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一類二元函數值域求法的探究

許正

(江蘇省江陰高級中學，214443)

二元函數值域問題是高中數學常考的題型,學生在遇到此類題型時,往往錯誤率較高.本文先介紹一些解決此類問題的幾種基本解法,如消元法、不等式法、向量法、三角換元法、化歸法等,再通過變題介紹一些特殊解法,從而讓學生能更有效地解決此類問題.下面筆者就從幾個例題出發(fā)系統(tǒng)闡述這類問題的解決方法.希望對學生有所啟發(fā).

例1已知a,b>0且ab=a+b+3.

(1)求ab的取值范圍；

(2)求a+b的取值范圍.

思路1由條件可知a,b∈R*,所以想到基本不等式,通過已知的條件等式構造關于ab和a+b的不等式.

思路2消元轉化為一元函數的值域問題(注意自變量范圍的求解).

解法1(不等式法)

(1)∵a,b>0,

當且僅當a=b時取等號.

由條件可得

解得ab≥9.

(2)由(1)可得a+b=ab-3≥6.

解法2(消元法)

變題已知a,b>0且ab=a+b+3,求a+2b的取值范圍.

分析很明顯此題已經不能使用不等式的解法了,所以不等式法不能解決所有不等式問題,但可用消元法解決.

例2已知x2+xy-y2=1,求t=2x+y的取值范圍.

分析我們發(fā)現以上介紹的方法都不能解決這個二元函數值域問題,我們可以采用化歸的思想方法把這個問題轉化為一個二元方程有解的問題,即可解決．

解由t=2x+y，得y=t-2x，代入題設條件等式得

x2+x(t-2x)-(t-2x)2=1，整理得

5x2-5tx+t2+1=0，

則原問題等價于此方程有解,故Δ≥0，即得t≥2或t≤-2.

思路1我們發(fā)現根號下的和是定值,可以利用向量的工具解決.

z=m·n=|m||n|cosθ

上題還可用兩邊同時平方的方法解決,若只是要求其最大值還可用基本不等式法,三角換元、柯西不等式等方法直接求得,留由讀者練習.

例4已知變量x,y滿足條件

例5已知m,n∈R,且m+2n=2,則m·2m+n·22n+1的最小值為______.

分析此題可看作二元函數的值域問題,通過條件可先消元轉化為一元函數,可設一元函數為f(x)=x·2x+(2-x)22-x,再由函數單調性即可求得最小值.

解(構造函數)令m=x,f(x)=x·2x+(2-x)22-x易知f(x)=f(2-x)，則f(x)圖象關于x=1對稱.

當x>1時，

f′(x)=x2xln 2+2x-(2-x)22-xln 2-22-x

=(2x-22-x)+ln 2[x2x-(2-x)22-x].

易知函數y=x2x與y=2x均為增函數,故x>1時x>2-x,∴f′(x)>0，即f(x)是增函數,由對稱性可知x<1時f(x)遞減,所以f(x)min=f(1)=4，從而原式的最小值為4.

二元函數的值域是高中數學中的常考的重難點,本文通過系統(tǒng)的解題方法介紹了解決此類問題的常用方法,希望對讀者有所啟發(fā).