朱向陽

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講活習(xí)題提升能力

朱向陽

美國著名數(shù)學(xué)教育家波利亞指出，“掌握數(shù)學(xué)意味著什么呢？這就是善于解題，不僅善于解一些標(biāo)準(zhǔn)的題，還善于解一些要求獨(dú)立思考、思路合理、見解獨(dú)到和有發(fā)明創(chuàng)造的題”。解題是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的必由之路，通過解題活動培養(yǎng)學(xué)生良好的思維能力，是數(shù)學(xué)教學(xué)的中心目標(biāo)。教師在教學(xué)中，要善于利用習(xí)題，充分挖掘課本習(xí)題的思維訓(xùn)練功能，激發(fā)學(xué)生興趣，開拓學(xué)生思路，培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)和應(yīng)變能力。只有站在這樣的高度，才能把習(xí)題吃透、講活，使學(xué)生在鞏固知識的同時(shí)培養(yǎng)思維能力。

一、一題多解，拓寬解題思路

學(xué)生在解題中常會出現(xiàn)一題多解。一題多解不僅可以充分提高學(xué)生綜合運(yùn)用知識解決問題的能力，鍛煉思維的靈活性，還可以開拓學(xué)生的思路，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)并掌握知識之間的聯(lián)系，達(dá)到舉一反三、融會貫通，培養(yǎng)思維的創(chuàng)造性。需要注意的是，一題多解并非單純追求多解，重要的是針對不同目的，有的放矢。

1.多中立序，突出遞進(jìn)功能

面對一個新的數(shù)學(xué)問題，學(xué)生會依據(jù)已有知識和經(jīng)驗(yàn)，從不同的方向和角度嘗試解答。而教師則要針對出現(xiàn)的多種解法，在講解時(shí)理清層次，循序漸進(jìn)，推進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的發(fā)展。

例1.教學(xué)北師大版教材一年級下冊“兩位數(shù)加減一位數(shù)不進(jìn)位、不退位”這一內(nèi)容，學(xué)生在解決“25+4=”時(shí)出現(xiàn)了以下不同的解法：

（1）數(shù)一數(shù)：從25開始往后數(shù)4個數(shù)，是29；

（2）畫一畫：在25根小棒基礎(chǔ)上再畫4根，是29根小棒（也可以是其他圖形）；

（3）撥一撥：在計(jì)數(shù)器上先撥出25顆珠子，個位上再撥4顆珠子，是29；

（4）算一算：5+4=9，20+9=29。

這些解法，不僅是運(yùn)用的知識方法不同、思考問題的角度不同，體現(xiàn)的思維層次和水平也不同。在解法交流時(shí)，教師要準(zhǔn)確把握其層次性，從數(shù)一數(shù)、畫一畫到撥一撥，最后到列式算一算，促使學(xué)生的思維從具體到半抽象再到抽象的發(fā)展。

2.多中求質(zhì)，突出基本解法

面對學(xué)生的多種解法，教師要善于抓住其中最基礎(chǔ)、最本質(zhì)的解法進(jìn)行講解，幫助學(xué)生透徹把握知識的本質(zhì)。

將幾種方法進(jìn)行比較，不難發(fā)現(xiàn)，學(xué)生依據(jù)除法運(yùn)算的意義容易想到前兩種方法，但方法（3）卻是分?jǐn)?shù)除法運(yùn)算的一般方法。在解法交流時(shí)，教師要重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生理解方法（3），幫助學(xué)生透徹把握分?jǐn)?shù)除法的算理和算法。

3.多中求聯(lián)，突出內(nèi)在聯(lián)系

同一個問題的多種解法之間往往并不是孤立的。溝通這些解法之間的聯(lián)系，不僅有利于學(xué)生對問題的理解和方法的掌握，更有助于思維的完善和能力的提高。

例3.解決42×26這道題時(shí)，學(xué)生出現(xiàn)了以下一些方法：

接下來，教師讓學(xué)生將這些解法進(jìn)行分類。學(xué)生按橫式、豎式、列表等形式將這些方法分為（1）（2）、（3）（4）、（5）（6）三類。在此基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生按聯(lián)系進(jìn)行分類，發(fā)現(xiàn)其實(shí)（1）和（4）、（2）和（3）、（5）和（6）所體現(xiàn)的思路是一樣的，只是形式有所區(qū)別；進(jìn)一步觀察，還發(fā)現(xiàn)在（5）和（6）中能找到（1）和（4）、（2）和（3）所對應(yīng)的各部分。在比較和聯(lián)系中，學(xué)生把握住這些方法的內(nèi)在聯(lián)系，從而完善自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

