馮曉紅

（吉林師范大學(xué)　數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林　長春　130012）

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混沌動力系統(tǒng)初值敏感依賴性的研究

馮曉紅

（吉林師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林長春130012）

摘要：混沌屬于動力系統(tǒng)的范疇的概念，其作用是用來描述系統(tǒng)的復(fù)雜程度，本文介紹了動力系統(tǒng)中的Li-Yorke混沌和Devaney混沌，以及周期點，回復(fù)點的概念，之后便討論了當(dāng)動力系統(tǒng)拓撲傳遞時，初值敏感依賴性的條件.

關(guān)鍵詞：混沌；周期點；回復(fù)點；初值敏感依賴性

1　基本概念與性質(zhì)

定義1.1設(shè)X為緊致可度量空間f：X→X為從X到自身的連續(xù)映射經(jīng)迭代而生成的連續(xù)自映射序列{f0,f1,f3…fn…}叫做X上由連續(xù)自映射f生成的拓樸離散半動力系統(tǒng).

本文的結(jié)論是在離散拓撲半動力系統(tǒng)的前提下得到的，當(dāng)(X,f)是由緊致可度量空間X上的連續(xù)自映射f生成的離散拓撲半動力系統(tǒng)，簡稱動力系統(tǒng)或緊致系統(tǒng).

定義1.2設(shè)（x,f）為動力系統(tǒng)如果緊致子集A0?X，對f不變，即對?x∈A0，都為f(x)∈A0，則把f在A0上的限制映射f|A0:A0→A0所生成的緊致系統(tǒng)(A0.f|A0)叫做f的子系統(tǒng).

定義1.3對?x∈X，如果?n≥1，n∈N+，使得fn(x)=x，則把x叫做f周期點,周期點的合集記作Per(f).

定義1.4對于x∈X,如果存在正整數(shù)序列{ni}，使得，則x叫作f的回歸點，f的全體回歸點的集合記作R(f).

定義1.5設(shè)f是度量空間(X,d）到自身的連續(xù)映射，取x,y∈X，如果滿足：

則稱x,y為一對混沌點對.

對?x,y∈S,x,y為混沌點對，則稱S為不可數(shù)混沌集，同時可得f為一個Li-Yorke混沌.

命題1.1設(shè)f：X→Y為傳遞映射，其中X是以d為度量空間，如果f有不動點，那么X中必存在一個Li-Yorke混沌點集，它與X的每個非空開集之交都包含一個非空緊致完全集且f上Li-Yorke混沌.

定義1.6若?δ>0使得對?x∈X以及x的任何鄰域Ux?y∈Ux和n>0，使得d(fn(x),fn(y))>δ，則稱f具有對初值敏感的依賴性，稱δ為敏感系數(shù).

命題1.2設(shè)X是無限點集，如果f傳遞且周期稠密，則它必具有敏感性.

2　混沌動力系統(tǒng)初值敏感依賴性的結(jié)論證明

定理2.1存在X上的非空子集Y，使得f|Y為（X,f）的子系統(tǒng)，并且具有初值敏感依賴性.

證明∵f傳遞

?傳遞點x0∈X,設(shè)xp∈X是周期為P的周期點

令X0={fkp(x0):k∈N}，由x0的稠密性知，X0為無限點集.

并且可知X0是f的一個Li-Yorke混沌集.

設(shè)V?X為X的任意一個非空開集，取Y=X0∩V

命題1.1可得，Y是一個非空緊致完全集且f (Y)?Y

故f|Y為（X,f）的子系統(tǒng).

下面證明f|Y具有初值敏感依賴性.

∵f連續(xù)且X緊致,存在0<ε<δ，使得?x∈O(x0,ε)對任意的ni∈N都有

又因為x0∈X為f的傳遞點，古存在正整數(shù)遞增序列{nj}j→∞∈N，使得

所以，?nk∈N，對任意的m,n>0,有

則f|Y具有初值敏感依賴性.

定理2.2（X,f）為緊致系統(tǒng)，f傳遞，則

（1）若存在點xi?回歸集R(f)，則f具有初值敏感依賴性；

（2）若Per(f)≠?，則回歸點集R(f)-P(f)≠?，則f具有初值敏感依賴性.

證明（1）取xi?R(f)，令δ0=d(xi,fk(xi))(k∈N)

∵xi?R(f),故，故δ>0且f連續(xù)，所以存在0<ε<δ，使得對任意的x∈O(xi,ε),有d(fk(x),fk(xi))<ε.

又∵f傳遞

∴存在傳遞點x0∈X和正整數(shù)遞增序列{ni}i→∞和{nj}j→∞∈N

使d(fni(x0,x0)<ε和d(fnj(x0),fk(xi))<ε成立

所以，?nk∈N,對任意的m,n>0,有

所以d(fnk+m(x0),fn(x))>δ和d(fnk+n(x0),fn(x))>δ至少有一個成立.

證畢.

證明（2）設(shè)xp∈Per(f),xi∈R(x)-Per(f)

則存在正整數(shù)遞增序列{nj}i→∞∈N，使成立

取δ0=d(xp,fni(xi))，故δ0>0

成立

∴?nk∈N,對任意的m,n>0，有

則d(fnk+m(x0),fn(x))>δ和d(fnk+n(x0),fn(x))>δ至少有一個成立.

即證得f具有初值敏感依賴性，證畢.

參考文獻：

〔1〕周作領(lǐng)，尹建東，許紹元.從拓撲方法到遍歷理論方法[J].2011（12）.

〔2〕王立東，廖公夫，范欽杰.映射迭代與混沌動力系統(tǒng)[M].科學(xué)出版社，2013.

〔3〕周作領(lǐng).一維動力系統(tǒng)[J].數(shù)學(xué)季刊，1988（01）.

〔4〕周作領(lǐng).關(guān)于Li-Yorke定理的一點注記[J].科學(xué)通報，1986（01）:1-3.

〔5〕范欽杰.混沌與拓撲強混合[J].大學(xué)數(shù)學(xué),2004 （6）：50-81.

收稿日期：2015-10-12

中圖分類號：O231

文獻標識碼：A

文章編號：1673-260X（2016）03-0001-02