朱　峰，李朋真，李嘉成，李　鑫，沈　迪

(1.西南交通大學 電氣工程學院，四川 成都　610031；2.長春軌道客車股份有限公司，吉林 長春　130062)

鋼軌是電氣化鐵路牽引電流和軌道信號電流的通道[1]，當列車在軌道上行走時，鋼軌內自感使得部分牽引電流，特別是牽引電流當中的諧波，通過車體進行回流，如果此時車體的接地保護布局不合理，會在車體上形成車體對鋼軌的較高電勢差，容易對轉向架上的電氣設備造成干擾或損傷[2-4]。另一方面，當2根鋼軌中牽引電流分配不平衡時，扼流變壓器初級產(chǎn)生的磁通就抵消不掉，磁通差值在信號側(扼流變壓器二次側)產(chǎn)生感應電壓，有可能使信號設備產(chǎn)生干擾甚至誤動；而鋼軌內自感可用于確定鋼軌中的牽引電流分布，分析軌道中不平衡電流及對列車傳感器等敏感設備的干擾[5-6]，因此確定鋼軌內自感的值對于高速列車的安全運行具有重要的意義。

目前，國外對于鋼軌內自感的研究主要是通過軟件仿真[7]以及實測的方法[8-11]確定不同操作環(huán)境和不同型號鋼軌的內自感；國內是在研究軌道電路特性時給出了鋼軌內自感的測量數(shù)據(jù)[12-13]，但是還沒有文獻分析鋼軌內自感的特性。因此，有必要從鋼軌內自感的本質著手，對牽引電流和鋼軌等效半徑如何影響鋼軌內自感進行深入研究。

本文根據(jù)電流與磁鏈相互作用的機理，充分考慮牽引電流密度沿徑向相位變化對鋼軌內自感的影響，推導用級數(shù)表示的鋼軌內自感解析公式；研究鋼軌內自感與牽引電流密度相位、牽引電流、牽引電流頻率和鋼軌等效半徑的關系，并從物理底層剖析這4個因素對鋼軌內自感的影響規(guī)律，為解決高速列車設備和信號系統(tǒng)的電磁干擾提供理論支撐。

1　理論分析

1.1　電流與磁鏈相互作用機理的分析

因為能量不能通過鋼軌內部的電磁場進行傳輸，而鋼軌內部的功率主要為焦耳熱損耗功率和用于建立電磁場的無功功率，因此鋼軌單位長度體積內的無功功率Q為

(1)

式中：j為虛數(shù)單位；ω為電流角頻率；B為磁感應強度；H*為磁場強度共軛復數(shù)；dV為導體的體積微元；Ψ為磁鏈；I為鋼軌中的牽引電流，V為鋼軌單位長度體積。

由于式(1)是通過場量體現(xiàn)能量關系的，為便于分析，將場量用電流密度來表示。首先將磁感應強度B用向量磁位A表示，即B=▽×A，其中▽為拉普拉斯算子；再運用關于向量a，b的恒等式▽·(a×b)=b·(▽×a)-a·(▽×b)將式(1)改寫為

(2)

再根據(jù)高斯定理有

(3)

式中：dS′為無窮遠處面元。

由于H*在無限遠處以距離平方的倒數(shù)趨于零，A在無限遠處以距離的倒數(shù)趨于零，而無限遠處的球面是以距離的平方趨于無窮大，故式(3)等號后面的項∮(A×H*)·dS′=0，則式(2)可改寫為

(4)

式中：S為鋼軌截面，dl為電路閉合線路的長度微元；J*為磁感應強度為B的磁力線包圍區(qū)域內電流密度的共軛復數(shù)；dS為鋼軌截面微元。

再應用斯托克斯定理有

∮A·dl=?B·dS

(5)

將式(5)代入式(4)并化簡可得

(6)

式中：I′*為面積微元dS中流過的交鏈電流的共軛復數(shù)。

1.2　鋼軌內自感的計算公式推導

由式(6)可知：交鏈電流的共軛復數(shù)I′*和磁感應強度B是計算磁鏈的重要參數(shù)，而I′*和B均由鋼軌中牽引電流密度的分布決定，故應首先分析鋼軌中牽引電流密度分布規(guī)律。當鋼軌中的牽引電流為正弦時變電磁場時，可將其看成磁準靜態(tài)場(MQS)，因此，忽略位移電流，利用渦流方程求解鋼軌中牽引電流密度的分布規(guī)律，即

(7)

