伍劭實，趙修斌，龐春雷，段 榮，仝海波

（空軍工程大學(xué) 信息與導(dǎo)航學(xué)院，西安 710077）

北斗雙頻組合動對動高精度相對定位新算法

伍劭實，趙修斌，龐春雷，段 榮，仝海波

（空軍工程大學(xué) 信息與導(dǎo)航學(xué)院，西安 710077）

針對動對動相對定位基線矢量實時變化導(dǎo)致整周模糊度浮點解在動態(tài)情況下難以快速精確求解的問題，提出了一種北斗雙頻動對動相對定位算法：對組合雙差方程基線向量的系數(shù)矩陣進行奇異值分解，并變換組合雙差方程以消除基線參量，將變參數(shù)估計問題轉(zhuǎn)化為定參數(shù)估計問題，然后采用遞推最小二乘算法實時推算組合模糊度的浮點解及其協(xié)方差矩陣，在此基礎(chǔ)上，采用最小二乘模糊度降相關(guān)平差法（LAMBDA）搜索和固定組合模糊度。試驗結(jié)果表明，該方法能夠快速準確固定組合模糊度，與單頻解算相比，初始化時間用時更短，基線誤差在5 cm以內(nèi)，能較好地適用于動對動相對定位。

北斗導(dǎo)航系統(tǒng)；動對動；奇異值分解；遞推最小二乘；雙頻組合；整周模糊度

動對動高精度相對定位是空中加油、艦載飛機著艦、飛機精密編隊飛行等軍事應(yīng)用的核心技術(shù)之一，其關(guān)鍵在于動態(tài)情況下快速、準確地解算出整周模糊度[1]。當前，一般采用先靜態(tài)初始化模糊度而后開始運動的方式實現(xiàn)動態(tài)高精度相對定位。采用這種方式，一旦發(fā)生周跳或衛(wèi)星信號丟失，就需要靜止重新進行初始化，顯然在實際軍事應(yīng)用中是不允許的，也就迫切需要尋求模糊度的動態(tài)初始化方法。

由于動對動相對定位基線矢量實時變化，使得模糊度浮點解在求解時相比于靜態(tài)定位更加困難。一般而言，模糊度的浮點解解算可采用最小二乘法、遞推最小二乘法、卡爾曼濾波等方法。最小二乘屬于批處理算法，計算量大，一般用于對實時性要求不高的靜態(tài)定位中；遞推最小二乘可以實時推算模糊度的浮點解，但其只適用于定參數(shù)估計，不能直接用于動對動；卡爾曼濾波對于運動模型的建立要求較高，若狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣設(shè)計不合理，浮點解的精度就難以滿足要求，這將不利于后續(xù)的模糊度搜索和固定。 為了滿足動態(tài)定位對實時性的要求，許多學(xué)者嘗試從系統(tǒng)模型角度解決這一問題，提出了單歷元解算方法，但由于動對動情況下先驗信息的局限性，使得單歷元解算成功率較低。因此，動對動相對定位始終是國內(nèi)外研究的熱點和難點。

對此，本文從模型和算法兩個角度出發(fā)嘗試解決這一問題，以用于北斗系統(tǒng)動對動相對定位。一方面采用雙頻組合增強系統(tǒng)模型使得模糊度的求解相比于單頻解算更加容易[2]，另一方面將奇異值分解和遞推最小二乘算法相結(jié)合，從而消去基線參數(shù)[3-4]，將變參數(shù)估計問題轉(zhuǎn)化為定參數(shù)估計問題，進而達到在動態(tài)情況下實時精確推算組合模糊度浮點解及其協(xié)方差矩陣的目的，有效實現(xiàn)了模糊度的動態(tài)初始化。

1 雙頻觀測量的線性組合

短基線條件下，B1、B2兩載波頻率上的雙差載波相位觀測方程分別為

式中：下標“1”“、2”分別表示B1和B2頻率；φij為雙差載波相位觀測量，i、j分別代表第i顆北斗衛(wèi)星和第j顆北斗衛(wèi)星；λi(i=1,2)為對應(yīng)頻率的載波波長，l為接收機至衛(wèi)星的單位矢量；b =(bxbybz)T為基線矢量；Nij為雙差整周模糊度； εij為雙差測量噪聲。

將(1)(2)兩式線性組合得到：

當k1、k2為整數(shù)時，也必定是整數(shù)。若組合載波波長越長，則相應(yīng)的組合模糊度也越容易被求解，但由此帶來的雙差載波相位組合測量值的均方誤差也會相應(yīng)增大[5]。假設(shè) B1、B2兩頻率的雙差載波相位測量值（以周為單位）均方誤差互不相關(guān)且相等，即σφ1=σφ2=σ，則組合均方誤差可表示為

