四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院(610068)陳艷 張紅

從一節(jié)課管窺高中數(shù)學(xué)教師的MKT

四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院(610068)陳艷 張紅

MKT即面向教學(xué)的數(shù)學(xué)知識,它是一種特殊形式的、對教學(xué)特別有用的數(shù)學(xué)知識,由學(xué)科數(shù)學(xué)知識和學(xué)科教學(xué)知識組成.事實上,考查和理解教師在教學(xué)時需要知道什么,是當前數(shù)學(xué)教師教育研究的一個趨勢.而本研究則是把MKT框架應(yīng)用于“排列與組合的應(yīng)用”的教學(xué)實踐中,為排列與組合的應(yīng)用教學(xué)研究提供了一個新的視角,且關(guān)注教師面向教學(xué)的數(shù)學(xué)知識.應(yīng)用視頻分析法和訪談法來分析中學(xué)數(shù)學(xué)教師在MKT的各個成分上表現(xiàn)如何?

MKT;排列與組合的應(yīng)用;視頻分析法和訪談法

1.言

數(shù)學(xué)教師專業(yè)發(fā)展的目標包括信念、知識、能力等,其中的知識可以用美國數(shù)學(xué)教育家鮑爾和他的研究團隊所提出的MKT理論來刻畫.MKT是“面向教學(xué)的數(shù)學(xué)知識”( Mathematical Knowledge for Teaching)的簡稱,指的是數(shù)學(xué)教學(xué)中所需要的、能用于教學(xué)的、有益于教學(xué)的數(shù)學(xué)知識[1?2],它是由學(xué)科知識和學(xué)科教學(xué)知識有機融合而成的,前者包括一般內(nèi)容知識(CCK)、專門內(nèi)容知識(SCK)和水平內(nèi)容知識(HCK);后者包括內(nèi)容與學(xué)生的知識(KCS)、內(nèi)容與教學(xué)的知識(KCT)和內(nèi)容與課程知識(KCC).

本文從一節(jié)高中數(shù)學(xué)課出發(fā),管窺國內(nèi)高中數(shù)學(xué)教師在課堂教學(xué)中,具有什么樣的MKT,更具體地說,本文旨在通過一節(jié)高中數(shù)學(xué)課透視中學(xué)數(shù)學(xué)教師在MKT的各個成分上表現(xiàn)如何?

2.究方法

本文研究對象為成都市某中學(xué)的一名具有12年教齡的女教師L.L教師于2014年講授的一節(jié)高二年級公開課,課題為“排列與組合的應(yīng)用”.本節(jié)課的主要環(huán)節(jié)如下:

(1)第一個環(huán)節(jié)是課前練習(xí)有關(guān)排列與組合的糾錯.

(2)第二個環(huán)節(jié)對排列與組合的公式進行復(fù)習(xí)鞏固;L教師主要強調(diào)在記公式時不要單純的機械記憶,而是要抓住它們之間的聯(lián)系.

(3)第三個環(huán)節(jié)講解新課,即排列與組合的綜合應(yīng)用,是本節(jié)課的重點和難點;首先L教師讓學(xué)生解答下列問題:從6名短跑運動員中選4人參加4×100米接力賽,如果甲不能跑第一棒,乙不能跑第四棒,問共有多少種參賽方法?

研究者先聽課,課后對L教師進行了訪談.對整節(jié)課進行錄像并全部轉(zhuǎn)錄成文字,從中分析教師的MKT;再通過對L的訪談進一步印證所確定的MKT.對訪談進行錄音,并轉(zhuǎn)錄成文字材料.

3.究結(jié)果與分析

數(shù)學(xué)教師的MKT包括6部分內(nèi)容:內(nèi)容與課程的知識,水平知識,內(nèi)容與學(xué)生的知識,內(nèi)容與教學(xué)知識,一般內(nèi)容知識,專門內(nèi)容知識.下面就從L教師上的“排列與組合的應(yīng)用”這節(jié)課分析其具有的MKT.

