楊宏印，盧海林，陳旭勇，王　波

(1.武漢工程大學(xué) 資源與土木工程學(xué)院，湖北 武漢　430073；2.中鐵大橋科學(xué)研究院有限公司，湖北 武漢　430034)

車—線—橋耦合振動(dòng)是高速鐵路研究中的一個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題。在為研究該問(wèn)題而進(jìn)行有限元建模時(shí)，由于往往采用相同長(zhǎng)度的橋梁?jiǎn)卧蛙壍绬卧猍1-3]，使得橋跨結(jié)構(gòu)越大，建模和計(jì)算越復(fù)雜。為提高計(jì)算效率，文獻(xiàn)[4—5]指出可以根據(jù)實(shí)際情況采用不同長(zhǎng)度的單元進(jìn)行劃分。變截面連續(xù)梁橋具有受力性能優(yōu)越和跨越能力強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)，已被廣泛用于鐵路交通中。這種橋型通常采用分節(jié)段施工法，為模擬施工過(guò)程及分析長(zhǎng)期受力性能，建模時(shí)需要考慮實(shí)際施工節(jié)段。此外，軌道不平順是引起輪軌動(dòng)力作用變化，進(jìn)而誘發(fā)整個(gè)車—線—橋系統(tǒng)振動(dòng)的重要激勵(lì)[6-8]。軌道隨機(jī)不平順通常采用連續(xù)波長(zhǎng)描述，而明確軌道不平順的敏感波長(zhǎng)是線路運(yùn)營(yíng)亟待解決的問(wèn)題[9-10]。

本文針對(duì)車—橋耦合振動(dòng)計(jì)算量大的問(wèn)題，提出用任意長(zhǎng)度組合的軌道—橋梁耦合單元建立基于橋梁施工節(jié)段長(zhǎng)度的車—線—橋耦合系統(tǒng)有限元模型的方法，用于車—線—橋耦合系統(tǒng)振動(dòng)分析；并結(jié)合任意波長(zhǎng)不平順的生成方法研究軌道隨機(jī)不平順的敏感波長(zhǎng)。

1　基于橋梁施工節(jié)段長(zhǎng)度的系統(tǒng)耦合振動(dòng)模型

圖1為列車通過(guò)某高速鐵路變截面連續(xù)梁橋時(shí)的耦合系統(tǒng)模型。它包含列車、軌道和橋梁共3個(gè)子系統(tǒng)，其間通過(guò)輪軌關(guān)系和橋軌關(guān)系連接起來(lái)。1個(gè)車輛包含1個(gè)車體、2個(gè)轉(zhuǎn)向架和4個(gè)輪對(duì)，車體和轉(zhuǎn)向架有沉浮和點(diǎn)頭2個(gè)自由度，輪對(duì)只有沉浮1個(gè)自由度，共有10個(gè)自由度。通過(guò)平面Euler-Bernoulli梁模擬軌道和橋梁，并用線性化的Hertz彈性接觸理論模擬輪軌接觸[11-12]。橋上鋪設(shè)雙塊式無(wú)砟軌道，將軌道板等二期恒載以參振質(zhì)量的方式加于橋梁模型中，而將鋼軌視為離散彈性點(diǎn)支承上的梁[6]。

為提高車—線—橋耦合振動(dòng)的計(jì)算效率，采用較短的軌道單元。將橋梁和軌道結(jié)構(gòu)離散，并根據(jù)要求細(xì)化軌道單元，得到圖2所示不同長(zhǎng)度組合的軌道—橋梁耦合單元，圖中l(wèi)為單元長(zhǎng)度，下標(biāo)b和r分別代表橋梁和軌道，且lb=Alr，A為1個(gè)橋梁?jiǎn)卧洗嬖诘能壍绬卧獋€(gè)數(shù)，kr和cr分別為軌下膠墊的等效剛度和阻尼。

圖1　列車—軌道—橋梁系統(tǒng)模型

圖2　任意長(zhǎng)度組合的軌道—橋梁耦合單元

橋梁結(jié)構(gòu)采用Rayleigh阻尼，橋梁?jiǎn)卧膭?dòng)力方程為

(1)

其中，

式中：M，C和K分別為質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣；qe為位移向量；上標(biāo)e表示單元；m為軌道單元編號(hào)；N為Hermite插值向量；Fmrb(x,t)為軌道傳給橋梁的力。

軌道傳給橋梁的力Fmrb可表示為

(2)

