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        橫看成嶺側(cè)成峰——對一競賽試題多種解法的賞析

        2016-04-15 09:05:07黃國超
        物理通報 2016年3期
        關(guān)鍵詞:一題夾角物理

        黃國超

        (諸暨市草塔中學 浙江 紹興 311812)

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        橫看成嶺側(cè)成峰——對一競賽試題多種解法的賞析

        黃國超

        (諸暨市草塔中學浙江 紹興311812)

        摘 要:本文以一道運動學題為例,談?wù)劇耙活}多解”在物理教學中的應(yīng)用,通過一題多解的教學設(shè)計激發(fā)學生興趣,開拓學生思路,培養(yǎng)邏輯推理能力和想象力,進一步培養(yǎng)學生的解題能力.并結(jié)合例題探討了在一題多解教學中應(yīng)該遵循的一些原則.

        關(guān)鍵詞:一題多解物理教學

        一題多解對于培養(yǎng)學生從不同角度、不同側(cè)面去分析問題、解決問題很有益處,它有利于調(diào)動學生思維的積極性,鍛煉學生思維的靈活性,培養(yǎng)學生思維的創(chuàng)造性.但一題多解的最終目的不是用來展示本題有多少種解決問題的途徑,也不是所有的題目都需要用多種方法去解決,而是要靈活運用解題方法,尋找一種最佳、最近的途徑,也就是說,掌握“一題多解”的最終目的是為了“拓展思維空間,培養(yǎng)學習興趣”.

        【題目】如圖1,海島城市A離海岸120km,海濱城市B離C點160km,已知路上汽車速度是海上輪船速度的2倍,要使A和B兩城市之間運輸時間最少,轉(zhuǎn)換碼頭D建在何處最佳?

        圖1

        解析:該題的關(guān)鍵是尋找一條用時最短的路徑,我們可以用幾何方法來確定運輸?shù)目赡苈窂剑?/p>

        第一條路徑:碼頭建在B城市,直接入水以v2速度在海上運輸.此路程最短,但海上運輸速度較岸上?。?/p>

        第二條路徑:碼頭建在C點,先沿岸以速度v1到C點,再垂直岸路線到A城市,此路徑利用了岸上速度較大,但路程最長.

        第三條路徑:碼頭建在BC之間某點D,先沿岸到D,再沿與岸成θ角的路線到達A城市.

        上述哪條路徑用時最短呢?我們不防先通過比較來說說哪種路徑用時會比較短.

        如圖2所示,一條路徑BB′A,點B′是靠近B左面的一點,所以Δθ很小,與岸的夾角為θ+Δθ,設(shè)所需時間t1.另一條路徑BA,設(shè)與岸成θ角,所需時間t2.

        圖2

        過B′作輔助線B′N,使AN=AB′,由于Δθ很小,可近似認為B′N⊥AB,則BN=BB′cosθ,那么兩路徑所需時間差即為分別通過BN與BB′所用時間的差值

        現(xiàn)在的問題就在于具體的B′在哪里?與岸邊線的夾角多大?下面我們就介紹幾種求解方法來分析這一問題.

        解法1:圖像解析法

        如圖3所示,設(shè)運動總時間為Δt,在岸上運動時間為Δt1,在海中運動時間為Δt2.若直接在B點下水,則Δt=Δt2,能到達的最前方位置將是以B為圓心,v2Δt為半徑的一個圓周位置;若將所有時間都用在了岸上,則在海上已無時間再前進,能到達的最前方是以B為圓心,v1Δt為半徑的圓周位置,岸邊即圖中的B1位置.若在岸邊的其他任意一點D下水,能到達的最前方位置是以D為圓心,v2Δt2為半徑的圓周.若下水點從B到B1,由于總時間確定,則岸上運動時間將線性增加,而海中運動時間將線性減小,所以水中前進的半徑變化是線性的,這樣的許許多多的圓組成的最前方的界線為一直線,即圖中的NN′為入水后的與前進范圍圓相切的直線(實為無數(shù)個圓弧的包絡(luò)線).要想到達最前面的邊界線的時間最短,海中運動方向DA必須垂直包絡(luò)線(如圖3),此時,運動方向與岸邊直線的夾角即為本題前面所要尋找的θ角.

