李玉龍, 白鴻柏, 何忠波, 路純紅

(軍械工程學(xué)院 車輛與電氣工程系,石家莊　050003)

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金屬橡膠消極減振系統(tǒng)復(fù)雜響應(yīng)特性研究

李玉龍, 白鴻柏, 何忠波, 路純紅

(軍械工程學(xué)院 車輛與電氣工程系,石家莊050003)

摘要：對(duì)金屬橡膠非線性消極減振系統(tǒng)的復(fù)雜響應(yīng)特性進(jìn)行了研究，基于減振器的雙折線本構(gòu)關(guān)系對(duì)隔振器的遲滯恢復(fù)力進(jìn)行了線性等效，推導(dǎo)了減振系統(tǒng)的狀態(tài)方程；對(duì)減振器進(jìn)行了動(dòng)態(tài)加載實(shí)驗(yàn)，利用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)識(shí)別得到了減振器的實(shí)際物理參數(shù)；利用辨識(shí)得到的有量綱的物理參數(shù)對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值仿真，繪制了系統(tǒng)隨激勵(lì)幅值和頻率變化的分岔圖，確定了系統(tǒng)產(chǎn)生混沌振動(dòng)的參數(shù)區(qū)間，分析了金屬橡膠減振系統(tǒng)的單頻輸入多頻甚至寬頻輸出的復(fù)雜響應(yīng)特性，并通過振動(dòng)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行了驗(yàn)證。

關(guān)鍵詞：金屬橡膠；非線性；減振系統(tǒng)；響應(yīng)特性；混沌

金屬橡膠是經(jīng)特殊工藝將一定質(zhì)量的金屬絲有序地排放在模具中，通過沖壓或碾壓成型的方法制成的彈性多孔金屬材料。其內(nèi)部有很多孔洞，既呈現(xiàn)類似橡膠材料的彈性和阻尼性能，同時(shí)又保持金屬的優(yōu)異特性，故稱其為金屬橡膠(Metal Rubber)。該材料具有明顯的非線性動(dòng)力學(xué)特性，目前已在高技術(shù)武器裝備減振緩沖領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用[1-2]。

金屬橡膠作為應(yīng)用日益廣泛的結(jié)構(gòu)功能材料，其制備、建模、理論分析及響應(yīng)計(jì)算等方面已有較多的研究成果[3-6]。但由于該材料具有突出的結(jié)構(gòu)非線性、幾何非線性、材料非線性等非線性性能，使其宏觀上表現(xiàn)出明顯的遲滯非線性特性，而且隨著振動(dòng)頻率和幅值的變化，系統(tǒng)的振動(dòng)穩(wěn)定性發(fā)生變化，會(huì)出現(xiàn)不穩(wěn)定區(qū)域，因此其響應(yīng)特性非常復(fù)雜[7-8]。研究發(fā)現(xiàn)，對(duì)一定參數(shù)的金屬橡膠減振系統(tǒng)，在一定的激勵(lì)條件下，不僅有多種頻率輸出[9]，還有可能產(chǎn)生混沌振動(dòng)[10]，頻域上表現(xiàn)出單頻輸入多頻或?qū)掝l輸出的復(fù)雜特性，這一特性可以大幅改變結(jié)構(gòu)振動(dòng)中噪聲輸出的線譜成分，在消除線譜激勵(lì)方面具有明顯的優(yōu)勢，對(duì)提高船艦的隱身性能非常有效[11-15]，所以，研究金屬橡膠減振系統(tǒng)的復(fù)雜響應(yīng)特性對(duì)金屬橡膠材料在船艦裝備中的進(jìn)一步應(yīng)用，以提高船艦隱身性能具有重要的指導(dǎo)意義。但是，通過查閱文獻(xiàn)可知，對(duì)金屬橡膠非線性減振系統(tǒng)的混沌研究，大多是將非線性振動(dòng)微分方程化成無量綱參數(shù)方程，通過選取適當(dāng)?shù)臒o量綱參數(shù)取值來研究非線性系統(tǒng)的混沌振動(dòng)，而由于金屬橡膠材料制備工藝的限制，目前難以制備出各參數(shù)均為理想設(shè)計(jì)取值的構(gòu)件，一般都僅近似滿足剛度參數(shù)，而阻尼及遲滯環(huán)節(jié)的參數(shù)難以控制。因此，即使掌握了無量綱參數(shù)的取值，也難以直接在工程應(yīng)用中實(shí)現(xiàn)。

