章輝梁，高宗升　(北京航空航天大學(xué)數(shù)學(xué)、信息與行為教育部重點實驗室，北京 100191)

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有限增長級條件下超越整函數(shù)和亞純函數(shù)的一階差分方程的零點和不動點研究

章輝梁，高宗升(北京航空航天大學(xué)數(shù)學(xué)、信息與行為教育部重點實驗室，北京 100191)

[摘要]對超越整函數(shù)和亞純函數(shù)一階差分方程的零點和不動點的研究，很多的研究結(jié)果都是基于函數(shù)的增長級σ(f)≤1，而在有限增長級1<σ(f)<∞的情況下，研究結(jié)果則相對較少。利用Nevanlinna的基本理論和方法，探討了在有限增長級的條件下，超越整函數(shù)和亞純函數(shù)一階差分方程零點和不動點的存在性。首先，結(jié)合Hadmard因子分解定理研究了在一定的條件下超越整函數(shù)的一階差分方程零點和不動點的存在性，證明了其有無窮多個零點和無窮多個不動點。其次，把對超越整函數(shù)的零點和不動點的存在性研究，推廣到了亞純函數(shù)，繼續(xù)探討了亞純函數(shù)在有限增長級條件下零點和不動點的情況，得出了相應(yīng)的結(jié)論。

[關(guān)鍵詞]一階差分；零點；不動點

亞純函數(shù)Nevanlinna理論的一些基本概念和標(biāo)準(zhǔn)記號見文獻[1～3]，用T(r,f)表示復(fù)平面上亞純函數(shù)f的特征函數(shù)，用σ(f)表示f(z)的增長級，用λ(f)表示f(z)的零點收斂指數(shù)。差分算子Δf的具體定義[4]如下：

Δf(z)=f(z+1)-f(z)

Δn+1f(z)=Δnf(z+1)-Δnf(z)n=0,1,2,…

定理B設(shè)f(z)是超越亞純函數(shù)，下級u(f)<1，設(shè)c∈C/{0}使得f(z)最多只有有限多個極點zj,zk滿足zj-zk=c，則h(z)=f(z+c)-f(z)有無窮多個零點。

陳宗煊在文獻[6]中推廣了Bergweiler和Langley的結(jié)果，得到了如下的定理。

定理C設(shè)f(z)為超越整函數(shù)，增長級σ(f)=σ<1，設(shè)c∈C/{0}，H={zj}是由f(z)的所有不同零點構(gòu)成的集合，且H滿足下面2個條件中的任意一個：

(i)至多存在有限多個零點zj,zk滿足zj-zk=c；

在文獻[7]中，崔魏魏、楊連忠研究了在σ(f)=σ=1等相關(guān)條件下，亞純函數(shù)的零點和不動點的情況，得到了如下的定理：

定理Df(z)是復(fù)平面上的超越亞純函數(shù)，增長級σ(f)=σ=1。如果f(z)具有有限多個極點和無窮多個零點，且零點收斂指數(shù)λ(f)<1，則g(z)=f(z+1)-f(z)有無窮多個零點和不動點。

上述的定理A～E對整函數(shù)、亞純函數(shù)零點和不動點存在性的研究，都要求σ(f)=σ≤1。很自然地想到：如果函數(shù)的增長級滿足1<σ(f)<∞，那么其零點和不動點是否存在？下面，筆者研究了在有限增長級1<σ(f)<∞的情況下，整函數(shù)、亞純函數(shù)的零點和不動點存在性。

1引理

引理1如果p(z)是一個degp(z)≥1的多項式函數(shù)，且存在某一復(fù)常數(shù)A使得：

p(z+c)-p(z)=A

其中c≠0。那么一定有degp(z)=1。

證明不妨設(shè)多項式p(z)，其次數(shù)為n(n≥2)，存在某一復(fù)常數(shù)A使得：

p(z+c)-p(z)=A(c≠0)