其以m為單位的均方誤差為

由此可見，應(yīng)合理選取組合系數(shù)k1和k2，使得組合波長盡量長以利于組合模糊度的求解，同時保證組合相位觀測量均方誤差不至于過大而滿足不了相對定位的精度要求。表1給出了經(jīng)過計算篩選后，波長較長、測量均方誤差較小的若干組合。計算時假設(shè)σ=0.05。

表1 若干組合觀測量的波長及均方誤差Tab.1 Wavelengths and mean square errors of several combinations

2 北斗雙頻動對動高精度相對定位新算法

動對動相對定位時，基線參量b =(bxbybz)T實時變化，隨著觀測時間的增加，每一歷元均會增加3個基線參量，不斷變化或者說不斷增加的基線參量給問題的求解帶來了困難。傳統(tǒng)方法是在靜態(tài)情形下初始化模糊度，當模糊度被正確固定后，其值將不再發(fā)生變化，然后即可實現(xiàn)動態(tài)相對定位的實時解算[6-7]。由于在實際應(yīng)用中常常會發(fā)生周跳和信號遮擋的情況，在諸如空中加油、飛機精密編隊飛行等過程中不可能也不允許再靜止下來重新初始化模糊度，因此應(yīng)考慮模糊度的在航實時解算。對于式(3)，考慮將方程中的基線參量消除，采用遞推最小二乘算法僅對不隨時間改變的模糊度參量實時推算，然后采用LAMBDA算法[8-9]搜索和固定模糊度，從而實現(xiàn)動對動高精度相對定位的實時解算。

2.1 基于奇異值分解的消參方法

假設(shè)在m時刻觀測到n顆北斗衛(wèi)星，則根據(jù)式(3)可組成n-1個組合雙差方程，寫成矩陣形式為

式中：

式中：U為(n-1)×(n-1)酉矩陣，V為3×3酉矩陣，∑=diag(σ1,σ2,…,σr)，σi(i=1,2,…,r)為矩陣Am的全部非零奇異值。將U分塊得到：

由于U為酉矩陣，因此：

式(9)為經(jīng)過奇異值變換消參后得到的新的組合雙差方程，新方程中僅剩下不隨時間變化的模糊度參量，此時原來的變參數(shù)求解問題轉(zhuǎn)變?yōu)槎▍?shù)求解問題，可采用遞推最小二乘實時推算模糊度浮點解及其協(xié)方差矩陣。

2.2 基于遞推最小二乘的模糊度浮點解實時遞推

引理：若A、C、A+BCD均為非奇異方陣，則有如下等式成立：

根據(jù)式(9)，將前m個歷元經(jīng)過奇異值分解消參后得到的組合雙差方程聯(lián)立：

通過式(13)和式(14)可以實時遞推模糊度的浮點解及其協(xié)方差矩陣。

2.3 組合模糊度的搜索與固定

得到組合模糊度浮點解N～及其協(xié)方差矩陣P之后，可采用LAMBDA算法搜索和固定組合模糊度。

首先建立目標函數(shù)[10]：

即可得到組合模糊度最優(yōu)估計值。

3 試驗與分析

在進行實測數(shù)據(jù)試驗的時候發(fā)現(xiàn)，當組合測量值的均方誤差被放大到大于0.25倍波長以后，組合模糊度浮點解的精度會降低，甚至導(dǎo)致難以固定正確的組合模糊度。根據(jù)表1綜合考慮組合波長以及組合后的測量均方誤差，選擇(1,-1)組合進行試驗和分析。

3.1 試驗條件

為驗證本文所提算法的效果，采用基線長度固定情況下動態(tài)試驗的方法。數(shù)據(jù)采集時間為 2014年 6月15日20:30，試驗地點為學(xué)院足球場，兩接收機板卡型號均為司南K501，均連接GPS-702-GG型號的雙頻天線，數(shù)據(jù)采樣率為1 Hz，兩天線固定于已知長度的基線兩端，并放置于小車前端。試驗前測得基線長為3.468 m，取衛(wèi)星截止高度角為15°，觀測到7顆北斗衛(wèi)星，分別為PRN2、PRN3、PRN5、PRN6、PRN8、PRN9、PRN12，選取仰角最高的PRN3作為參考衛(wèi)星。先靜止觀測一段時間，試驗將以此作為動態(tài)解算的參考，然后繞操場運動，速度約為3 m/s。

3.2 試驗過程

先用傳統(tǒng)方法解算出B1和B2單頻模糊度，并根據(jù)組合關(guān)系計算出組合模糊度參考值，然后采用本文算法解算(1,-1)組合模糊度。考慮到短時間內(nèi)觀測量之間的強相關(guān)性，選取第1個歷元和第50個歷元計算模糊度浮點解作為初始值，然后采用遞推最小二乘算法向后推算30 s，在此基礎(chǔ)上采用LAMBDA算法固定模糊度，結(jié)果見表2。以21