式中：ymr和yb分別為第m個(gè)軌道單元節(jié)點(diǎn)處軌道和橋梁的位移，后者可通過(guò)橋梁?jiǎn)卧?jié)點(diǎn)位移的插值得到。

將式(2)代入式(1)，整理可得

(3)

其中，

式(3)為圖2中單個(gè)軌道單元作用下橋梁?jiǎn)卧膭?dòng)力方程。同理可得圖2中第m個(gè)軌道單元的動(dòng)力方程為

(4)

其中，

由式(3)和式(4)便可得到圖2中第m個(gè)軌道—橋梁耦合單元?jiǎng)恿Ψ匠虨?/p>

(5)

車輛考慮為剛體[5, 13]，第i輛車的動(dòng)力方程為

(6)

式中：下標(biāo)v表示車輛。

2　車—線—橋耦合系統(tǒng)有限元方程及求解

根據(jù)式(5)，由形成矩陣的“對(duì)號(hào)入座”法則便可得到軌道—橋梁系統(tǒng)動(dòng)力方程，再結(jié)合車輛動(dòng)力方程式(6)，便可得到車—線—橋耦合系統(tǒng)的有限元方程為

(7)

式中：F為荷載向量；下標(biāo)c表示輪軌耦合項(xiàng)，組合下標(biāo)為相應(yīng)的耦合項(xiàng)。

式(7)中Kcr，Krv，Kvr，F(xiàn)cr和Fcv均與輪軌耦合有關(guān)，是時(shí)變的，而其他項(xiàng)均是非時(shí)變的。在求解時(shí)先組裝非時(shí)變部分，作為初始方程，然后在每個(gè)時(shí)間步根據(jù)時(shí)間和實(shí)際輪軌接觸狀態(tài)疊加時(shí)變部分，便可得到系統(tǒng)振動(dòng)方程，系統(tǒng)振動(dòng)方程的組裝和計(jì)算流程見(jiàn)文獻(xiàn)[3]。采用Newmark-β方法直接積分求解，不需迭代。

3　基于橋梁施工節(jié)段長(zhǎng)度的耦合振動(dòng)分析

現(xiàn)以某高速鐵路連續(xù)梁橋?yàn)楣こ虒?shí)例，建立基于橋梁施工階段長(zhǎng)度的車—線—橋耦合系統(tǒng)模型，進(jìn)行車—線—橋耦合系統(tǒng)振動(dòng)分析。橋梁主梁為4跨預(yù)應(yīng)力混凝土連續(xù)箱梁，全長(zhǎng)160 m，采用掛籃懸臂法施工，混凝土彈性模量為34.5 GPa，阻尼比取0.025，橋墩墩高為20 m，如圖3(a)所示。根據(jù)施工過(guò)程可將主梁劃分為50個(gè)節(jié)段。每個(gè)墩左右各存在長(zhǎng)度為17 m、高度按拋物線變化的變截面段。每個(gè)長(zhǎng)17 m的變截面段有5個(gè)節(jié)段，若按0.5 m進(jìn)行劃分，則共有35個(gè)關(guān)鍵截面(見(jiàn)圖3(b))。采用MIDAS/Civil建立了橋梁有限元模型，如圖3(c)所示。列車由5輛車組成，車輛和軌道模型參數(shù)參見(jiàn)文獻(xiàn)[3-4]。

圖3　變截面連續(xù)梁橋模型(單位：m)

對(duì)分節(jié)段施工的橋梁建模時(shí)，應(yīng)盡量根據(jù)其節(jié)段的長(zhǎng)度劃分單元，但橋梁節(jié)段長(zhǎng)度普遍較大，故為提高計(jì)算精度和方便建模，主梁?jiǎn)卧愿鶕?jù)節(jié)段長(zhǎng)度劃分，而將軌道單元細(xì)化。為說(shuō)明這樣考慮的合理性，對(duì)比分析如下3種單元?jiǎng)澐止r。

工況1：主梁?jiǎn)卧膭澐指鶕?jù)節(jié)段的長(zhǎng)度劃分，橋上軌道單元的劃分按0.5 m長(zhǎng)劃分。

工況2：主梁?jiǎn)卧蜆蛏宪壍绬卧膭澐志?.5 m長(zhǎng)劃分。

工況3：主梁?jiǎn)卧蜆蛏宪壍绬卧膭澐志鶕?jù)節(jié)段的長(zhǎng)度劃分。

在這3種工況中，對(duì)于過(guò)渡段上軌道單元的長(zhǎng)度均采用0.5 m，橋墩單元的劃分也一樣。列車以100～425 km·h-1速度通過(guò)時(shí)，不同工況下左中跨跨中橋梁和軌道的最大加速度響應(yīng)如圖4和圖5所示。