本文針對(duì)金屬橡膠非線性消極減振系統(tǒng)的復(fù)雜響應(yīng)特性展開研究，根據(jù)制備金屬橡膠工藝的特點(diǎn)，先對(duì)制備的減振器進(jìn)行正弦加載試驗(yàn)，通過試驗(yàn)數(shù)據(jù)辨識(shí)獲取減振器力學(xué)模型的參數(shù)取值，然后再利用有量綱的減振系統(tǒng)參數(shù)進(jìn)行相關(guān)數(shù)值仿真與試驗(yàn)分析，擬得到有量綱的減振系統(tǒng)參數(shù)下，系統(tǒng)產(chǎn)生多頻振動(dòng)或混沌運(yùn)動(dòng)的激勵(lì)條件，研究內(nèi)容將對(duì)金屬橡膠減振系統(tǒng)在工程實(shí)際中的應(yīng)用具有重要的指導(dǎo)價(jià)值。

1金屬橡膠消極減振系統(tǒng)力學(xué)模型

對(duì)于常見的單自由度金屬橡膠消極減振系統(tǒng)，作如下假設(shè)：① 剛性設(shè)備被一個(gè)單向金屬橡膠減振器支撐；② 只考慮垂直方向的振動(dòng)；③ 忽略減振器的質(zhì)量，以減振器的靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，系統(tǒng)力學(xué)模型如圖1所示。

圖1　單自由度金屬橡膠消極減振系統(tǒng)力學(xué)模型Fig.1 The mechanical model of one DOF metal rubber vibration isolation system

圖1中，m為被減振設(shè)備的質(zhì)量，x1(t)為基座振動(dòng)位移，x2(t)為設(shè)備的絕對(duì)位移，令x(t)=x2(t)-x1(t)為金屬橡膠減振器的變形，減振器的雙折線泛函本構(gòu)關(guān)系式為[2]

(1)

式中：F(t)為金屬橡膠減振器的恢復(fù)力，k1為一次線性剛度系數(shù)，k3為三次非線性剛度系數(shù)，c為黏彈阻尼系數(shù)，它們形成與位移有關(guān)的彈性力和與速度有關(guān)的等效粘性阻尼力，通常被認(rèn)為是無記憶恢復(fù)力；ks為滑移剛度，xs為滑移極限，zs為最大滑移恢復(fù)力，z(t)是金屬橡膠變形過程中干摩擦引起的記憶恢復(fù)力，由于該記憶恢復(fù)力的存在，金屬橡膠減振系統(tǒng)一般表現(xiàn)出明顯的滯后非線性性能。

將記憶恢復(fù)力用雙折線模型表示[3]，如圖2所示。

圖2　雙折線遲滯關(guān)系模型Fig.2 Double broken linear hysteresis model

圖2中xm為最大變形量，正弦加載情況下，xm與加載幅值相等，且一般有xm?xs。為簡化分析，用等效線性化法常對(duì)遲滯環(huán)節(jié)進(jìn)行等效線性化[2]，有

(2a)

(2b)

將記憶環(huán)節(jié)進(jìn)行線性等效，即包含變化的剛度項(xiàng)kd和變化的阻尼項(xiàng)cd，這樣金屬橡膠減振器在減振系統(tǒng)中的本構(gòu)關(guān)系可寫為：

F(t)=[k1x(t)+k3x3(t)]+

(3)

令k=k1+kd，c=c1+cd，并假設(shè)減振器的質(zhì)量很小，忽略不計(jì)，則圖1所示的單自由度金屬橡膠非線性消極減振系統(tǒng)的微分方程可寫為：

(4)

若基座做簡諧振動(dòng)x1(t)=Acos(2πft)，A為基座振動(dòng)振幅，f為基座振動(dòng)頻率，則式(4)可寫成：

(5)