可設(shè)：

p(z)=anzn+an-1zn-1+…+a0n≥2

其中an,an-1,…,a0是該多項式的復(fù)系數(shù)，并且an≠0，因此有：

p(z+c)=an(z+c)n+an-1(z+c)n-1+…+a0

引理2[8]設(shè)fj(z)(j=1,…,n)(n≥2)是亞純函數(shù)，gj(z)(j=1,…,n)都是整函數(shù)，且滿足下面3個條件：

(ii)當(dāng)1≤j

(iii)當(dāng)1≤j≤n，1≤h

則：

fj(z)≡0(j=1,…,n)

2超越整函數(shù)的零點和不動點

定理1設(shè)f(z)為超越整函數(shù)，增長級1<σ(f)<∞，f(z)有無窮多個零點且零點收斂指數(shù)λ(f)=λ<1，則g(z)=f(z+1)-f(z)有無窮多個零點和無窮多個不動點。

證明先證g(z)有無窮多個不動點。根據(jù)Hadmard因子分解定理，可得：

f(z)=h(z)ep(z)

(1)

其中,h(z)是由f(z)的零點構(gòu)成的典型乘積，且σ(h)=λ(h)=λ(f)<1；p(z)是個degp(z)>1的多項式。

構(gòu)造函數(shù)：

g*(z)=f(z+1)-f(z)-z

因此只須證明g*(z)有無窮多個零點。假設(shè)g*(z)只有有限多個零點，由Hadmard因子分解定理，可得：

g*(z)=g(z)-z=h*(z)ep*(z)

(2)

其中,h*(z)是由g*(z)的零點構(gòu)成的典型乘積，且σ(h*)=λ(h*)<1；p*(z)是個degp(z)≥2的多項式。

結(jié)合式(1)與式(2)，有:

h(z+1)ep(z+1)-h(z)ep(z)-h*(z)ep*(z)-z≡0

(3)

接下來驗證式(3)滿足引理2的相關(guān)條件。若p(z+1),p(z),p*(z)兩兩相減都不等于常數(shù)，由于max{σ(h),σ(h*)}<1，因此式(3)顯然是滿足引理2的，因此可得h*(z)≡0，顯然矛盾。

若p(z+1),p(z),p*(z)兩兩相減存在等于常數(shù)的情形，分以下3種情況證明式(3)滿足引理2的相關(guān)條件。

第1種情況：假設(shè)p(z+1)-p(z)≡A1,A1為常數(shù)。根據(jù)引理1可得：

p(z)=az+d

(4)

其中,a,d為常數(shù)且a≠0。

將式(4)代入式(3)，可得:

h(z+1)eaz+a+d-h(z)eaz+d-h*(z)ep*(z)-z≡0

[h(z+1)ea-h(z)]eaz+d-h*(z)ep*(z)≡0

(5)

這顯然與eaz+d的超越性相矛盾。

第2種情況：假設(shè)p(z+1)-p*(z)≡A2,A2為常數(shù)。根據(jù)式(3)，可得：

[h(z+1)eA2-h*(z)]ep*(z)-h(z)ep(z)-z≡0

(6)

第3種情況：p(z)-p*(z)≡A3，A3是常數(shù)，同樣根據(jù)第1種情況類似的證法，可以得出矛盾。

根據(jù)以上的3種情況，可得式(3)滿足引理2的條件，因此可得h(z)≡0，矛盾，所以g(z)有無窮多個不動點。對于證明g(z)有無窮多個零點，可采用完全類似的方法進行證明。

3超越亞純函數(shù)的零點和不動點

證明先證g(z)有無窮多個不動點。根據(jù)Hadmard因子分解定理，可得：

(7)

其中，Q(z)是個degQ(z)>1的多項式；h(z),S(z)分別是由f(z)的零點和極點所構(gòu)成的典型乘積，且滿足：

λ(h)=σ(h)<1

λ(S)=σ(S)<1

構(gòu)造函數(shù)：

g*(z)=f(z+1)-f(z)-z

(8)