由圖4和圖5可見(jiàn)，工況1和工況2下所得結(jié)果非常一致，并且由于工況2中對(duì)橋梁?jiǎn)卧蛙壍绬卧獎(jiǎng)澐值米罹?xì)，因此其分析結(jié)果是可靠的[5, 12]，這相應(yīng)說(shuō)明工況1的計(jì)算精度也較高；工況3的結(jié)果卻與工況1和工況2的結(jié)果明顯不同，這說(shuō)明橋梁和軌道的振動(dòng)加速度響應(yīng)對(duì)軌道單元的長(zhǎng)度很敏感。

圖4　左中跨跨中橋梁最大加速度

圖5　左中跨跨中處軌道最大加速度

圖6為列車以200 km·h-1通過(guò)時(shí)不同工況下中間車輛的1位輪對(duì)的輪軌接觸力時(shí)程曲線。

圖6　中間車輛1位輪對(duì)的輪軌接觸力時(shí)程

由圖6可見(jiàn)，工況1和工況2下所得結(jié)果非常一致，表明橋梁?jiǎn)卧拈L(zhǎng)度取施工節(jié)段的長(zhǎng)度而只對(duì)軌道單元進(jìn)行細(xì)化方法能達(dá)到滿意的計(jì)算精度；但在工況3中，輪軌接觸力響應(yīng)幅值明顯比較大，特別在橋墩處的振蕩最為劇烈，說(shuō)明計(jì)算結(jié)果不可靠。

綜上，相對(duì)于工況3，在工況1和工況2的單元?jiǎng)澐址椒ň哂休^高的計(jì)算精度。同工況2相比，在工況1下系統(tǒng)模型的自由度會(huì)減少，從而節(jié)省計(jì)算時(shí)間，在相同計(jì)算機(jī)環(huán)境下，兩者的計(jì)算時(shí)間分別為451.7和223.3 s，后者僅為前者的49%。因此，建立耦合系統(tǒng)模型時(shí)，應(yīng)根據(jù)實(shí)際施工節(jié)段長(zhǎng)度建立橋梁?jiǎn)卧?，而采用分布均勻的較短的軌道單元，既能方便建模，也能達(dá)到滿意的計(jì)算精度和計(jì)算效率。說(shuō)明本文方法是可行的。

4　橋上軌道隨機(jī)不平順的敏感波長(zhǎng)分析

實(shí)際線路的幾何狀態(tài)往往是隨機(jī)的，通常用功率譜密度函數(shù)(軌道譜)描述。本文對(duì)波長(zhǎng)為1～30 m的中波長(zhǎng)軌道不平順采用德國(guó)高速鐵路“低干擾”譜模擬，即

(8)

式中：Sv(Ω)為功率譜密度；Ω為空間頻率，rad·m-1；Av為粗糙度常數(shù)，其值為4.032×10-7m2·rad·m-1；Ωc和Ωr為空間截?cái)囝l率，其值分別取0.824 6和0.020 6 rad·m-1。

對(duì)波長(zhǎng)為0.03～1 m的短波不平順，本文采用文獻(xiàn)[8]建議的軌道短波不平順公式模擬，即

Sv(Ω)=0.036Ω-3.15

(9)

根據(jù)軌道不平順頻域功率譜密度函數(shù)，采用逆傅里葉變換法[6]便可生成軌道不平順的時(shí)域模擬樣本。若對(duì)整個(gè)頻率范圍進(jìn)行等帶寬離散，再令不在截?cái)囝l率范圍的譜密度為0，便可得到任意波長(zhǎng)的時(shí)域樣本。根據(jù)式(8)可生成1～30 m的中波長(zhǎng)軌道不平順的時(shí)域樣本，根據(jù)式(9)可生成0.03～1 m的短波長(zhǎng)軌道不平順的時(shí)域樣本，將兩者疊加便可得到波長(zhǎng)為0.03～30 m的軌道不平順時(shí)域樣本，如圖7所示。

采用上節(jié)基于橋梁節(jié)段長(zhǎng)度的車—線—橋耦合系統(tǒng)有限元模型分析橋上軌道隨機(jī)不平順的敏感波長(zhǎng)。不同列車速度和軌道不平順下左中跨橋梁跨中的最大響應(yīng)如圖8所示。