        圖3

        已知條件v1=2v2,結(jié)合圖像可求得θ=60°

        點評:這種解法新穎、直觀、簡便,構(gòu)思巧妙;但由于技巧性較強,一般學生較難想到.

        解法2:微元極值法

        從B點出發(fā),先沿岸運動到D,再下水到達A城市,設(shè)∠CDA=θ時的路徑所需時間為最短,這種方法中只要時間取極小值即可.如圖4所示.

        圖4

        若有一條路徑在D點前方很短距離的H點下水,這條路徑與D下水相比,只是在岸上多運動了DH距離,而在海上少運動DI距離(作輔助線HI,取AH=AI,因為DH取非常小,可近似認為HI⊥DI,DI=DHcosθ).

        設(shè)DH距離用時Δt1,DI距離需時間Δt2,則

        DH=v1Δt1DI=v2Δt2

        兩路徑的時間差

        而另一條路徑是在D點后方很短距離的K點下水,這一路徑將在岸上少運動DK距離,但在海中多運動了KM距離.(與前面一樣,這里可近似認為KM=JD=DKcosθ)

        所以兩路徑的時間差

        點評:微元法是分析、解決物理問題中的常用方法,也是從部分到整體的思維方法.用該方法可以使一些復(fù)雜的物理過程用我們熟悉的物理規(guī)律迅速地加以解決,使所求的問題簡單化.在使用微元法處理問題時,需將其分解為眾多微小的“元過程”,而且每個“元過程”所遵循的規(guī)律是相同的,這樣,我們只需分析這些“元過程”,然后再將“元過程”進行必要的數(shù)學方法或物理思想處理,進而使問題求解.使用此方法會加強我們對已知規(guī)律的再思考,從而引起鞏固知識、加深認識和提高能力的作用.

        解法3:函數(shù)解析法

        如圖5所示 ,設(shè)碼頭建在D點,AD與岸的夾角為θ,所需時間為t,可列式得

        圖5

        有數(shù)學萬能公式可得

        代入上式,可得到當θ=60°時t取最小值.則

        所以

        點評:解析法是幾何問題的代數(shù)處理.這種方法思路清晰、解法簡捷,利用了數(shù)學的函數(shù)取極值方法.這里運用了三角函數(shù)代換公式,其實也可利用對函數(shù)求導(dǎo)取極值的方法來求解θ值.

        解法4:等效替代法

        如圖6所示 ,先從B城市出發(fā)沿岸到D點用時Δt1,再下水到A城市用時Δt2.則有

        BD=v1Δt1DA=v2Δt2

        圖6

        點評:掌握等效替代法及應(yīng)用,體會物理等效思想的內(nèi)涵,有助于提高考生的科學素養(yǎng),初步形成科學的世界觀和方法論,為終身的學習、研究和發(fā)展奠定基礎(chǔ).新高考的選拔愈來愈注重考生的能力和素質(zhì),其命題愈加明顯地滲透著物理思想、物理方法的考查,等效思想和方法作為一種迅速解決物理問題的有效手段.

        解法5:費馬原理法

        把CB設(shè)想為空氣和水的分界面,光在空氣中的速度為v1,在水中的速度為v2,則當A發(fā)出的光以θ人射到界面上,根據(jù)費馬原理可知A→D→B是光線由A傳到B的費時最小的路徑,即光從A傳到D后,在界面上發(fā)生折射,折射光線為DB時所用時間為最短,所以滿足

        可見,要使A,B兩城市之間運輸時間最少,轉(zhuǎn)換碼頭D與海島城市A的連線與海岸的夾角θ為60°,則

        所以

        點評:直接利用原理,最易被學生所接受.

        一題多解是以培養(yǎng)學生多解意識,拓展學生解題思路,激發(fā)學生的發(fā)散性思維,誘導(dǎo)學生積極開展思維為主要目的.不同層次的學生可以選擇不同的方法去思考.

        (收稿日期:2015-10-22)

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