N為例（其他模糊度解算情況與之類似），組合模糊度浮點解及其整數(shù)解求解情況如圖1所示。為了比較雙頻組合解算與單頻解算的效果，采用同樣的方法解算B1單頻模糊度，同樣以21

N為例，其浮點解及整數(shù)解求解情況如圖2所示。圖3為根據(jù)組合模糊度反解得到的基線長度及基線誤差。圖4為根據(jù)B1單頻模糊度反解得到的基線長度及基線誤差。

圖1 (1，-1)組合模糊度N12,1-1解算結(jié)果Fig.1 CalculatedN21of combined integer ambiguity of (1,-1)

圖2 B1單頻模糊度N21解算結(jié)果Fig.2 CalculatedN21of single-frequency integer ambiguity on B1

圖3 (1, -1)組合解算基線長度及誤差Fig.3 Baseline length and error calculated through combination of (1,-1)

圖4 B1單頻解算基線長度及誤差Fig.4 Baseline length and error calculated on B1

3.3 結(jié)果分析

由表2可知，由本文算法解算得到的(1,-1)動態(tài)組合模糊度與參考值一致，說明本文算法能夠適用于動態(tài)雙頻測量中；比較圖1和圖2可知，通過本文算法解算模糊度浮點解，其推算過程較為平穩(wěn)，B1單頻模糊度固定正確用時為97 s，組合模糊度固定正確用時為83 s，要稍快于單頻解算；由圖3和圖4可知，基線長度解算結(jié)果與試驗前所測結(jié)果基本一致，但單頻解算精度更高，誤差為1 cm，相比之下組合測量結(jié)果精度稍差，誤差在5 cm以內(nèi)。

對于一般的動對動相對定位應(yīng)用，5 cm的相對定位精度基本能夠滿足要求，此時采用(1,-1)雙頻組合測量，盡管相比于單頻測量，其相對定位精度稍差，但組合模糊度初始化用時更短，更能滿足動對動的實時性要求。

表2 (1, -1)組合模糊度參考值及試驗值Tab.2 Referenced and experimental values of combined integer ambiguity of (1, -1)

4 結(jié) 論

本文提出了北斗雙頻動對動高精度相對定位算法，采用奇異值分解變換組合雙差方程以消除基線參量，將變參數(shù)估計問題轉(zhuǎn)化為定參數(shù)估計問題；然后采用遞推最小二乘實時推算組合模糊度的浮點解及其協(xié)方差矩陣，在此基礎(chǔ)上利用LAMBDA算法進行組合模糊度的搜索與固定。該算法能夠較好地解算動態(tài)組合模糊度，相比于單頻解算，其模糊度初始化時間更短，基線解算誤差在5 cm以內(nèi)，能夠較好地適用于動對動相對定位的應(yīng)用。

由于雙頻組合測量時，任一頻率上的信號出現(xiàn)問題都會影響整個解算過程，因此雙頻觀測量的完好性問題還需進一步研究。

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New method for Beidou dual-frequency kinematic-to-kinematic relative positioning

WU Shao-shi, ZHAO Xiu-bin, PANG Chun-lei, DUAN Rong, TONG Hai-bo
(Information and Navigation College, Air Force Engineering University, Xi’an 710077, China)

In kinematic-to-kinematic relative positioning, the floating solution of the integer ambiguity is hard to quickly and accurately be solved in dynamic situations due to the baseline vector’s real-time change. To solve this problem, a novel algorithm is proposed for Beidou dual-frequency kinematic-to-kinematic relative positioning. Firstly, the coefficient matrix of the baseline vectors of combined double-differential equations are decomposed by singular value decomposition, and the combined double-differential equations are transformed to eliminate the baseline parameters, so that the variable-parameter estimation problem is transformed into the constant-parameter estimation problem. Then, the floating solution and the covariance matrix of combined double-differential integer ambiguities are deduced in real-time by Recursive Least Square method. Based on this, the combined integer ambiguities are searched and fixed by LAMBDA algorithm. Experiment results show that, compared to single-frequency solution method, the proposed method takes less time, and the baseline error is within 5 cm, showing that it is suitable for applying in high-precision kinematic-to-kinematic relative positioning.

BeiDou navigation satellite system; kinematic to kinematic; singular value decomposition; recursive least square; dual-frequency combination; integer ambiguity

TN967.1

：A

1005-6734(2016)06-0758-05

10.13695/j.cnki.12-1222/o3.2016.06.011