劉亞萍

【摘 要】 利用輔助圓解決角的大小問題在數(shù)學(xué)中是一個(gè)常見問題.在遇到具有綜合性以及技巧性且其隱蔽性較強(qiáng)的角的大小問題時(shí)，若能結(jié)合題目的本質(zhì)特征，進(jìn)而聯(lián)想到圓的相關(guān)知識，并且對輔助圓進(jìn)行恰當(dāng)構(gòu)造，總可以讓這一些問題由難變易，由繁到簡。利用輔助角有利于對這類問題實(shí)現(xiàn)有針對性地解決，找到解題捷徑。

【關(guān)鍵詞】 輔助圓；圓周角；直徑；方程；鈍角

【中圖分類號】G633.2 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】B 【文章編號】2095-3089（2016）07-0-01

縱觀全國各地中考壓軸題，角的大小問題具有舉足輕重的地位。對于某些綜合性、技巧性、隱蔽性較強(qiáng)的角的大小問題，許多學(xué)生往往感到無處下手。在遇到這些題時(shí)，需要對輔助圓作恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造。而對輔助圓的構(gòu)造需要聯(lián)想到圓的有關(guān)知識。為了實(shí)現(xiàn)這個(gè)目標(biāo)，需要結(jié)合題目的本質(zhì)特征，進(jìn)而找到解題捷徑。利用輔助圓的構(gòu)造，就可以實(shí)現(xiàn)化繁為簡，化難為易，下面筆者就以一些具體實(shí)例加以說明。

一、利用圓周角定理

對于一些角的大小問題，能利用圓周角定理。利用同弧或等弧所對的圓周角相等這個(gè)特點(diǎn)，則可以另辟蹊徑。

例1 （本題為2014·晉江市二模題一，有改動）已知拋物線y=a（x﹣2）2+1。該拋物線從左到右依次與x軸交于A、B兩點(diǎn)，并與y相交于點(diǎn)C。（如圖1）點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），連接AC、BC。

（1）求此拋物線的解析式；

（2）若P為此拋物線的對稱軸上的一個(gè)動點(diǎn)，那么，設(shè)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為m。

求：在P點(diǎn)的運(yùn)動過程中，∠APB能否與∠ACB相等？

如果能，那么請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不能，請解釋說明。

分析與簡解：定線段與動點(diǎn)的張角問題可考慮添加輔助圓，利用同弧所對的圓周角相等?？梢韵仍O(shè)直線x=2與x軸相交于點(diǎn)D。然后作△ABC的外接圓⊙E與直線x=2位于x軸下方的部分的交點(diǎn)為P1。再做P1關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)P2，那么P1、P2就是所需求的點(diǎn)。在Rt△ADE中，由勾股定理得EA的長，可得P1（2，﹣2﹣）。由對稱性得P2（2，2+）。

（1）拋物線的解析式為：y=﹣（x﹣2）2+1=﹣x2+4x﹣3；

（2）如圖2，設(shè)直線x=2與x軸的交點(diǎn)為點(diǎn)D，作△ABC的外接圓⊙E與直線x=2位于x軸下方的部分的交點(diǎn)為P1，P1關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為P2，則P1、P2均為所求的點(diǎn)。

∵圓心E必在AB邊的垂直平分線即直線x=2上。

∴點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為2。

又∵OB=OC=3，

∴E（2，﹣2）。

在Rt△ADE中，由DE=2，

則AD=AB=（OB﹣OA）=（3﹣1）=1

由勾股定理得EA===，

∴EP1=EA=，

∴DP1=DE+EP1=2+，

∴P1（2，﹣2﹣）。

由對稱性得P2（2，2+）。

∴可得結(jié)論：符合題意的點(diǎn)P的坐標(biāo)分別為：P1（2，﹣2﹣）、P2（2，2+）。

二、利用圓心角、圓周角、圓外角的關(guān)系

解題時(shí)若能另辟蹊徑應(yīng)用圓心角、圓周角、圓外角的關(guān)系，常常能夠化繁為簡，達(dá)到快速解題的目的。

例2 （2014·淄博改動）在直角坐標(biāo)系內(nèi)有一個(gè)動點(diǎn)P，A點(diǎn)與B點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（1，0），（5，0）。問：當(dāng)點(diǎn)P沿y坐標(biāo)軸移動時(shí)，∠APB是否有最大值？如果有，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)。同時(shí)，請說明此時(shí)∠APB最大的理由；如果沒有，請說明沒有的理由。