其中，μ=μrμ0

式中：J為鋼軌內任一點的牽引電流密度；γ為鋼軌電導率；μ為鋼軌磁導率；μ0為真空磁導率；μr為相對磁導率；t為時間。

由于鋼軌截面為工字形，利用式(7)直接計算牽引電流密度J比較困難；又因為集膚效應使得牽引電流主要集中于鋼軌表面。所以，為了簡化運算，將鋼軌等效為周長不變的實心圓柱體[14]，如圖1所示。圖中：R為鋼軌的等效半徑；ρ為鋼軌等效圓柱體內的任意等效半徑，ρ≤R。

圖1　等效后的鋼軌模型

設任意等效半徑ρ處的牽引電流密度為J(ρ)，將式(7)中直角坐標系下的渦流方程改寫為柱坐標系下的渦流方程，即

(8)

J(ρ)=[c1J0(kρ)+c2Y0(kρ)]ez

(9)

式中：J0為0階第一類貝塞爾函數(shù)；Y0為0階第二類貝塞爾函數(shù)；c1，c2為系數(shù)；ez為沿z軸正方向的單位向量。

又因為ρ→0， Y0(kρ)→∞， 應取c2=0，而且

(10)

因此可得任意等效半徑ρ處的牽引電流密度為

(11)

其中，

式中：J1為1階第一類貝塞爾函數(shù)。

牽引電流密度的相位θ為

(12)

式中：Im()為虛部值；Re()為實部值。

式(11)和式(12)表明：鋼軌中牽引電流密度在衰減的過程中還伴隨有相位的變化，并且由于相位不同，計算交鏈電流時，部分電流相互抵消，因此，應考慮相位對交鏈電流的影響。在任意半徑為ρ的等效圓內交鏈的有效電流I′為

(13)

式中：ρ′為在半徑為ρ的圓內任意點到鋼軌等效圓圓心的距離； dρ′為在ρ′處徑向距離微元。

由于任意半徑ρ上任一點磁場強度的大小相等，根據(jù)安培環(huán)路定理可得磁感應強度為

(14)

式中：eφ為鋼軌內半徑為ρ處沿切向的單位向量。

式(14)中，對車載電子裝置而言，電磁波的波長遠大于3 km，因此，在實際計算中，磁感應強度B沿軸向相位的變化可以忽略不計；又因為單位長度鋼軌內存在dS=dρeφ，故將式(14)代入式(6)得

(15)

鋼軌內自感為

(16)

將J1用級數(shù)表示，即

(17)

將式(17)代入式(13)，并結合式(16)可得單位長度鋼軌的內自感為

(18)

由式(18)可知：鋼軌內自感L與鋼軌磁導率μ成正比關系，與鋼軌的傳播常數(shù)k和鋼軌等效半徑R存在冪指數(shù)關聯(lián)。又因為：

(1)在式(7)中，定義的鋼軌內任一點的電流密度J為向量，即包含了牽引電流密度相位θ；

(2)鋼軌相對磁導率μ在大牽引電流條件下也呈現(xiàn)非線性變化，即相對磁導率μr由牽引電流I決定；并且文獻[15—16]通過實驗給出了相對磁導率隨牽引電流的變化曲線；

(4)鋼軌電導率γ受其他因素影響較小，即其為定值，取值γ=4.44×103S·mm-1時滿足工程的需要[17]。

所以，鋼軌內自感L與牽引電流密度相位θ、牽引電流I、牽引電流頻率f和鋼軌等效半徑R這4個因素成非線性關系。

2　鋼軌內自感影響因素的分析

基本參數(shù)取值為：I=200 A，μr=220，γ=4.44×107S·m-1，f=50 Hz，R=0.109 1 m。

2.1　電流密度相位θ與鋼軌內自感L的關系

按基本參數(shù)進行取值，根據(jù)式(12)計算得到鋼軌沿徑向各點的電流密度相位變化特性，如圖2所示；根據(jù)式(13)計算電流密度相位對任意等效半徑為ρ的等效圓內交鏈電流的影響程度，如圖3所示。

圖2　鋼軌沿徑向各點的牽引電流密度相位

圖3　牽引電流密度相位對交鏈電流的影響

由圖2可知：同一時刻同一截面內，鋼軌中電流的流向是不同的。由圖3可知：當R=0.109 1 m時，若考慮相位，則交鏈電流I′=100 A，而不考慮相位，則交鏈電流I′=141 A，可見，不考慮相位時得到的交鏈電流比考慮相位時要大41%；這是因為，若相位不同，電流密度疊加時，部分交鏈電流可以相互抵消。因此，必須考慮電流密度相位對鋼軌內自感的影響。

2.2　鋼軌內自感與牽引電流的關系

牽引電流I取50，100，150，…，1 150 A，相對磁導率按照文獻[15，16]給出的牽引電流與磁導率的關系曲線取值，根據(jù)式(18)計算得到不同牽引電流I時的鋼軌內自感L，如圖4所示。為了對比分析本計算結果的合理性，將文獻[7]關于60 kg鋼軌的不同牽引電流I時的內自感仿真值，文獻[8]關于60 kg鋼軌的不同牽引電流I時的內自感實測值也列于圖4中。

圖4　鋼軌內自感與牽引電流的關系

由圖4可知：當牽引電流小于680 A時，鋼軌內自感隨著牽引電流的增大而增大；當牽引電流大于680 A時，鋼軌內自感隨著牽引電流的增大而略有減小。這是因為：當牽引電流小于680 A時，磁通沒有達到飽和，磁導率隨著牽引電流的增大而增大[15-16]，由式(18)可知，內自感L與磁導率μ和傳播常數(shù)k都有關系；一方面，傳播常數(shù)k隨著磁導率μ增加而增加，由式(11)可知，傳播常數(shù)k增加，牽引電流I更集中于鋼軌表面，在任意等效半徑為ρ的圓內，交鏈電流I′增大的倍數(shù)小于牽引電流I增大的倍數(shù)，鋼軌內自感L有減小的趨勢；另一方面，隨著磁導率μ的增加，鋼軌內自感L有增大的趨勢；又因為磁導率μ的增加使得鋼軌內自感L增大的速率大于k增加使得鋼軌內自感L減小的速率，所以鋼軌內自感L隨著牽引電流的增大而增大。當牽引電流大于680 A時，磁通達到飽和，磁導率隨著牽引電流的增加而略有減小，同理可知，鋼軌內自感L隨著牽引電流的增大而減小。

2.3　鋼軌內自感與牽引電流頻率的關系

牽引電流頻率f取50，100，150，…，1 000 Hz，為了與文獻[18，19]對比，以115lb鋼軌為例，其等效半徑R=0.102 1 m，其余參數(shù)按基本參數(shù)取值，根據(jù)式(18)計算不同牽引電流頻率f時的鋼軌內自感L，并將文獻[18，19]給出的不同牽引電流頻率f時鋼軌內自感的測量值也列于圖5中。

圖5　鋼軌內自感與牽引電流頻率的關系

由圖5可知：鋼軌內自感隨著牽引電流頻率的增大而減小。這是因為：當牽引電流頻率f增大時，傳播常數(shù)k增大，由式(11)可知，牽引電流I更集中于鋼軌表面，在任意半徑為ρ的圓內，交鏈電流I′減小，由式(15)可知磁鏈Ψ也減小，因此鋼軌內自感L隨著牽引電流頻率f的增大而減小。

2.4　鋼軌內自感與鋼軌等效半徑的關系

鋼軌等效半徑R取0.109 1 m(P60)，0.096 6 m(P50)，0.088 9 m(P43)；牽引電流頻率f取50，100，150，…，1 000 Hz；其余參數(shù)按基本參數(shù)取值；根據(jù)式(18)計算不同鋼軌等效半徑、不同牽引電流頻率f時的鋼軌內自感L，如圖6所示。

圖6　鋼軌等效半徑對鋼軌內自感的影響

由圖6可知：鋼軌內自感隨著鋼軌等效半徑的增大而減小。這是因為電流主要集中于鋼軌表面，當鋼軌等效半徑增大時，鋼軌截面的面積增大，任意等效半徑ρ內包圍的交鏈電流I′減小，又因為牽引電流I和磁導率μ不變，由式(15)可知磁鏈Ψ減小，所以鋼軌內自感逐漸減小。

3　結　論

(1)同一時刻同一截面內，鋼軌中牽引電流的流向是不同的。不考慮相位時得到的交鏈電流比考慮相位時要大41%；這是因為，若相位不同，電流密度疊加時，部分交鏈電流可以相互抵消。因此，必須考慮牽引電流密度相位對鋼軌內自感的影響。

(2)當鋼軌磁通沒有達到飽和時，鋼軌內自感隨著牽引電流的增大而增大；當磁通達到飽和時，鋼軌內自感隨著牽引電流的增大而略有減小。

(3)鋼軌內自感隨著牽引電流頻率的增大而減小。這是因為，牽引電流頻率增加，由于集膚效應，電流更集中于鋼軌表面，同等長度半徑ρ內包圍的交鏈電流減小，總磁鏈就減小，從而使得鋼軌內自感減小。

(4)鋼軌內自感隨著鋼軌等效半徑的增加而減小。這是因為，牽引電流主要集中于鋼軌表面，鋼軌等效半徑越大，鋼軌截面的面積越大，任意等效半徑ρ內包圍的交鏈電流I′減小，總磁鏈減小，從而使得鋼軌內自感減小。

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