因此只須證明g*(z)有無窮多個零點。

結(jié)合式(7)與式(8)可得：

g*(z)=h(z+1)S(z+1)eQ(z+1)-h(z)S(z)eQ(z)-z

(9)

假設(shè)g*(z)只有有限多個零點，根據(jù)Hadmard分解定理，可得：

(10)

其中，Q*(z)為多項式；h*(z),S*(z)都是整函數(shù)，且滿足λ(h*)=σ(h*)<1。

根據(jù)式(10)可知，S*(z)至多是以S(z)S(z+1)的極點所構(gòu)成的典型乘積，因此可得λ(S*)=σ(S*)<1。

結(jié)合式(9)與式(10)可得：

H1(z)eQ(z+1)-H2(z)eQ(z)-H3(z)eQ*(z)-H4(z)≡0

(11)

其中，H1(z)=S*(z)S(z)h(z+1)；H2(z)=S*(z)S(z+1)h(z)；H3(z)=S(z+1)S(z)h*(z)；H4(z)=zS(z+1)S(z)S*(z)；且函數(shù)Hi(z)(i=1,2,3,4)都是整函數(shù)。

由：

λ(h)=σ(h)<1

λ(S)=σ(S)<1

λ(S*)=σ(S*)<1

可知：

σ(Hi)<1(i=1,2,3,4)

利用與定理1類似的證明方法，可證式(11)也滿足引理2的相關(guān)條件，因此可以得到S(z)≡0或S*(z)≡0。顯然矛盾，因此g(z)有無窮多個不動點。同理可證g(z)有無窮多個零點。

4結(jié)語

從定理1、定理2中可以看出，其對整函數(shù)、亞純函數(shù)差分函數(shù)零點和不動點存在性的研究，是基于函數(shù)的增長級1<σ(f)<∞，這一定程度上推廣了前人的結(jié)果。

[參考文獻]

[1]LaineI.Nevanlinnatheoryandcomplexdifferentialequations[M].Berlin：WdeGruyter, 1993.

[2]HaymanWK.Meromorphicfunctions[M].Oxford：ClarendonPress, 1964.

[3]YangL.Valuedistributiontheoryandnewresearch(inChinese) [M].Beijing:SciencePress, 1982.

[4]WhittakerJM.Interpolatoryfunctionstheory[M].Cambridge：CambridgeUniversityPress, 1935.

[5]BergweilerW,LangleyJK.Zerosofdifferenceofmeromorphicfunctions[J].MathProcCambPhilSoc, 2007, 142: 133～147.

[6]ChenZX,ShonKH.Onzerosandfixedpointsofdifferencesofmeromorphicfunctions[J].JMathAnalAppl, 2008,344:373～383.

[7]CuiWeiwei,YangLianzhong.Zerosandfixedpointsofdifferenceoperatorsofmeromorphicfunctions[J].ActaMathematicaScientia, 2013, 33B(3):773～780.

[8] 儀洪勛，楊重駿.亞純函數(shù)唯一性理論[M].北京:科學(xué)出版社,1995.

[編輯]張濤

[文獻標(biāo)志碼]A

[文章編號]1673-1409(2016)04-0010-04

[中圖分類號]O174.5

[作者簡介]章輝梁(1990-)，男，碩士生，現(xiàn)主要從事復(fù)分析及其應(yīng)用方面的研究工作；E-mail：huiliangzhang_buaa@163.com。

[基金項目]國家自然科學(xué)基金項目(11371225)。

[收稿日期]2015-10-20

[引著格式]章輝梁，高宗升.有限增長級條件下超越整函數(shù)和亞純函數(shù)的一階差分方程的零點和不動點研究[J].長江大學(xué)學(xué)報(自科版)，2016,13(4)：10～13.