理由：易證：∠APB=∠AEH，當(dāng)∠APB最大時(shí)，∠AEH最大。由sin∠AEH=得：當(dāng)AE最小即PE最小時(shí)，∠AEH最大。所以當(dāng)圓與y軸相切時(shí)，∠APB最大。

①當(dāng)點(diǎn)P在y軸的正半軸上時(shí)，

∵⊙E和y軸相切于點(diǎn)P上，

∴PE⊥OP。

∵EH⊥AB，OP⊥OH，

∴∠EPO=∠POH=∠EHO=90°。

∴四邊形OPEH是矩形。

∴OP=EH，PE=OH=3。 ∴EA=3。

∵∠EHA=90°，AH=2，EA=3，∴EH===

∴OP=∴P（0，）。

②當(dāng)點(diǎn)P在y軸的負(fù)半軸上時(shí)，

同理可得：P（0，﹣）。

連接NA（如圖3）。

∵∠ANB是△AMN的外角

∴∠ANB>∠AMB

∵∠APB=∠ANB，∴∠APB>∠AMB。

若點(diǎn)P在y軸的負(fù)半軸上，

可得結(jié)論：點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，）和（0，﹣）。

三、利用圓90的圓周角

由圓周角定理的推論知：90的圓周角所對的弦是直徑，從而使問題轉(zhuǎn)化為與直角三角形的外接圓相關(guān)問題求解。

例3 （本題來自2014·南寧，有改動）如圖4，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x2+（k﹣1）x﹣k（k>0）與直線y=kx+1交于兩點(diǎn)A、B，點(diǎn)B點(diǎn)在A點(diǎn)的右側(cè)，同時(shí)和x軸相交于兩點(diǎn)C、D（點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè)），在直線y=kx+1上是否只存在一點(diǎn)Q，可以使∠OQC=90°？如果存在，那么請求出k的值；如果不存在，請說明理由。

解：由，得C、D（1，0）。

設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（m，km+1）。

如圖5，作QM⊥y軸于Q，作CN⊥QM于N。

當(dāng)∠OQC=90°時(shí)，△QMO∽△CNQ。

所以。因此。

整理成關(guān)于m的方程，得。

如果只存在一點(diǎn)Q，可以使∠OQC=90°，那么關(guān)于m的方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根。

所以。解得。

四、利用圓的有關(guān)角的一些特殊關(guān)系

由圓周角定理推論可知，直徑（或半圓）所對應(yīng)的圓周角是直角。同時(shí)，直徑的兩個(gè)端點(diǎn)和圓內(nèi)任意一點(diǎn)所圍成的三角形是鈍角三角形，這一結(jié)論往往對解決有關(guān)角的大小問題具有很好的效果。

例4 （2014·廣州，經(jīng)改動）已知A（﹣1，0）與B（4，0）是平面直角坐標(biāo)系中兩個(gè)定點(diǎn)。有拋物線y=ax2+bx﹣2（a≠0），點(diǎn)P（m，n）（n<0）為拋物線上一點(diǎn)。拋物線經(jīng)過點(diǎn)A與B，其頂點(diǎn)為C。

（1）請求出該頂點(diǎn)C的坐標(biāo)和拋物線的解析式

（2）求當(dāng)m的取值范圍為多少時(shí)，∠APB為鈍角。

解：（1）拋物線的解析式為：y=x2﹣x﹣2；C（，﹣）.

（2）如圖6，以AB為直徑作圓M，則拋物線在圓內(nèi)的部分，

∵P′是拋物線與y軸的交點(diǎn)，∴OP′=2，

∴MP′==，∴P′在⊙M上，∴P′的對稱點(diǎn)（3，﹣2），

∴當(dāng)﹣1

幾何命題證明的魅力就在于其獨(dú)特靈活的技巧以及多樣的策略。而選擇利用輔助圓解決角的大小問題更使幾何證明題有著別樣的趣味，獨(dú)特的方法使人深受啟發(fā)。若能合理地運(yùn)用構(gòu)造輔助圓解決角的大小問題，不但可以使問題變得簡明，而且對進(jìn)一步認(rèn)識數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在規(guī)律和聯(lián)系、提高綜合運(yùn)用知識的能力、培養(yǎng)創(chuàng)造性思維能力大有裨益。