由式(5)可以看出，通過對(duì)金屬橡膠非線性減振系統(tǒng)遲滯環(huán)節(jié)進(jìn)行等效線性簡化，可以將其微分方程轉(zhuǎn)化成Duffing方程的形式，如果方程(5)中的參數(shù)可以任意取值，系統(tǒng)必然會(huì)在某參數(shù)區(qū)間內(nèi)產(chǎn)生混沌振動(dòng)[16-17]。但是必須指出，由于目前金屬橡膠元件制備工藝的限制，一般都需要進(jìn)行多次試制，并通過試驗(yàn)來獲取元件的大概性能參數(shù)，難以直接設(shè)計(jì)得到準(zhǔn)確參數(shù)的元件。而且反復(fù)試制對(duì)制備工藝的調(diào)整，只能粗略的改變?cè)鲄?shù)取值到一定的范圍，依然無法獲得k1、kd、k3、c1、cd的精確取值。所以，對(duì)金屬橡膠減振系統(tǒng)的響應(yīng)分析，必須首先對(duì)減振器進(jìn)行動(dòng)態(tài)試驗(yàn)，并利用試驗(yàn)數(shù)據(jù)識(shí)別出各參數(shù)的準(zhǔn)確值，才能進(jìn)一步進(jìn)行數(shù)值計(jì)算以得到系統(tǒng)最貼近真實(shí)情況的響應(yīng)。

2金屬橡膠減振器試驗(yàn)及其參數(shù)識(shí)別

常用的單自由度金屬橡膠減振器結(jié)構(gòu)及制備的金屬橡膠減振元件如圖3所示，采用上下兩塊金屬橡膠元件并聯(lián)組合使用，能夠使金屬橡膠減振器具有在整體上的拉壓一致性[4]，從而獲得穩(wěn)定的減振性能。

圖3　金屬橡膠減振器Fig.3 Metal rubber damper

對(duì)減振器進(jìn)行正弦加載試驗(yàn)，加載頻率為1 Hz，幅值為2 mm，試驗(yàn)結(jié)果如圖4所示。

圖4　動(dòng)態(tài)試驗(yàn)結(jié)果及辨識(shí)結(jié)果Fig.4 Dynamic experiment andthe result

用遺傳算法對(duì)動(dòng)態(tài)試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行參數(shù)識(shí)別[18]，可得式(1)中各參數(shù)的識(shí)別結(jié)果為k1=133.55 N/mm、k3=14.90 N/mm3、c=1.87 N/(mm/s)、ks=107.67 N/mm、xs=0.82 mm、zs=88.19 N。利用辨識(shí)參數(shù)結(jié)果代入式(1)繪制曲線與試驗(yàn)曲線進(jìn)行比較如圖4所示，從辨識(shí)結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果的比較可以看出，兩條遲滯回線基本吻合，說明辨識(shí)的結(jié)果正確可信。

結(jié)合辨識(shí)結(jié)果，由式(2)計(jì)算得kd≈41.49 N/mm、cd≈1.61 N/(mm/s)，將得到的參數(shù)代入式(5)即可得有量綱的實(shí)際參數(shù)方程。

必須指出，本文對(duì)金屬橡膠隔振器開展的動(dòng)態(tài)試驗(yàn)僅是在振幅為1 mm，頻率為2 Hz的正弦加載條件下進(jìn)行的，在下面的分析中，直接將在該條件下識(shí)別出的隔振器參數(shù)等效為隔振器的參數(shù)，不考慮隔振器參數(shù)隨響應(yīng)的變化。

3系統(tǒng)混沌響應(yīng)數(shù)值仿真研究

(6)

設(shè)基礎(chǔ)振動(dòng)頻率f=20 Hz、振幅A=1～200 m正弦振動(dòng)，振幅變化步長ΔA=0.1，初始條件為[0 0 20]，采用四階Runge-Kutta法求系統(tǒng)響應(yīng)隨激勵(lì)振幅變化的分岔圖如圖5所示。

從圖5可以看出，在20 Hz的激勵(lì)頻率下，當(dāng)激勵(lì)振幅為0～18 mm時(shí)，系統(tǒng)處于周期振動(dòng)狀態(tài)；當(dāng)激勵(lì)振幅為18～22 mm時(shí)，系統(tǒng)振動(dòng)出現(xiàn)分岔；當(dāng)激勵(lì)振幅大于24 mm時(shí)，系統(tǒng)出現(xiàn)混沌振動(dòng)。