圖7　波長(zhǎng)區(qū)間為0.03～30 m不平順的時(shí)域樣本

圖8　左中跨跨中橋梁最大響應(yīng)

由圖8可見(jiàn)：各不平順條件下的橋梁位移響應(yīng)與軌面光滑時(shí)的相差不大，說(shuō)明軌道不平順對(duì)橋梁位移的影響有限；當(dāng)列車速度小于175 km·h-1時(shí)，橋梁的振動(dòng)加速度主要來(lái)源波長(zhǎng)0.03～1 m短波軌道不平順的貢獻(xiàn)；而當(dāng)列車速度大于175 km·h-1時(shí)，波長(zhǎng)1～5 m的軌道不平順對(duì)橋梁振動(dòng)加速度的影響很明顯。

圖9為不同列車速度和軌道不平順條件下左中跨跨中橋上軌道最大響應(yīng)。由圖9可見(jiàn)：橋上軌道的最大位移隨列車速度變化的趨勢(shì)不同于橋梁位移，這是由于橋軌間為彈性連接，使得橋梁和軌道的振動(dòng)不同；當(dāng)列車速度大于175 km·h-1時(shí)，橋上軌道的最大位移受波長(zhǎng)1～5 m軌道不平順的影響較大；橋上軌道振動(dòng)加速度對(duì)波長(zhǎng)為0.03～1 m的短波軌道不平順很敏感。

列車中間車輛的車體最大振動(dòng)加速度響應(yīng)如圖10所示。由圖10可見(jiàn)，列車高速通過(guò)時(shí)，波長(zhǎng)為0.03～1 m的軌道不平順對(duì)車體的振動(dòng)加速度影響很小，說(shuō)明車輛的懸掛系統(tǒng)很好地隔離了短波軌道不平順激起的高頻振動(dòng)；在5～30 m波長(zhǎng)中的3個(gè)子波長(zhǎng)軌道不平順對(duì)車體振動(dòng)加速度的影響隨列車速度的增加而增大。

圖9　左中跨跨中軌道最大響應(yīng)

圖10　中間車輛的車體最大振動(dòng)加速度

圖11為中間車輛1位輪對(duì)的最大輪軌接觸力響應(yīng)。由圖11可見(jiàn)，1位輪對(duì)的輪軌接觸力主要受波長(zhǎng)小于5 m的2種波長(zhǎng)區(qū)間不平順控制，當(dāng)列車速度小于175 km·h-1時(shí)，受波長(zhǎng)為0.03～1 m的短波軌道不平順影響更大；而當(dāng)列車速度大于175km·h-1時(shí)，1位輪對(duì)的輪軌接觸力對(duì)1～5 m波長(zhǎng)的軌道不平順更為敏感。

圖11　中間車輛的1位輪對(duì)最大輪軌接觸力

5　結(jié)　論

(1) 在車—線—橋耦合振動(dòng)有限元分析中軌道單元的長(zhǎng)度對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)的影響很大，軌道單元的長(zhǎng)度選取不當(dāng)甚至?xí)?dǎo)致計(jì)算結(jié)果不可靠。采用本文提出的基于橋梁施工節(jié)段長(zhǎng)度的車—線—橋耦合系統(tǒng)有限元模型進(jìn)行車—線—橋耦合系統(tǒng)的振動(dòng)分析，能夠得到滿意的計(jì)算精度和計(jì)算效率。

(2) 生成的軌道不平順時(shí)域樣本的功率譜密度和解析值基本一致，說(shuō)明對(duì)軌道不平順功率譜密度函數(shù)進(jìn)行逆傅里葉變換生成任意波長(zhǎng)軌道隨機(jī)不平順的方法是合理、有效的。

(3) 橋梁位移對(duì)軌道不平順不敏感。高速行車時(shí)，橋梁振動(dòng)加速度、軌道位移和列車中間車輛1位輪對(duì)輪軌接觸力的敏感軌道不平順波長(zhǎng)區(qū)間均為1～5 m；波長(zhǎng)為0.03～1 m的短波軌道不平順對(duì)軌道振動(dòng)加速度的影響很大，但對(duì)中間車輛車體振動(dòng)加速度的影響很小，而其他子波長(zhǎng)區(qū)間不平順對(duì)中間車輛車體振動(dòng)加速度的影響均較大。

(4) 高速鐵路養(yǎng)護(hù)維修中應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注5 m以下波長(zhǎng)的軌道不平順；為提高乘坐舒適性，有必要對(duì)中長(zhǎng)波的軌道不平順進(jìn)行控制。

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