3.1 L教師的內(nèi)容與課程知識

KCC代表內(nèi)容與課程知識,是指特定主題的知識的源型和演化歷程的知識,及其在教科書的概念體系、邏輯結(jié)構(gòu)中的位置、來龍去脈的知識和橫向聯(lián)系的知識.看L教師是如何按排列與組合的發(fā)生、發(fā)展過程來呈現(xiàn)的.

本節(jié)課是選修教材2–3第一章第二節(jié)“排列與組合”的第二課時.教師沒有直接開始排列與組合綜合運用的學(xué)習(xí),而是首先通過兩道簡單的例題,提出排列和組合的概念,以及兩者的區(qū)別與聯(lián)系,其教學(xué)意圖有:(1)讓學(xué)生體會排列與組合在實際問題解決中的作用,增強他們的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識; (2)讓學(xué)生了解排列與組合分別應(yīng)用于哪種情形,幫助他們構(gòu)建整體的知識結(jié)構(gòu);(3)為本節(jié)課學(xué)習(xí)排列與組合的應(yīng)用打基礎(chǔ).教師發(fā)現(xiàn):在第一二兩道題中同學(xué)都能做對,而在第三題中,教師發(fā)現(xiàn)部分同學(xué)出錯,在第四題中,同學(xué)們能有多種方法解決,其中就是排列與組合的綜合運用,于是,排列與組合的綜合應(yīng)用的學(xué)習(xí)自然發(fā)生了.根據(jù)知識的發(fā)生、發(fā)展過程,教師調(diào)整了它們在教材中的順序,以更好地促進學(xué)生的數(shù)學(xué)理解.

3.2 L教師的內(nèi)容與學(xué)生知識

KCS代表內(nèi)容與學(xué)生的知識,指的是學(xué)生對具體數(shù)學(xué)內(nèi)容的思維方式、學(xué)習(xí)困難和誤解的知識.在教學(xué)過程中,教師需要了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況,包括學(xué)生的已有認知基礎(chǔ)、學(xué)習(xí)難點、認識誤區(qū)、學(xué)習(xí)困惑、學(xué)習(xí)錯誤、思維方式和學(xué)習(xí)態(tài)度等.

L教師是采取對話的方式來試圖了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況.下面分析L教師是如何開展教學(xué)對話并從中來了解學(xué)生學(xué)習(xí)情況的:

(1)教師在教學(xué)對話中注重激發(fā)學(xué)生的思維

師:向一明,你來給大家解釋一下,雖然錯了,但是我們要一起找原因,你是怎么想的這個式子?

生:4個中取3個.每個至少1個.先保證每所學(xué)校都有一位老師,那分走了3個老師,還有第四個,這第四個老師選學(xué)校一共有三種.

師:這個理解起來非常好理解,但是你的這個答案比正確答案剛好多了一倍,那請大家思考,為什么恰好多了一倍?這原因在哪里?請大家想想怎樣舉例子來說明?

生:比如說,甲乙丙丁四個人,取3個去三所學(xué)校.

生:假設(shè)甲去了第一所.

師:先排甲丙丁,這樣乙還是可能到第幾所學(xué)校去?

生:第一所.

師:大家看一下,這兩種情況都在我的算法里面,而對于這道題來說,這兩種是算一次,還是算兩次呢?

生:一次.

師:所以要把這個式子改對也可以,怎么改呀?其實多一倍,就是這兩個人分在同一所學(xué)校多算了一次,那我只需要干嘛就完了?

生:除以2.

從以上教學(xué)對話中可以看出,所展開的教學(xué)對話充分促進了學(xué)生的思維參與,學(xué)生的學(xué)習(xí)情況在其思維活動過程中得以顯現(xiàn).教師通過練習(xí)了解學(xué)生的易錯點,教師不是直接告訴錯誤的原因,而是牽引學(xué)生,讓學(xué)生自己去找到錯誤的根源,并循序漸進地往正確思路靠近.為了了解學(xué)生是否真正的理解學(xué)習(xí)內(nèi)容,讓學(xué)生用具體例子表征,對錯誤的地方感受更深刻,更能形象直觀地理解,并能與實際生活相聯(lián)系.

