江蘇省靖江市斜橋中學(xué)(214500)

盧 煉●

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類比思維在高中數(shù)學(xué)教學(xué)和解題中的實(shí)踐探微

江蘇省靖江市斜橋中學(xué)(214500)

盧 煉●

類比思維就是一種解決數(shù)學(xué)問題的有效思維方式，類比思維是眾多思維中的一種，能夠挖掘事物間的內(nèi)在聯(lián)系，找到事物間存在的相同點(diǎn)，由此進(jìn)行對(duì)比，如此便可提高學(xué)生的解題能力.

類比思維；高中數(shù)學(xué)；解題

類比思維強(qiáng)調(diào)了對(duì)兩種或者兩種以上的事物進(jìn)行對(duì)比，分析兩者的相似之處.類比思維的關(guān)鍵就是聯(lián)想與對(duì)比，聯(lián)想即使用新的信息找出相應(yīng)舊知識(shí)間的聯(lián)系，類比就是在兩者間尋找共同點(diǎn).在高中數(shù)學(xué)教材中，包含了大量抽象的知識(shí)，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中往往覺得困難.針對(duì)此種情況假如能夠?qū)㈩惐人季S應(yīng)用其中，就能夠取得良好的效果.

一、通過類比思維加強(qiáng)新舊知識(shí)的對(duì)比

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)與解題中，借助類比思維，就能夠促使學(xué)生將新舊知識(shí)結(jié)合起來，不斷豐富教學(xué)內(nèi)容，充分激發(fā)學(xué)生的想象力與創(chuàng)造力.不僅能夠幫助學(xué)生鞏固數(shù)學(xué)知識(shí)，還能夠使學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中構(gòu)建新的知識(shí)結(jié)構(gòu).此外，教師在課堂上還可通過新舊知識(shí)的類比，引導(dǎo)學(xué)生加深對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，開拓學(xué)生的思維.例如在探究數(shù)列時(shí)，因?yàn)榈炔顢?shù)列與等比數(shù)列在定義以及通項(xiàng)公式等方面的知識(shí)具有一定的相似性，因此教師可借助類比的方法，通過等差數(shù)列的形式來學(xué)習(xí)等比數(shù)列的性質(zhì).

案例 假設(shè) {an} 和 {bn} 都屬于無窮數(shù)列.

(1)假如 {an} 和 {bn} 都是等比數(shù)列，那么 {an+bn}與{anbn}是否屬于等比數(shù)列？假如是，請(qǐng)列出前n項(xiàng)和公式.

(2)類比(1)，針對(duì)等差數(shù)列提出相關(guān)的真命題，同時(shí)寫出等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式.

①分析兩數(shù)列的公比，按照等比數(shù)列的性質(zhì)來判定{an+bn}與{anbn}是否屬于等比數(shù)列？隨后使用等比數(shù)列的求和公式來解答.

②借助等比中乘類比到等差中和，分析公差是不是為0，由此求出相應(yīng)的等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式.

解 (1)①假設(shè)cn=an+bn，則cn2-cn+1cn-1=(a1q1n-1+b1q2n-1)2-(a1q1n+b1q2n)(a1q1n-2+b1q2n-2).當(dāng)q1=q2時(shí)，對(duì)任意的n∈N，n≥2，cn2=cn+1cn-1恒成立，因此{(lán)an+bn}是等比數(shù)列.

∴Sn=n(a1+b1).

Sn=(a1+b1)(1-q1n)/(1-q1),q1=q2≠1當(dāng)q1≠q2時(shí)，對(duì)任意的n∈N，n≥2，cn2≠cn+1cn-1，{an+bn}不是等比數(shù)列.

②假設(shè)dn=anbn，對(duì)于任意n∈N*，dn+1/dn=an+1bn+1/anbn=q1q2，{anbn}是等比數(shù)列.Sn=n(a1b1)(q1q2=1)，Sn=a1b1(1-q1nq2n)/(1-q1q2)(q1q2≠1).

(2)假如 {an} 和 {bn} 都是等差數(shù)列，公差為d1，d2，則

①{an+bn}是等差數(shù)列；Sn=(a1+b1)n+n(n-1)/2(d1+d2).

②當(dāng)d1與d2至少有一個(gè)是0，那么{anbn}是等差數(shù)列，假如d1=0，Sn=a1b1n+n(n-1)/2a1d2；假如d2=0，Sn=a1b1n+n(n-1)/2b1d2.

③當(dāng)d1與d2都不等于0，那么{anbn}一定不是等差數(shù)列.

此類題目屬于基礎(chǔ)題，主要考查了學(xué)生的類比推理能力，以及對(duì)于等比數(shù)列與等差數(shù)列的判斷，同時(shí)還考查了學(xué)生的計(jì)算能力與解析的能力.通過此種教學(xué)與解題形式，就能夠增強(qiáng)概念與事物的分類分析，有效消除學(xué)生對(duì)新知識(shí)產(chǎn)生的恐懼感，培養(yǎng)學(xué)生舉一反三的能力.

二、通過類比思維，構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

隨著高中數(shù)學(xué)教學(xué)的不斷深入，學(xué)生掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)已經(jīng)逐漸形成了網(wǎng)絡(luò)，創(chuàng)造性思維也得到了有效的發(fā)展.在此過程中，教師就需要通過類比法來揭示數(shù)學(xué)知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，幫助學(xué)生調(diào)整知識(shí)結(jié)構(gòu).

案例：兩個(gè)角的和與差正弦公式sin(α+β)=sinα·cosβ+cosα·sinβ，sin(α-β)=sinα·cosβ-cosα·sinβ，兩個(gè)角的和與差的余弦公式為cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ，cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ.

兩者具有相似的形式與運(yùn)算規(guī)律.通過類比，學(xué)生就能夠深刻的記憶公式以及使用條件，在運(yùn)算的過程中也會(huì)更加熟練.通過類比，學(xué)生能夠清楚地認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)知識(shí)的使用條件與變化規(guī)律，在運(yùn)用的過程中也會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.在教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生類比概念與性質(zhì)，也就能夠明確數(shù)學(xué)知識(shí)間的區(qū)別，由此便可建立起橫向或者縱向聯(lián)系，由此構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，同時(shí)還可發(fā)現(xiàn)很多新的問題.

綜上所述，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)按照學(xué)生的思維特點(diǎn)以及數(shù)學(xué)課程的內(nèi)容，借助類比思維來提高教學(xué)效果.類比思維在數(shù)學(xué)課堂上與解題中的運(yùn)用，恰好能夠滿足新課標(biāo)對(duì)于高中數(shù)學(xué)的要求，同時(shí)也是高中數(shù)學(xué)創(chuàng)新的表現(xiàn)，會(huì)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的形成與知識(shí)結(jié)構(gòu)的合理構(gòu)建產(chǎn)生積極的影響，應(yīng)當(dāng)?shù)玫浇處煹闹匾?

[1] 劉余猛,張華娟. 數(shù)學(xué)解題中“簡(jiǎn)化方法”的應(yīng)用——培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的重要途徑之一[J]. 無錫南洋職業(yè)技術(shù)學(xué)院論叢，2012(Z1)

[2] 張才祖. 探究類比思維在高中數(shù)學(xué)教學(xué)和解題中的運(yùn)用[J]. 語數(shù)外學(xué)習(xí)(數(shù)學(xué)教育)， 2013(10)

[3] 倪興龍. 類比思維在高中數(shù)學(xué)教學(xué)和解題中的運(yùn)用考述[J]. 語數(shù)外學(xué)習(xí)(數(shù)學(xué)教育)，2013(02)

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