事統(tǒng)計(jì)物理方面的教學(xué)與研究工作；E-mail:wshwu@yangtzeu.edu.cn。

[基金項(xiàng)目]國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11165004)。

[收稿日期]2015-11-27

[引著格式]吳望生，唐國(guó)寧.兩耦合HR混沌神經(jīng)元同步研究[J].長(zhǎng)江大學(xué)學(xué)報(bào)(自科版)，2016,13(7)：22～27.