(2)教師在教學(xué)中能夠猜測學(xué)生可能的想法,學(xué)生可能感到困惑的地方,教師也能夠傾聽并解釋學(xué)生出現(xiàn)的不完整不成熟的想法.

生:針對新課的例題,我用的是間接法,就是從6名運動員選4名全排然后它說甲不能跑第一棒,就減去甲跑第一棒的乙不能跑第四棒,就減去乙跑第四棒做完之后發(fā)現(xiàn)減去的時候有重復(fù),就又加回來一個式子就是

(3)在選擇例子時,教師能夠預(yù)測哪些例子學(xué)生會感興趣、能激發(fā)他們積極參與.L教師在教學(xué)設(shè)計時考慮學(xué)生的差異,解決的策略是:例題設(shè)計由淺入深,在變式中尋求思維的升華,讓學(xué)生體會自我效能感,建立數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣感,在新課例題練習(xí)時,要求一題多解,讓學(xué)生體會各種方法.在這過程中L教師盡量讓多位學(xué)生參與,通過讓學(xué)生自講自寫,把課堂還給學(xué)生,并要求學(xué)生解釋思路和方法,讓他們自己去發(fā)現(xiàn)解題的理論基礎(chǔ).

3.3 L教師關(guān)于內(nèi)容與教學(xué)的知識

KCT代表內(nèi)容與教學(xué)的知識,是指關(guān)于具體數(shù)學(xué)內(nèi)容的不同表征在教學(xué)中的優(yōu)缺點,不同例子引入課題的優(yōu)劣性的知識.

本節(jié)課中,L教師采用上節(jié)課的練習(xí)糾錯來回顧排列、組合的概念與公式,以及兩者的區(qū)別與聯(lián)系,由淺入深地引出排列與組合的綜合應(yīng)用.對于應(yīng)用問題,L教師要求學(xué)生不僅能列出算式,還能舉出現(xiàn)實生活中的例子加以解釋,更清晰地呈現(xiàn)解題過程,讓學(xué)生理解得更深刻.

3.4 L教師的一般內(nèi)容知識

CCK代表一般內(nèi)容知識,是指中小學(xué)各階段對所有學(xué)生普遍要求的一類數(shù)學(xué)內(nèi)容知識,即學(xué)生通過中小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)掌握的知識與技能.

L教師熟悉排列和組合的公式與運算,以及推導(dǎo)過程;熟悉排列和組合之間的聯(lián)系與區(qū)別;掌握常規(guī)題型的通解通法,也就是本節(jié)課例題的特殊優(yōu)先原則.

3.5 L教師的專門內(nèi)容知識

SCK代表專門內(nèi)容知識,是為了數(shù)學(xué)教學(xué)而必備的更為專門化的一類學(xué)科知識.傳道授業(yè),不僅要知其然,還要知其所以然.下面將分3類分別討論L教師的表現(xiàn).

(1)解釋常規(guī)的法則、程序的數(shù)學(xué)意義

排列、組合是計數(shù)原理的特殊應(yīng)用,所以公式的講解用計數(shù)原理,新課完成后,進行習(xí)題課時,利用對比教學(xué)強化公式,聯(lián)系:都是從n個不同元素取出m個,區(qū)別:—排成一列,有順序;—組成一組,無順序.組合公式可以由排列公式推導(dǎo),所以我們要清楚排列和組合有的時候是可以相互轉(zhuǎn)化的,互相聯(lián)系起來.

(2)診斷學(xué)生所犯錯誤的本質(zhì)

學(xué)生不理解排列與組合的公式的本質(zhì)含義,在實際問題解決中容易將兩者混為一談.排列、組合一章的知識相對獨立,教材上的例題學(xué)習(xí)簡單,而高考考綱中要求的層次是最高層,所以學(xué)生往往覺得這一章很難.