討論基礎(chǔ)激勵(lì)頻率對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)的影響，可分別令A(yù)=30 mm、f=10～60 Hz，A=50 mm、f=10～100 Hz，A=100 mm、f=10～200 Hz三種情況，且令頻率步長Δf=0.1，初始條件為[0 0 20]，采用四階Runge-Kutta法求三種激勵(lì)振幅下，系統(tǒng)響應(yīng)隨激勵(lì)頻率變化的分岔圖如圖6所示。

圖5 系統(tǒng)隨激勵(lì)振幅變化的分岔圖Fig.5Bifurcationdiagramintermsofexcitationforce圖6 系統(tǒng)隨激勵(lì)振幅變化的分岔圖Fig.6Bifurcationdiagramintermsofexcitationforce

由圖6可以看出，當(dāng)激勵(lì)幅值為30 mm時(shí)，激勵(lì)頻率在10～27 Hz范圍內(nèi)出現(xiàn)混沌振動(dòng)；當(dāng)激勵(lì)幅值為50 mm時(shí)，激勵(lì)頻率在10～49 Hz范圍內(nèi)出現(xiàn)混沌振動(dòng)；當(dāng)激勵(lì)幅值為100 mm時(shí)，激勵(lì)頻率在10～100 Hz范圍內(nèi)出現(xiàn)混沌振動(dòng)。因此可知，系統(tǒng)振動(dòng)的穩(wěn)定性和幅值、頻率都有關(guān)系，兩者對(duì)系統(tǒng)的影響相互關(guān)聯(lián)，振幅的增大會(huì)使不穩(wěn)定振動(dòng)的頻率范圍增大。這是由于使金屬橡膠呈剛度漸硬特性，會(huì)導(dǎo)致減振系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性曲線出現(xiàn)突跳和滯后現(xiàn)象[8]，隨著振動(dòng)幅度的加大，非線性振動(dòng)跳躍的范圍變大，穩(wěn)定性變差，更容易出現(xiàn)振動(dòng)分岔或分岔再分岔乃至達(dá)到混沌狀態(tài)。

因此可選取A=50 mm，f=20 Hz，初始值取y1=0、y2=0、y3=30，時(shí)間區(qū)間選t=0～50 s，步長Δt=0.001 s，編程計(jì)算系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)最大值為0.26，大于零，且系統(tǒng)是有限的往復(fù)運(yùn)動(dòng)，因此可以判定系統(tǒng)處于混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。再求系統(tǒng)的時(shí)間歷程曲線(初始值為y1=0、y2=0、y3=20和y1=0、y2=0.01、y3=20的曲線比較)、相圖、Poincaré映射圖和頻譜圖，如圖7所示。

圖7　位移時(shí)間歷程曲線、相圖、Poincare映射圖和頻譜圖Fig.7 Displacement time history curve, phase diagram, Poincare map and frequency spectrogram

從圖7的位移時(shí)間歷程曲線比較可知，系統(tǒng)響應(yīng)隨時(shí)間推移沒有穩(wěn)定的狀態(tài)，且微小初始條件的變化會(huì)使系統(tǒng)響應(yīng)有較明顯的變化，說明在該組激勵(lì)參數(shù)下系統(tǒng)響應(yīng)對(duì)初始條件具有敏感性，且長期不可預(yù)測；從系統(tǒng)相圖可以看出，相軌跡充滿相空間的一個(gè)區(qū)域，不重復(fù)且不封閉；從系統(tǒng)的Poincaré映射圖可見，映射點(diǎn)既不是有限點(diǎn)集，也不是封閉曲線；從系統(tǒng)的頻譜圖可以看出，盡管激勵(lì)頻率為20 Hz，但是系統(tǒng)的主要頻率成分有很多個(gè)，如10 Hz、30 Hz、40 Hz及20 Hz都占有相當(dāng)?shù)谋戎兀@說明超諧波、次諧波在金屬橡膠非線性減振系統(tǒng)響應(yīng)中占有相當(dāng)?shù)谋戎?，且定頻激勵(lì)情況下可以明顯的改變系統(tǒng)響應(yīng)的線譜成分，又由于在1～10 Hz、10 Hz附近，20 Hz附近、26～30 Hz及33～40 Hz時(shí)，頻譜圖幾乎是連續(xù)的，可見在給定的激勵(lì)條件下，該金屬橡膠非線性積極減振系統(tǒng)有明顯的復(fù)雜響應(yīng)甚至是混沌響應(yīng)特性。

