涂德新

(江西師范大學(xué)附屬中學(xué)　江西 南昌　330046)

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例談復(fù)合場(chǎng)中的守恒量

涂德新

(江西師范大學(xué)附屬中學(xué)江西 南昌330046)

摘 要：通過對(duì)3個(gè)復(fù)合場(chǎng)中守恒量的尋找和處理，體現(xiàn)某些物理量的特點(diǎn)，直觀展示物理變化過程中的規(guī)律，這對(duì)我們平時(shí)分析和研究物理問題或許有一定的借鑒.

關(guān)鍵詞：微分復(fù)合場(chǎng)洛倫茲力守恒量

動(dòng)量守恒定律、角動(dòng)量定恒定律和能量守恒定律是物理學(xué)中的三大守恒定律.守恒定律不僅適用于宏觀物體的運(yùn)動(dòng)，也適用于微觀粒子的運(yùn)動(dòng)；不僅適用于低速物體的運(yùn)動(dòng)，也適用于高速物體的運(yùn)動(dòng)，也就是說在牛頓運(yùn)動(dòng)定律不再適用的領(lǐng)域它們?nèi)匀挥行?，這已經(jīng)為近代物理學(xué)研究的大量實(shí)踐所證明.守恒定律中的守恒量是對(duì)物理現(xiàn)象最簡(jiǎn)潔的表述，筆者發(fā)現(xiàn)在一些復(fù)合場(chǎng)(重力場(chǎng)、電場(chǎng)、磁場(chǎng)等)中，帶電粒子的運(yùn)動(dòng)也有一些守恒量，下面通過幾個(gè)情景的分析和處理初步研究此問題.

情景1：一電容器左右極板間電壓為u，極板間距為d，速度為零的電子(質(zhì)量為m，電荷量為e)，由電容器左極板的小孔O處，在電場(chǎng)力的作用下加速，同時(shí)在垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)B的作用下偏轉(zhuǎn).

問題：求電子不能到達(dá)右極板時(shí)勻強(qiáng)磁場(chǎng)B的最小值.

圖1

解析：如圖1所示，假設(shè)圖中電子的一條運(yùn)動(dòng)軌跡正好與右極板相切，此時(shí)所對(duì)應(yīng)的勻強(qiáng)磁場(chǎng)B的值就是本題所求的最小值.

在此軌道上任取一點(diǎn)(x,y)，寫出y方向的動(dòng)力學(xué)方程.

注意到洛倫茲力在y方向的分力是由x方向的分速度引起的，即

may=evxB

(1)

同時(shí)

(2)

(3)

由式(1)～(3)得

這就得到了一個(gè)守恒量mvy-eBx.

聯(lián)系初始點(diǎn)和與右極板相切的點(diǎn)M，寫出方程

0=mvM-eBd

(4)

利用電場(chǎng)力做功，得到vM滿足的關(guān)系式

(5)

由式 (4)、(5)可得

情景2：如圖2所示，半徑分別為a和b(a

圖2

問題：電子剛好到不了外筒，求此時(shí)磁感應(yīng)強(qiáng)度B的值.

解析：對(duì)電子寫出角動(dòng)量定理

(6)

在電子的軌道上任取一點(diǎn)，該點(diǎn)離柱軸的距離為r，洛倫茲力存在角向分力，這個(gè)分力是由電子的徑向速度引起的，即

Fθ=evrB

相應(yīng)的力矩為

Fθr=evrBr

(7)

由式(6)、(7)得

(8)

注意到

(9)

聯(lián)立(8)、(9)可得

聯(lián)系最初的出發(fā)點(diǎn)與相切點(diǎn)M，可得

(10)

利用電場(chǎng)力做功，得到vM滿足的關(guān)系式

(11)

由式(10)、(11)可得

情景3：如圖3所示，帶電粒子進(jìn)入介質(zhì)，受到與它的速度方向相反且成正比的阻力作用，在粒子停下來時(shí)，通過的距離l=10 cm.如果在介質(zhì)中有跟粒子進(jìn)入速度方向相垂直的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，而粒子仍以原來的速度進(jìn)入介質(zhì)，停止時(shí)與入射點(diǎn)相距l(xiāng)1=6 cm.

圖3

問題：如果磁感應(yīng)強(qiáng)度B減弱為一半，那么該粒子應(yīng)停在離入射點(diǎn)多遠(yuǎn)處？

解析：設(shè)帶電粒子在介質(zhì)中受到的阻力為f=-kv(k為正的常量),無磁場(chǎng)時(shí)，對(duì)帶電粒子寫出牛頓第二定律

(12)

注意到

(13)

由式(12)、(13)得

得到一個(gè)守恒量mv+kx.

聯(lián)系最初和最終有

mv0=kl

于是

(14)

有磁場(chǎng)時(shí)寫出牛頓第二定律

(15)

由式(15)寫出x,y方向的分量方程

(16)

(17)

注意到

(18)

(19)

由式(16)～(19)得

(20)

(21)

由式(20)和(21)可得守恒量

mvx+kx+qBy

以及

mvy+ky-qBx

聯(lián)系最初和最終有

mv0=kx+qBy

(22)

0=ky-qBx

(23)

由式(22)及式(23)可以解得

(24)

(25)

同時(shí)距離

(26)

由式(14)、(24)～(26)可得

(27)

同理，磁感應(yīng)強(qiáng)度B減半時(shí)有

(28)

聯(lián)立式 (27)、(28) 可以求解得

l2=8.3 cm

可以分析到3種情況下軌跡的長(zhǎng)度是一樣的，原因是均只有阻力做功.

小結(jié)：物理學(xué)家在研究一些待認(rèn)識(shí)的問題時(shí)，常常是想方設(shè)法找到所研究的現(xiàn)象中是否存在某種不變量，即某些物理量是守恒的情況，并總結(jié)出動(dòng)量、角動(dòng)量和能量的守恒定律.

我們?cè)谘芯课锢砬榫昂臀锢韱栴}時(shí)，也可以發(fā)現(xiàn)一些守恒量，只要過程滿足一定的條件，就可以不必考慮過程中的細(xì)節(jié)，而對(duì)系統(tǒng)的初末狀態(tài)的某些物理量作出某種結(jié)論，這是守恒量的特點(diǎn),也是它們的優(yōu)點(diǎn).

Talking about the Case of Conservation Quantities in the Compound Fields

Tu Dexin

(Affiliated High School of Jiangxi Normal University, Nanchang,Jiangxi330046)

Abstract:In this paper, based on the three compound field keep constant finding and treatment, reflect the characteristics of certain physical quantities, intuitive display of a physical change in the rules, which we usually analysis and research on the physics problem may have certain reference.

Key words:differential; compound field; Lorentz force; conservation quantity

(收稿日期：2015-12-02)