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深化知識理解完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)
——一道試題的錯解分析及其教學(xué)啟示

劉永良

(廣東省廣州市玉巖中學(xué),510530)

一、題目與錯解

題目已知函數(shù)f(x)=(x2-ax+a)ex-x2,a∈R.若函數(shù)f(x)在x=0處取得極小值,求a的取值范圍.

這是高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用時,學(xué)生作業(yè)中的一道題目,由于經(jīng)驗型思維錯誤及思維不嚴(yán)謹(jǐn),學(xué)生中出現(xiàn)了以下兩種錯解.

錯解1因為f′(x)=(x2-ax+2x)ex-2x,而f(x)在x=0處取得極小值,于是f′(0)=0,所以a∈R.

錯解2由于函數(shù)f(x)在x=0處取得極小值,所以當(dāng)x∈(-∞,0)時,f′(x)<0;當(dāng)x∈(0,+∞)時,f′(x)>0.

因為f′(x)=(x2-ax+2x)ex-2x=x[(x-a+2)ex-2]，所以

(x-a+2)ex-2>0,

其中x∈(-∞,0)∪(0,+∞),

a

令h′(x)=0,得x=ln 2.

所以a的取值范圍(-∞,3+ln 2).

二、剖析與正解

這兩種錯解對幫助學(xué)生理解函數(shù)極值存在的條件是很好的材料,我們將以上解法展示給學(xué)生,請學(xué)生進(jìn)行判斷.很快有學(xué)生提出質(zhì)疑,認(rèn)為兩種解法均是錯誤的.他們是用特殊值法驗證的:

若a=2,則f(x)=(x2-2x+2)ex-x2,

f′(x)=x2ex-2x=x(xex-2).

當(dāng)x∈(-∞,0)時,f′(x)>0,當(dāng)x∈(0,ln 2)時,f′(x)<0,從而當(dāng)x=0時,函數(shù)f(x)取得極大值,因此x=0不是函數(shù)f(x)的極小值點.

因此前面兩種解法均是錯誤的.于是筆者請學(xué)生進(jìn)一步思考.錯誤出在哪一步呢?

函數(shù)f(x)在x=0處取得極小值,除了f′(0)=0外,是否一定要滿足條件.當(dāng)x∈(-∞,0)時,f′(x)<0;當(dāng)x∈(0,+∞)時,f′(x)>0嗎?

其實，函數(shù)f(x)在x=0處取得極小值,除了f′(0)=0外,不一定要x∈(-∞,0)時,f′(x)<0;x∈(0,+∞)時,f′(x)>0.而應(yīng)該是函數(shù)f(x)在x=0的左右兩側(cè)的區(qū)間內(nèi),左邊是減函數(shù),右邊是增函數(shù)就可以了.

學(xué)生們似有所悟!一會兒有學(xué)生給出了如下正確解法.

正解f′(x)=(x2-ax+2x)ex-2x=x[(x-a+2)ex-2],顯然f′(0)=0,因此要使函數(shù)f(x)在x=0處取得極小值,需使f′(x)在x=0的左側(cè)為負(fù),右側(cè)為正.

令h(x)=(x-a+2)ex-2,則只需h(x)在x=0的左、右兩側(cè)均為正.

h′(x)=(x-a+3)ex.

由h′(x)=0,得x=a-3，所以a≠3.

這時h(x)在(-∞,a-3)上是減函數(shù),在(a-3,+∞)上是增函數(shù),從而h(x)在x=a-3處取得最小值,且h(a-3)=-ea-3-2<0,

因此,要函數(shù)f(x)在x=0處取得極小值,只要h(0)=-a>0,即a<0.

所以a的取值范圍是(-∞,0).

三、教學(xué)反思

1. 解題中的經(jīng)驗型思維錯誤值得反思

由于求解這類題目“已知函數(shù)f(x)=ex-ln(x+m),設(shè)x=0是f(x)的極值點,求m”時，學(xué)生常常采用的就是利用f′(0)=0,從而求出m=1,而教師也未明確地指出其問題,因此形成了學(xué)生的解題經(jīng)驗化,他們很快將新信息同化到原有的信息中,沒有作精確分化,于是形成了錯解1.這種由于受已有的數(shù)學(xué)知識和以往的解題經(jīng)驗影響而造成的思維障礙就是經(jīng)驗型思維錯誤,在教學(xué)中尤其值得反思.學(xué)生的這種解題錯誤往往是基于經(jīng)驗而產(chǎn)生的不正確的遷移,其根源還是在平時的學(xué)習(xí)中,對函數(shù)極值存在的充分與必要條件理解不準(zhǔn)確.

2. 解題中思維不嚴(yán)謹(jǐn)導(dǎo)致的錯誤值得反思

對于錯解2的形成,則是由于平時教學(xué)時把知識分解成了一個一個的小模塊,從而導(dǎo)致學(xué)生局部地看問題,在思維的嚴(yán)謹(jǐn)性上有缺陷,這也是教學(xué)中值得思考的一個問題.錯解2中有兩處值得注意的問題.一是函數(shù)f(x)取得極小值的充分條件學(xué)生沒有弄清楚.二是函數(shù)只有一個導(dǎo)數(shù)為0的值時,它是不是函數(shù)的最值,這些都是學(xué)生容易出錯的地方.教學(xué)時要對知識結(jié)構(gòu)精心組織,賦予知識點更多的信息,使它與其他知識發(fā)生一些外顯的或內(nèi)隱的聯(lián)系,讓學(xué)生在知識和經(jīng)驗之間建立起豐富的聯(lián)系,形成良好的知識結(jié)構(gòu),從而使學(xué)生在解決問題的過程中形成全面嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S.

3. 解題教學(xué)要在如何完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)上展開反思

學(xué)生解題中折射出的解題錯誤尤其值得深思,函數(shù)與導(dǎo)數(shù)滲透的主要數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)形結(jié)合思想,這需要教師通過各種問題對學(xué)生進(jìn)行經(jīng)驗的積累.除了定性研究,也必須開展定量研究,在定性與定量上適時切換.在解題中引導(dǎo)學(xué)生自覺地對“數(shù)”與“形”進(jìn)行觀察與化歸,往往可以突破數(shù)學(xué)解題中的思維受阻狀況.而學(xué)生得出的正確解法就得益于學(xué)生對函數(shù)與導(dǎo)數(shù)解題中的數(shù)形結(jié)合思想理解較為深刻,對函數(shù)極值存在的充分與必要條件理解得較好.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個建立、擴(kuò)展、精致認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程.“精致”或者是對原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的重組,或者是對原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)缺陷的修補(bǔ).高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)要在完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)上開展教學(xué),使學(xué)生已學(xué)的知識得到完整的理解,只有當(dāng)知識結(jié)構(gòu)得以概括化和系統(tǒng)化而形成高度整合時,知識技能才能轉(zhuǎn)化為能力,這是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)能力和提高學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)的必然途徑.(本文系廣州市教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃課題“基于知識心理發(fā)生的數(shù)學(xué)教學(xué)研究與實踐”(課題編號2013B385)階段研究成果之一.)