4試驗(yàn)研究

為進(jìn)一步研究金屬橡膠減振系統(tǒng)的非線性振動(dòng)特性，對(duì)減振系統(tǒng)進(jìn)行試驗(yàn)研究，建立如圖8所示的試驗(yàn)系統(tǒng)，質(zhì)量塊由以上靜態(tài)試驗(yàn)用的兩個(gè)金屬橡膠減振器支撐，放置于豎直振動(dòng)臺(tái)上。

圖8　振動(dòng)實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)Fig.8 Vibration experiment system

圖8中，質(zhì)量塊質(zhì)量為20.3 kg，給定豎直振動(dòng)臺(tái)20 Hz的定頻激勵(lì)，振動(dòng)幅值為50 mm，即基礎(chǔ)激勵(lì)為x1(t)=50cos(40πt)，從靜平衡位置開始激振，在質(zhì)量塊上用加速度傳感器測試質(zhì)量塊的加速度，并用低通數(shù)字濾波器進(jìn)行濾波(150 Hz以下)，排除高頻成分的干擾。待振動(dòng)臺(tái)振動(dòng)穩(wěn)定后開始測試，取其38～48 s內(nèi)的振動(dòng)曲線如圖9所示。

圖9　加速度時(shí)間歷程曲線Fig.9 The comparison of the displacement time history curve

從圖9可以看出，在基礎(chǔ)激勵(lì)為50cos(40πt)的情況下，質(zhì)量塊的加速度響應(yīng)曲線雜亂無章，隨時(shí)間推移也沒有達(dá)到穩(wěn)定的振動(dòng)狀態(tài)，且沒有固定的周期規(guī)律，對(duì)加速度信號(hào)進(jìn)行Fourier變換，得到其歸一化的頻譜圖如圖10所示。

圖10　試驗(yàn)加速度信號(hào)歸一化頻譜圖Fig.10 Normalized acceleration signal spectrum

從圖10可以看出，在20 Hz的定頻激勵(lì)條件下，加速度信號(hào)有多個(gè)主要頻率成分，但在這些頻率附近，其頻譜曲線具有很多連續(xù)部分，這說明試驗(yàn)振動(dòng)響應(yīng)中有很多頻率密集分布，即證明了金屬橡膠具有單頻輸入多頻率輸出的多頻響應(yīng)特性。從較多的連續(xù)頻率區(qū)段還可以判斷，該系統(tǒng)可以產(chǎn)生混沌振動(dòng)。

但是從圖10還可以看出，試驗(yàn)測試的加速度信號(hào)頻譜圖和圖7數(shù)值仿真獲得的頻譜圖有一定的差異，這主要是由于圖7的數(shù)值仿真使用的金屬橡膠減振器參數(shù)是在1 Hz，2 mm正弦激勵(lì)條件下的識(shí)別結(jié)果，圖10的試驗(yàn)系統(tǒng)的振動(dòng)頻率和幅值卻遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于參數(shù)識(shí)別時(shí)的正弦加載試驗(yàn)激勵(lì)頻率和振幅，而金屬橡膠減振器有變剛度和變阻尼特性，不同的振動(dòng)幅值和頻率對(duì)減振器的參數(shù)有一定的影響，因此，圖7與圖10的頻譜圖不可能完全一致。但試驗(yàn)結(jié)果仍能夠驗(yàn)證數(shù)值分析得到的在給定的激勵(lì)條件下系統(tǒng)的復(fù)雜多頻響應(yīng)特性，證明了本文的分析具有一定的工程指導(dǎo)意義。

必須指出，由于金屬橡膠減振系統(tǒng)自身的復(fù)雜性，在實(shí)際工程應(yīng)用中，理論分析盡管能夠提供一定的指導(dǎo)作用，但在理論分析確定大概的激勵(lì)參數(shù)區(qū)間后，仍需要對(duì)減振系統(tǒng)進(jìn)行試驗(yàn)研究，才能最終確定系統(tǒng)產(chǎn)生設(shè)計(jì)要求的復(fù)雜響應(yīng)對(duì)應(yīng)的激勵(lì)參數(shù)。