(3)解決非常規(guī)問題或應(yīng)用非常規(guī)的解題方法

有學(xué)生給出如下解法.特殊的位置處理,我們可以從題干中得出第一棒和第四棒是特殊的位置,因為甲不能跑第一棒,就有5種選擇,第一棒如果是另外4個人跑,就直接是4,第一棒是乙跑就是1,再去考慮第四棒,乙沒有參加第一棒,那么第四棒除了乙就有4種選擇,剩下就是4種和3種,第二類因為乙已經(jīng)跑了,剩下的5個人都可以跑,所以就是1和5,然后再乘以4乘以3,把兩類加起來就是答案.式子: 4×4×4×3+1×5×4×3=252.

對于上述非常規(guī)方法,L教師能立即判斷該方法是可行的,并沒有否定學(xué)生的成果,同時把這個方法給面向全班學(xué)生重新解釋一遍,讓大家都能理解,在理解的基礎(chǔ)上,要求學(xué)生把該方法整理一下,把分類計數(shù)用排列與組合符號表示.L教師引導(dǎo)學(xué)生一步一步分析,自己得出結(jié)論.通過該方法,L教師總結(jié)出排列與組合其實就是兩類特殊的計數(shù),我們可以把它返璞歸真,換成我們的分步計數(shù).讓學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更規(guī)范和嚴密性.學(xué)生有不同解法時,一定會提供機會讓學(xué)生展示,一方面?zhèn)鬟f信息:數(shù)學(xué)就是“思維的體操”,另一方面在不同解法的探究中找到通解通法和優(yōu)質(zhì)解法.

4.論與啟示

從一節(jié)數(shù)學(xué)課透視高中數(shù)學(xué)教師的MKT肯定具有一定的片面性和局限性,但折射出的問題可能更具針對性.通過分析,發(fā)現(xiàn)L教師在講授本節(jié)知識主要涉及到MKT的五個子類別:CCK、SCK、KCS、KCT、KCC,在HCK上表現(xiàn)得最薄弱,但教師在教學(xué)中亦需要用聯(lián)系的視角看待各數(shù)學(xué)專題,用數(shù)學(xué)的眼光從高觀點下審視中學(xué)數(shù)學(xué),這就需要教師具備橫縱向內(nèi)容知識.無疑,橫縱向內(nèi)容知識的缺乏必將對職前教師入職后的教學(xué)造成不良影響,如何在職前培訓(xùn)中提高職前教師的HCK,以及HCK的缺乏對入職后的實際教學(xué)會產(chǎn)生怎樣的影響,值得每位數(shù)學(xué)教育工作者深思.我們迫切需要基于MKT的教學(xué),研究推動學(xué)生思維發(fā)展的課堂教學(xué),努力創(chuàng)造適合學(xué)生的數(shù)學(xué)教育,致力于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與發(fā)展.

[1]Ball,D.L.,&Bass,H..Towardapractice-basedtheoryofmathematical knowledge for teaching[C].In B.Davis&E.Simmt(Eds.),Proceedings of the 2002 annual meeting of the Canadian Mathematics Education Study Group.2003,3-14

[2]Ball,D.L.,Thames,M.H.,Phelps,G.Content knowledge for teaching: What makes it special?[J].Journal of Teacher Education,2008,59(5) :389-407.

[3]徐章韜.師范生面向教學(xué)的數(shù)學(xué)知識之研究—基于數(shù)學(xué)發(fā)生發(fā)展的視角[M].北京:科學(xué)出版社,2013.

[4]吳駿等.職前教師數(shù)學(xué)知識準備現(xiàn)狀的調(diào)查研究[J].曲靖師范學(xué)院報,2011,29(6).

[5]龐雅麗.職前數(shù)學(xué)教師的MKT現(xiàn)狀及發(fā)展研究[D].上海:華東師范大學(xué),2011.