漣源市教育學(xué)會小學(xué)數(shù)學(xué)研究會　瀟湘數(shù)學(xué)教育工作室

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“確定起跑線”教學(xué)研究報告

漣源市教育學(xué)會小學(xué)數(shù)學(xué)研究會瀟湘數(shù)學(xué)教育工作室

一、問題

“確定起跑線”是人教版課標(biāo)教材六年級上冊的內(nèi)容。這是一節(jié)綜合實踐課，是建立在學(xué)生已經(jīng)掌握了圓的概念和周長等知識的基礎(chǔ)上的課程。旨在讓學(xué)生綜合運(yùn)用空間與圖形、數(shù)與代數(shù)的知識，了解田徑場跑道的結(jié)構(gòu)，學(xué)會確定起跑線的方法，并體驗用所學(xué)知識解決實際問題的快樂，體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，提高解決實際問題的能力，增強(qiáng)策略應(yīng)用意識。

“確定起跑線”是一個綜合性、抽象性很強(qiáng)的問題。如何讓學(xué)生經(jīng)歷從具體到抽象、化繁為簡的過程，得出結(jié)論并解決問題，在此過程中體會數(shù)形結(jié)合、化歸、模型應(yīng)用等重要數(shù)學(xué)思想，這是值得好好研究的。

在實際教學(xué)中，由于這個內(nèi)容屬于“綜合與實踐”版塊，很多老師常常不重視，甚至有老師認(rèn)為這個內(nèi)容不是考點(diǎn)知識，放棄了這個內(nèi)容的教學(xué)。當(dāng)然，也有老師愿意好好設(shè)計這節(jié)課，但對“教什么”與“怎么教”缺少可供參考的資料，感覺難以把握。針對這些問題，我們將從教與學(xué)兩個維度加以分析，以期通過對這些問題的研究，解決教學(xué)中存在的問題，提高教學(xué)效率。

1.教之困

（1）如何確定這個內(nèi)容的重點(diǎn)和難點(diǎn)，如何抓住重點(diǎn)，突破難點(diǎn)？

（2）如何讓學(xué)生在掌握基礎(chǔ)知識與基本技能的同時，收獲基本的數(shù)學(xué)思想與方法，積累基本活動經(jīng)驗？這個內(nèi)容能讓學(xué)生收獲哪些數(shù)學(xué)思想與方法，積累哪些基本活動經(jīng)驗?zāi)兀?/p>

（3）如何引發(fā)學(xué)生進(jìn)行合情推理，在算法多樣化的基礎(chǔ)上優(yōu)化算法，增強(qiáng)策略應(yīng)用意識？

（4）如何提高學(xué)生學(xué)習(xí)綜合實踐課程的興趣，拓寬研究數(shù)學(xué)的思路？

2.學(xué)之難

（1）如何厘清具體的生活場景中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)問題，并把它轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型？

（2）如何在交流討論中逐步優(yōu)化算法，尋找解決問題的最佳策略？

（3）如何真正實現(xiàn)舉一反三，把400米標(biāo)準(zhǔn)跑道上進(jìn)行400米比賽時確定起跑線的方法拓展到200米比賽確定起跑線的問題上去？

數(shù)學(xué)綜合實踐課是一種以問題為載體，倡導(dǎo)學(xué)生主動參與、樂于探究、勤于動手，培養(yǎng)學(xué)生搜集和處理信息的能力、獲取新知識的能力、分析問題和解決問題的能力，以及交流和合作的能力的課程。因此，要把綜合實踐課上好，教師要能設(shè)計好問題，引領(lǐng)學(xué)生圍繞問題進(jìn)行觀察、比較、分析、歸納，主動探索解決問題的策略。那么，對于確定起跑線這個問題，絕大多數(shù)學(xué)生缺乏生活經(jīng)驗。教師首先就要思考如何把這個生活中的實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型；其次，要讓學(xué)生主動利用已有的知識經(jīng)驗解決新問題，并在交流討論的過程中實現(xiàn)方法的優(yōu)化。當(dāng)然，因為這個問題的抽象性與綜合性很強(qiáng)，借助信息技術(shù)降低學(xué)生的認(rèn)知難度、增加直觀性也是必需的。