5結(jié)論

本文對(duì)金屬橡膠非線性消極減振系統(tǒng)的復(fù)雜響應(yīng)特性進(jìn)行了研究，主要通過數(shù)值分析方法說明了激勵(lì)參數(shù)對(duì)實(shí)參數(shù)金屬橡膠減振系統(tǒng)復(fù)雜響應(yīng)的影響，得到了施加適當(dāng)?shù)募?lì)就可使其產(chǎn)生多頻甚至混沌響應(yīng)特性的結(jié)論，并進(jìn)行了試驗(yàn)驗(yàn)證。主要研究結(jié)論如下：

(1) 建立了金屬橡膠減振系統(tǒng)力學(xué)模型，并基于金屬橡膠減振器的雙折線泛函本構(gòu)關(guān)系對(duì)模型的遲滯恢復(fù)力環(huán)節(jié)進(jìn)行了線性等效，得到了系統(tǒng)的狀態(tài)方程。

(2) 通過對(duì)金屬橡膠減振器進(jìn)行了正弦加載動(dòng)態(tài)試驗(yàn)，采用遺傳算法對(duì)動(dòng)態(tài)試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行了參數(shù)識(shí)別，得到了減振器參數(shù)有量綱的物理值。

(3) 結(jié)合辨識(shí)得到系統(tǒng)有量綱的實(shí)際參數(shù)，對(duì)推導(dǎo)的狀態(tài)方程組進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算，并通過求解系統(tǒng)響應(yīng)隨激勵(lì)力和激勵(lì)幅值的分岔圖，確定了系統(tǒng)產(chǎn)生混沌的激勵(lì)參數(shù)。計(jì)算了Lyapunov指數(shù)最大值，繪制了確定參數(shù)下系統(tǒng)響應(yīng)的時(shí)間歷程圖、相圖、Poincaré映射圖和頻譜圖，通過分析說明了金屬橡膠非線性減振系統(tǒng)具有復(fù)雜甚至是混沌振動(dòng)特性。

(4) 對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行了試驗(yàn)研究，通過對(duì)結(jié)果的分析，驗(yàn)證了金屬橡膠非線性減振系統(tǒng)具有復(fù)雜多頻甚至混沌振動(dòng)的特性。

分析過程中均采用有量綱的實(shí)際系統(tǒng)參數(shù)展開分析，符合工程實(shí)際中先得到減振系統(tǒng)的參數(shù)，再進(jìn)行相關(guān)理論計(jì)算的一般順序。為利用金屬橡膠減振系統(tǒng)的復(fù)雜響應(yīng)特性，提供了一般的分析方法，對(duì)金屬橡膠材料的進(jìn)一步推廣應(yīng)用具有重要的理論價(jià)值和工程指導(dǎo)意義。

參 考 文 獻(xiàn)

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Complex response characteristics of a passive metal-rubber vibration isolation system

LIYu-long,BAIHong-bai,HEZhong-bo,LUChun-hong

(Vehicles and Electrical Engineering,Ordnance Engineering College, Shijiazhuang 050003, China)

Abstract:The complex response of a metal-rubber vibration isolation system was studied. Its hysteretic restoring force was simplified with the linear equivalence method based on the double broken-lines constitutive relation for the shock absorber. The mathematical model of the system was built, and its state equation was derived. The dynamic tests of the shock absorber were done, and the physical parameters of the shock absorber were identified by using the test data. The numerical simulation of the system was done by using the identified physical parameters, the response bifurcation diagrams of the system versus excitation force amplitude and frequency were plotted, and the parameters’ intervals of the system to cause chaos vibration were determined. The complex response characteristics of the system with single frequency input and multi-frequency or broadband frequency output were analyzed. Finally, the analysis results were verified with vibration tests.

Key words:metal-rubber; nonlinear; vibration isolation system; response characteristics; chaos

中圖分類號(hào):TB533；O322

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.04.014

通信作者白鴻柏 男，教授，博士生導(dǎo)師，1964年生

收稿日期：2015-01-14修改稿收到日期：2015-03-06

基金項(xiàng)目：武器裝備“十二五”預(yù)先研究項(xiàng)目(51312060404)

第一作者 李玉龍 男，博士，1986年生