進(jìn)行一題多解教學(xué)，能最大限度地調(diào)動學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)知基礎(chǔ)，溝通多種解法之間的內(nèi)在聯(lián)系，抓住數(shù)學(xué)方法的本質(zhì)，提高系統(tǒng)性，做到融會貫通，從而促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展。

二、一題多變，提高解題能力

解題的價(jià)值不在于答案本身，而在于弄清“是怎樣想到這個解法的”“是什么促使你這樣想或這樣做的”。這就要求我們善于利用習(xí)題的變化，提高學(xué)生綜合運(yùn)用知識和方法的能力，培養(yǎng)良好的思維品質(zhì)。

1.變單一為復(fù)合，提高綜合性

有的習(xí)題涉及的知識單一，運(yùn)用的方法簡單，解決這樣的習(xí)題，僅僅起到鞏固知識的作用，對提高學(xué)生綜合運(yùn)用知識的能力、發(fā)展思維的作用有限。教師要善于對這些基本習(xí)題進(jìn)行必要的改編。

例4.學(xué)了“數(shù)對”后，教材安排了如圖1所示的練習(xí)，旨在考查學(xué)生是否會用數(shù)對確定位置。教師將它進(jìn)行了改編：如圖2，在長方形ABCD中，A點(diǎn)用數(shù)對表示為（1，5），C點(diǎn)用數(shù)對表示為（6，2），請你求出長方形的面積。

圖2

不難發(fā)現(xiàn)，較之圖1，圖2的問題要求學(xué)生不僅要看懂?dāng)?shù)對、理解數(shù)對的意義，還要在不同數(shù)對相同項(xiàng)的比較中發(fā)現(xiàn)“差”就是長方形的長和寬，并運(yùn)用長方形面積計(jì)算的方法得出結(jié)果。

剖析學(xué)生的解題過程，可以發(fā)現(xiàn)其分析問題的經(jīng)歷：這兩個數(shù)對表示什么意義？跟長方形的長和寬有什么關(guān)系？如何找到長方形的長和寬？怎樣求出長方形的面積？

提高習(xí)題的綜合性，不僅僅是增加了知識的量，更重要的是學(xué)生的解題能力和思維品質(zhì)都能在解題中得到提高。

2.變順向?yàn)槟嫦?，增?qiáng)靈活性

我們都有這樣的感受，順走容易逆走難，解題也是如此。如果將習(xí)題中的已知條件和所求問題進(jìn)行交換或改造，將順向思維的習(xí)題改編成逆向思維的習(xí)題，適當(dāng)增加解題的難度，對提高思維的靈活性和開放性大有裨益。

例5.“長方形的周長”這一內(nèi)容中安排了這樣一道習(xí)題：一個長方形的長是9cm，寬是4cm，它的周長是多少？

對已知條件和問題進(jìn)行交換，可以得到下面的開放題：一個長方形的周長是26cm，它的長和寬各是多少？

如果原題中的問題是“它的面積是多少”，則可以得到這樣的開放題：一個長方形的面積是36cm2，求它的長和寬。

上述兩題的答案有無數(shù)個，為便于學(xué)生解答，可附加“它的長和寬都是整厘米數(shù)”這一條件。

若進(jìn)一步加工，把長方形的長、寬、周長和面積都放在一道題里聯(lián)系起來考慮，就可編出知識涉及面更寬的開放題：一個長方形的周長是26cm，它的長、寬各是多少？面積是多少？一個長方形的面積是36cm2，求它的長、寬和周長。

這兩題還分別孕伏了最大值和最小值的知識：當(dāng)長方形的周長一定，其面積具有最大值；當(dāng)長方形的面積一定，其周長具有最小值。

一題多變的方式還有很多，重要的不在于變的形式，而在于變的目的和價(jià)值。只要教師注重知識方法的應(yīng)用和學(xué)生思維品質(zhì)的提高，解題就能成為培養(yǎng)學(xué)生思維能力的良好載體。

（作者單位：浙江省義烏市義亭小學(xué)）