二、實踐

由于這是綜合實踐課，課時內(nèi)容多，我們安排了兩個課時進(jìn)行實踐。

第一課時教學(xué)目標(biāo)：創(chuàng)設(shè)問題情境，讓學(xué)生自己提出問題、分析問題并嘗試解決問題。

課堂實錄：

師：同學(xué)們，聽說過田徑運(yùn)動會嗎？讓我們一起走進(jìn)2015年漣源市中小學(xué)生田徑運(yùn)動會的現(xiàn)場，用數(shù)學(xué)的眼光觀看這次比賽中的男子100米和男子400米的決賽實況，請大家特別關(guān)注運(yùn)動員的起跑位置（課件播放比賽現(xiàn)場）?？戳艘曨l后，你有什么疑問嗎？

生1：為什么100米比賽時，運(yùn)動員在同一起跑線上，而400米比賽時運(yùn)動員的起跑線會各不相同??？

生2：這樣比賽公平嗎？

生3：400米比賽時運(yùn)動員與運(yùn)動員之間的距離有規(guī)定嗎？

師：大家提出了很有價值的數(shù)學(xué)問題，今天這節(jié)課我們就圍繞這幾個問題展開研究。

板書：

問題1：400米比賽時運(yùn)動員為什么不在同一起跑線上？這樣比賽公平嗎？

問題2：400米比賽時前后兩個運(yùn)動員之間的距離是多少？

師：要弄清楚這些問題，從哪里開始研究呢？

生4：先把運(yùn)動員撤走，讓我們看看跑道吧。

師：有思想的孩子！老師聽你們的，跑道閃亮登場?。ㄕn件展示400米跑道模型，如圖所示）從跑道模型里你又能發(fā)現(xiàn)哪些數(shù)學(xué)信息呢？

生5：這個跑道好像是橢圓形的。

生6：這個跑道有的地方是直的，有的地方是彎的。

師：我們通常把直的地方叫直道，彎的地方叫彎道。

生7：直道的長是85.96米，兩個跑道之間相隔1.25米。

生8：彎道是個半圓形，半圓的直徑是72.6米。

生9：不對，應(yīng)該說最里面的半圓的直徑是72.6米。

師：為你的認(rèn)真傾聽點(diǎn)贊！你為什么要強(qiáng)調(diào)最里面的半圓的直徑是72.6米呢？

生9：因為第二圈的半圓直徑就增大了呀。

師：增大了多少呢？

生9：增大了2個1.25米。（課件閃爍第二跑道的直徑）

師：大家的發(fā)言很精彩！還有要補(bǔ)充的嗎？

生10：我發(fā)現(xiàn)每一條跑道實際上是由兩條直道和一個圓組成的。（課件閃爍兩條直道和一個圓）

生11：第二道的直徑比第一道多2個1.25米，第三道的直徑又比第二道的直徑多2個1.25米，第四道的直徑又比第三道的直徑多2個1.25米，一直這樣下去。

師：講得真好！大家從他的發(fā)言里找到了問題（指板書的問題）的答案嗎？

生12：相鄰的兩個跑道有相等的直道，彎道大小不一樣，如果讓運(yùn)動員站在同一起跑線上，比賽就不公平了。

師：噢，難怪400米短跑時，運(yùn)動員們不在同一起跑線上呢。那他們之間的距離又有什么學(xué)問呢？

生13：我想，如果知道第二道比第一道長多少米，我們就可以讓第二道的運(yùn)動員前移多少米，終點(diǎn)一樣，這樣比賽才公平。

師：真是優(yōu)秀的裁判員！那現(xiàn)在我們四人一小組，算一算每相鄰兩條跑道間相差多少米。溫馨提示三個小問題：1.為了提高運(yùn)算的準(zhǔn)確程度，圓周率統(tǒng)一取3.14159；2.可以用計算器計算；3.為了使研究成果一目了然，你們可以自己設(shè)計表格，把幾個跑道的不同長度都展示出來。

學(xué)生小組學(xué)習(xí)后交流，并展示表格（如下所示）。

師：能說說這些數(shù)據(jù)是怎么得來的嗎？

生14：（指著圖說）每一條跑道都有兩條直道和兩條彎道，兩條直道無論哪一道都是一樣長的，所以直道總長為2×85.96=171.92米，兩條彎道合起來看是一個圓，最里面的第一道圓的直徑就是72.6米，以后每一道都比前一道的直徑多2個1.25米。

師：他的思路很清晰，特別是能借助這個跑道圖進(jìn)行講解，讓人一聽就明白，有當(dāng)優(yōu)秀小老師的潛質(zhì)??！小組成員還有要補(bǔ)充的嗎？

生15：我們發(fā)現(xiàn)，相鄰兩條跑道之間相隔幾乎都是7.85米。

師：這個發(fā)現(xiàn)太重要了！這么說來，相鄰兩道之間的運(yùn)動員相隔應(yīng)該是7.85米！這是偶然的，還是必然的？

學(xué)生再次思考，然后交流、討論。

生16：相鄰兩條跑道的直道部分是一樣長的，就只要比彎道，用外圓周長減內(nèi)圓周長等于相鄰兩條跑道的路程差，也就是第二道運(yùn)動員要前移的長度。

師：那上面表格的后兩行數(shù)據(jù)是不是可以刪除了？

生17：如果只算運(yùn)動員前移的距離差，后兩行真可以不要。

生：我覺得還可以算得更簡單——外圓周長-內(nèi)圓周長=π×（外圓直徑-內(nèi)圓直徑）=π×（2×1.25）=7.85。

師：數(shù)學(xué)一直崇尚簡單美！你看，這么復(fù)雜的一個問題，被你們用一個簡單的算式表達(dá)清楚了！同學(xué)們通過自己的努力，找到了在環(huán)形跑道上確定起跑線的秘密！讓我們回頭看一看，這節(jié)課開始的時候大家提出的幾個問題解決了嗎？

設(shè)計意圖：本課時從“實踐”這個角度進(jìn)行設(shè)計?！按_定起跑線”是生活中一個很現(xiàn)實、很抽象的問題。教師運(yùn)用信息技術(shù)從實際問題中抽象出“跑道”這個幾何模型，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法，抓住“400米比賽中運(yùn)動員的起跑線為什么會各不相同”這一問題展開研究。孩子們也經(jīng)歷了從具體到抽象、從繁到簡的探索過程，積累了“真問題、真研究”的實踐經(jīng)驗。

第二課時教學(xué)目標(biāo)：設(shè)計拓展性問題，幫助學(xué)生順利實現(xiàn)正遷移，把400米標(biāo)準(zhǔn)跑道上進(jìn)行400米比賽時確定起跑線的方法拓展到200米比賽確定起跑線的問題上去。

課前，教師布置了自主作業(yè)，學(xué)生從中挑選一至兩個學(xué)習(xí)任務(wù)完成。

1.把“確定起跑線”這一內(nèi)容中你最感興趣的或者記憶最深刻的片段寫成數(shù)學(xué)日記。

2.在網(wǎng)上了解有關(guān)跑道、起跑線、田徑運(yùn)動中跑步項目等的知識，做成圖片或PPT，與同學(xué)共享。

3.如果把上一節(jié)課的研究任務(wù)中的400米跑道改為在“400米標(biāo)準(zhǔn)跑道上舉行200米賽跑”，那么相鄰兩個運(yùn)動員之間的距離差又會是多少呢？

課堂實錄：

師：同學(xué)們，昨天老師給大家留了幾個自主學(xué)習(xí)的任務(wù)，今天這節(jié)課我們一起進(jìn)行交流共享。

生1：我選的是“數(shù)學(xué)日記”，我給大家先展示自己寫的數(shù)學(xué)日記吧！

2015年12月18日晴

數(shù)學(xué)課上，王老師給我們播放了漣源市中小學(xué)生運(yùn)動會的場景，我最關(guān)注的就是400米徑賽了，因為我們班的張浩宇也參加了這個項目的比賽。

“下面進(jìn)行男子400米跑決賽，請選手們做好準(zhǔn)備！”廣播里傳來了命令，運(yùn)動員們陸續(xù)來到各自的起跑點(diǎn)。

咦，真奇怪，運(yùn)動員們怎么不是站在同一條起跑線上啊？前面一場100米短跑的運(yùn)動員不是站在同一起跑線上嗎？這樣不是影響了比賽的公平性嗎？

正在我心存疑惑的時候，王老師給我們展示了跑道的示意圖，跑道由兩條直道和直道兩端兩個半圓形彎道組成。我清楚地看到了越靠里圈的運(yùn)動員跑的距離越短，這對跑外圈的運(yùn)動員是不公平的。難怪運(yùn)動員的起跑線會各不相同。

后來我們分組進(jìn)行了研究，發(fā)現(xiàn)相鄰兩個運(yùn)動員之間的距離差是由相鄰兩個彎道的直徑差決定的，還總結(jié)出了算法：π×（外圓直徑-內(nèi)圓直徑）=相鄰兩運(yùn)動員之間的距離差。

看來，數(shù)學(xué)真的就在我們身邊。

師：大家評價評價他寫的數(shù)學(xué)日記。

生2：我覺得寫得挺好的，特別是前面那一段心理描寫，我當(dāng)時的確也是那么想的，很真實。

生3：我也覺得寫得很好。他找到了400米跑時運(yùn)動員不在同一起跑線上的原因。

師：我很同意你們的評價，特別值得一提的是，他還總結(jié)出了算法，真不錯。下一個，誰來展示？

生4：我通過百度找到了有關(guān)“黃金跑道”的知識，還做好了PPT，想和大家分享。

你知道嗎？在田徑賽場上，不同道次確實存在一定的差異。在彎道跑的過程中，為了克服運(yùn)動慣性，必須改變運(yùn)動姿勢來獲得一定的向心力，而姿勢的改變在不同程度上會影響運(yùn)動員的技術(shù)發(fā)揮。向心力隨著彎道的增大而減小，因此，偏外的道次上的運(yùn)動員姿勢改變幅度較小，更利于發(fā)揮。有研究表明，從生物力學(xué)上講，第八道是利于運(yùn)動員穩(wěn)定速度的。但是，在大多數(shù)運(yùn)動員的心里，外道和內(nèi)道都是“慢道”，他們都更傾向于中間道次。另外，在直道跑中，中間道次更利于運(yùn)動員感知其他對手的速度，這樣更有利于調(diào)整節(jié)奏、步伐和速度，從而更好地提高成績。所以，第四第三道被認(rèn)為是“黃金跑道”。

師：今天老師也長見識了。跑道上的學(xué)問還真不少，不僅與數(shù)學(xué)有關(guān)，還與物理有關(guān)呢！真是“生活無處不學(xué)問”。有哪些同學(xué)研究了在400米標(biāo)準(zhǔn)跑道上舉行200米短跑的問題嗎？

生5：我研究了200米短跑確定起跑線的問題。400米比賽時運(yùn)動員跑一圈，要跑兩個彎道，而200米比賽中運(yùn)動員只要跑一個彎道和一個直道。400米比賽中相鄰兩道的起跑線差是“跑道寬×2×π”，200米比賽中相鄰兩道起跑線差用“1.25×π≈3.93米”就可以了。

師：你們聽清楚了嗎？誰有質(zhì)疑或點(diǎn)評？

生6：為什么是1.25×π？

生5：我給大家畫個草圖（如右圖所示）。你可以這樣理解，一個彎道加一個直道構(gòu)成200米跑道，直道是一樣的，我們只要比較內(nèi)半圓和外半圓的彎道部分就可以了。

師：怎么樣？小老師的解釋如何？

生7：我覺得小老師的講解很清楚，最重要的是抓住這個“一半”來理解。

師：謝謝大家的提問與點(diǎn)評。看來，大家的自主學(xué)習(xí)還是很成功的。最近，我們學(xué)校新建了一條環(huán)形塑膠跑道，直道長48.79米，最內(nèi)圈兩個半圓的直徑是32米，每條跑道的寬是1.2米。第一道全長多少米？各跑道的起跑線要依次前移多少米？請大家設(shè)計設(shè)計吧。（學(xué)生自主完成，先在小組內(nèi)交流，然后全班交流）

設(shè)計意圖：本課時從“綜合”的角度進(jìn)行了設(shè)計，主要是學(xué)習(xí)方式的綜合：課堂學(xué)習(xí)與網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)相結(jié)合，自主學(xué)習(xí)與合作學(xué)習(xí)相結(jié)合，課內(nèi)知識與課外知識相結(jié)合；思想與方法的綜合：合情推理與演繹推理相結(jié)合、數(shù)與形相結(jié)合。通過多維的綜合，實例較好地闡釋了數(shù)學(xué)實踐活動課“學(xué)什么”和“怎么學(xué)”兩個重要方面。

三、討論

1.對課堂的思考

以上教學(xué)實踐緊緊圍繞數(shù)學(xué)綜合實踐課程的三個關(guān)鍵詞展開，即“數(shù)學(xué)”“綜合”“實踐”，著力解決了如下幾個問題。

（1）抓住數(shù)學(xué)綜合實踐課程的重點(diǎn)，突出“實踐性”。即引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷將實際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的全過程：從現(xiàn)實的生活場景中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題→抽取數(shù)學(xué)問題模型→利用已有的生活經(jīng)驗和知識經(jīng)驗嘗試解決問題→思考解決這個問題的方法能否推廣到與之相關(guān)的其他問題。

（2）既關(guān)注基本知識和基本技能的運(yùn)用，又注重了數(shù)學(xué)思想與方法的滲透，重視學(xué)生經(jīng)驗的積累，突出“綜合性”。首先，在教學(xué)內(nèi)容的選取上，選取了“空間與圖形”“數(shù)與代數(shù)”相結(jié)合的“確定起跑線”問題；其次，在學(xué)習(xí)方式的選取上，采用了自主學(xué)習(xí)與合作交流相結(jié)合、實踐操作與網(wǎng)絡(luò)共享相結(jié)合、課內(nèi)學(xué)習(xí)與課外學(xué)習(xí)相結(jié)合的方法；再次，在數(shù)學(xué)思想與方法上，注重了數(shù)形結(jié)合、歸納推理與演繹推理、具體和抽象相結(jié)合的教學(xué)方式。在此過程中，學(xué)生懂得了綜合實踐課可以學(xué)什么，怎么學(xué)。

（3）注重算法多樣化與算法優(yōu)化相結(jié)合，突出“數(shù)學(xué)味”。在教學(xué)過程中，教師不斷引導(dǎo)學(xué)生相互傾聽與評價，展示各自的算法，也引導(dǎo)學(xué)生比較各種算法，并不斷優(yōu)化算法，在這個由繁而簡的過程中，“數(shù)學(xué)味”得以凸顯。

（4）關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，拓展學(xué)生的思維空間。從學(xué)生熟悉的運(yùn)動會入題，以“400米比賽中運(yùn)動員起跑線為什么各不相同”這一問題為主線，學(xué)生饒有興趣地展開研究，特別是當(dāng)學(xué)生能把400米比賽中確定起跑線的經(jīng)驗推廣到200米比賽中，設(shè)計學(xué)校塑膠跑道的起跑線時，真正體驗到了數(shù)學(xué)思考的樂趣。更重要的是，本課還將引發(fā)學(xué)生更多的思考，比如：在400米標(biāo)準(zhǔn)跑道上，如何探求其他徑賽項目確定起跑線的一般方法和規(guī)律；在實際生活中，因為場地條件不同，非400米標(biāo)準(zhǔn)跑道上進(jìn)行徑賽時，起跑線該如何確定等一系列問題，大大拓展了學(xué)生的思維空間。

2.提出新問題

遺憾的是，在教學(xué)實踐中，“遇到生活中的數(shù)學(xué)問題”這一環(huán)節(jié)是由教師事先設(shè)計好的，因此，學(xué)生沒有真正獨(dú)立面臨問題，或者甄選出與自己知識經(jīng)驗相關(guān)的問題，而發(fā)現(xiàn)問題恰恰是一切重大發(fā)明的開端。事實上，綜合實踐課程的開設(shè)僅靠教材提供的案例是非常有限的，如何帶領(lǐng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光去觀察世界、用數(shù)學(xué)的方法去研究世界，是綜合實踐課程對廣大數(shù)學(xué)教師提出的高難度挑戰(zhàn)。（本文系湖南省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃2014年度立項課題（編號：XJK014CZXX041）研究成果）

（執(zhí)筆：王麗燕、謝加文、劉碩鵬、戴意祥）