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歸還權(quán)利，創(chuàng)造空間
——數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思級的探索與實(shí)踐

◇安徽吳亞零

《考試大綱》中指出:“數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂、是學(xué)生形成良好認(rèn)知結(jié)構(gòu)的紐帶、是知識轉(zhuǎn)化為能力的橋梁、是培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)觀念和創(chuàng)新思想的載體,在教學(xué)中我們應(yīng)重視數(shù)學(xué)思想方法的滲透教學(xué)．”從近幾年高考數(shù)學(xué)試題看,多數(shù)題目偏重于運(yùn)用數(shù)學(xué)思維解決新問題,“思維容量大”,使得忽視思維訓(xùn)練的學(xué)生得不到高分．因此,數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練應(yīng)當(dāng)引起重視．

本文從數(shù)學(xué)解題的3個過程(審題、確定解題方法和思想、了解知識點(diǎn)考查的“陷阱點(diǎn)”)出發(fā),闡述如何培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維．

1審題之初:注重“問題導(dǎo)向”構(gòu)建數(shù)學(xué)思維

所謂審題,就是弄清楚題目內(nèi)涵,找已知和未知的關(guān)系,并用數(shù)學(xué)符號表示出來．和審題密切相關(guān)的是“問題表現(xiàn)”,即通過審題認(rèn)識和了解問題的結(jié)構(gòu),激活與之相關(guān)的知識經(jīng)驗(yàn),形成對所要解決問題的一種完整印象．如“二元一次不等式組”的應(yīng)用.

故在“二元一次不等式組”新授課時應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生探究“線性規(guī)劃”知識可用于解決的問題類型,激發(fā)學(xué)習(xí)興趣．

2解題之中:留足“思考空間”激發(fā)數(shù)學(xué)思維

有的學(xué)生只會做講過的題,不會思考新題,缺乏獨(dú)立解決問題的能力．課堂教學(xué)時應(yīng)多讓學(xué)生講,讓學(xué)生思考,留給學(xué)生空間．

學(xué)生利用函數(shù)y=2x與y=lnx在(0,+∞)上無交點(diǎn),得出“當(dāng)a>1時函數(shù)y=ax與函數(shù)y=logax在(0,+∞)上都無交點(diǎn)”.筆者并未指出錯誤,而讓同學(xué)們在同一個直角坐標(biāo)系中畫出2個函數(shù)圖象.有的同學(xué)結(jié)論是沒交點(diǎn),有的是1個、有的是2個．同學(xué)們發(fā)現(xiàn)結(jié)論不全面．

其中一位同學(xué)認(rèn)為結(jié)果可能相交,也可能無交點(diǎn),與底數(shù)a有關(guān)．可利用函數(shù)f(x)=ax-logax在(0,+∞)的零點(diǎn)個數(shù)來確定a的范圍．

筆者肯定了他的結(jié)論,又引導(dǎo)他思考y=ax與y=logax互為反函數(shù),于是又有學(xué)生指出判斷函數(shù)f(x)=ax-x在(0,+∞)上的零點(diǎn)個數(shù)即可,y=ax與y=logax是互為反函數(shù),圖象關(guān)于y=x對稱．

學(xué)生解題過程如下.

當(dāng)10. 所以f(x)在(0,x0)遞減，在(x0,+∞)遞增，所以

f(x)≥f(x0)=ax0-x0=logae-loga(logae).

這節(jié)課強(qiáng)調(diào)學(xué)生思考,比直接讓學(xué)生判斷零點(diǎn)個數(shù)有效．

復(fù)習(xí)課注重問題設(shè)計(jì),一般分為基礎(chǔ)題和綜合題．設(shè)計(jì)基礎(chǔ)題時要注意以下幾點(diǎn).

1) 覆蓋課本上最重要和基本知識.

2) 有利于提煉思想方法及檢查學(xué)生的概括和應(yīng)變能力.

3) 問題的設(shè)計(jì)要新穎,要按邏輯順序編排、由淺入深．盡量設(shè)計(jì)具有現(xiàn)實(shí)意義的問題,能運(yùn)用一定的思想方法解決的問題．

求參變量的取值范圍．適合采用變式教學(xué),因?yàn)楫?dāng)學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知失衡導(dǎo)致緊張感后,為了消除緊張,就會產(chǎn)生認(rèn)知需要,萌發(fā)探索未知的強(qiáng)烈愿望．

分析理解任意和存在這2個邏輯連詞,得出題意是求gmin(x2)≤fmin(x1)+7/2．

變式1若存在x1∈[-1,1],x2∈[1,e],使得g(x2)≤f(x1)+7/2,求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

(gmin(x2)≤fmax(x1)+7/2).

學(xué)生嘗試編寫如下變式:

變式2若對任意的x1∈(-1,1], 存在x2∈[1,e],使得g(x2)

(gmin(x2)

變式3若對任意x1∈[-1,1], 存在x2∈[1,e],使得g(x2)=f(x1)+7/2,求實(shí)數(shù)a的取值范圍．(Af?Bg(其中Af與Bg分別為f(x)和g(x)的值域))

變式4對任意x∈[1,e],使得g(x)≤f(x)+7/2,求實(shí)數(shù)a的取值范圍．(分離參數(shù)法)

同學(xué)們通過自己變題并解決問題，并加深了對“求參變量的取值范圍問題”的理解．

3發(fā)現(xiàn)“陷阱點(diǎn)”增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維

高三一輪復(fù)習(xí)重點(diǎn)是夯實(shí)基礎(chǔ),防止解題失誤．學(xué)生考試后常感覺題目都做了,得分卻不理想．原因是不清楚命題者的用意．這就要求學(xué)生扎實(shí)基礎(chǔ)知識,深入理解概念,教師應(yīng)在上新課時設(shè)計(jì)好問題串,幫助學(xué)生深入理解和掌握所學(xué)內(nèi)容．

例如:“函數(shù)的極值”概念的理解.

問題1f(x)=x3在區(qū)間(-∞,+∞)上有極大值與極小值嗎?

(驗(yàn)證導(dǎo)函數(shù)等于零的根與存在極值點(diǎn)之間的邏輯關(guān)系.)

(驗(yàn)證極大值是否一定大于極小值.)

問題3求f(x)=x3-2x2+x在區(qū)間[-1,1]上的極值．

(驗(yàn)證區(qū)間的端點(diǎn)是否可以為極值點(diǎn).)

問題4如果函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4),求f(x)極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)．

(驗(yàn)證極大值與極小值的個數(shù)是否唯一.)

“問題式”概念的理解效果遠(yuǎn)大于“說教式”,對概念的詮釋更深刻．也為高三復(fù)習(xí)做好了鋪墊,再復(fù)習(xí)這個知識點(diǎn)時學(xué)生能有的放矢,了解題目的“陷阱”,減少易錯點(diǎn)．

(作者單位：安徽合肥市第六中學(xué))

筆者給出以下變式: