馬樹(shù)峰，安愛(ài)民，王　龍，李學(xué)寶，王　穎

(1.中國(guó)鐵道科學(xué)研究院 標(biāo)準(zhǔn)計(jì)量研究所，北京　100081；2.中國(guó)鐵路經(jīng)濟(jì)規(guī)劃研究院 運(yùn)輸研究所，北京　100038)

軌道衡和超偏載檢測(cè)裝置作為重要的鐵路貨運(yùn)計(jì)量安全檢測(cè)設(shè)備，在保證鐵路運(yùn)輸安全、提高運(yùn)輸效率和質(zhì)量等方面發(fā)揮了重要作用。檢衡車(chē)是檢定軌道衡和超偏載檢測(cè)裝置的計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)器，是保證軌道衡和超偏載檢測(cè)裝置量值傳遞準(zhǔn)確和統(tǒng)一的基礎(chǔ)。根據(jù)相關(guān)規(guī)定，檢衡車(chē)組(由5輛不同重量的檢衡車(chē)固定編組而成)每年須在安裝軌道衡和超偏載檢測(cè)裝置的車(chē)站(簡(jiǎn)稱作業(yè)站點(diǎn))進(jìn)行1次檢定作業(yè)。

近10年來(lái)，隨著鐵路對(duì)貨運(yùn)計(jì)量安全檢測(cè)設(shè)備投資建設(shè)力度的加大，全路軌道衡的數(shù)量增長(zhǎng)了50%，超偏載檢測(cè)裝置的數(shù)量增長(zhǎng)了4倍，而檢衡車(chē)組卻一直未增加，導(dǎo)致檢衡車(chē)組的運(yùn)用非常緊張。因此，合理安排檢衡車(chē)組在鐵路網(wǎng)中進(jìn)行檢定作業(yè)的路徑，即優(yōu)化檢衡車(chē)組經(jīng)由各作業(yè)站點(diǎn)進(jìn)行軌道衡、超偏載檢測(cè)裝置檢定的作業(yè)次序(簡(jiǎn)稱檢衡車(chē)組作業(yè)站點(diǎn)序列)，對(duì)于縮短檢衡車(chē)組進(jìn)行檢定作業(yè)的時(shí)間、提高檢衡車(chē)組的運(yùn)用效率具有重要現(xiàn)實(shí)意義。由于文獻(xiàn)[1—5]僅研究了檢衡車(chē)組在站內(nèi)檢定工作的步驟和流程，因此筆者基于運(yùn)籌學(xué)旅行商問(wèn)題的建模思想，進(jìn)行檢衡車(chē)組作業(yè)站點(diǎn)序列優(yōu)化的研究。

1　單組檢衡車(chē)作業(yè)站點(diǎn)序列優(yōu)化模型

受檢衡車(chē)組數(shù)量的制約，在人工編制檢衡車(chē)組運(yùn)用計(jì)劃時(shí)，通常根據(jù)擁有的檢衡車(chē)組數(shù)量將全國(guó)路網(wǎng)劃分為等量區(qū)域路網(wǎng)，并預(yù)先為每個(gè)區(qū)域路網(wǎng)分配1組檢衡車(chē)。在執(zhí)行具體檢定任務(wù)時(shí)，每個(gè)區(qū)域路網(wǎng)又被分成若干個(gè)子區(qū)域路網(wǎng)，且檢衡車(chē)組進(jìn)入和離開(kāi)子區(qū)域路網(wǎng)的起止站點(diǎn)一般是固定的，因此為實(shí)現(xiàn)單組檢衡車(chē)在子區(qū)域路網(wǎng)內(nèi)的廣義走行時(shí)間最小化和檢衡車(chē)組運(yùn)用效率的最大化，可以將檢衡車(chē)組作業(yè)站點(diǎn)序列的優(yōu)化問(wèn)題等價(jià)為運(yùn)籌學(xué)中的旅行商問(wèn)題(TSP)，并基于TSP的建模原理構(gòu)造子區(qū)域路網(wǎng)內(nèi)檢衡車(chē)組作業(yè)站點(diǎn)序列優(yōu)化的模型。

以1組檢衡車(chē)在所負(fù)責(zé)子區(qū)域路網(wǎng)內(nèi)的廣義走行時(shí)間最小為目標(biāo)，建立的單組檢衡車(chē)作業(yè)站點(diǎn)序列優(yōu)化模型M1為

(1)

s.t.

(2)

(3)

(4)

(5)

ui-uj+nxij≤n-1i≠j≠s，i≠e

(6)

xij∈{0，1}

(7)

式中：N為某子區(qū)域路網(wǎng)內(nèi)檢衡車(chē)組作業(yè)站點(diǎn)的集合；s為所配屬檢衡車(chē)組進(jìn)入該子區(qū)域路網(wǎng)內(nèi)進(jìn)行檢定作業(yè)的第1個(gè)作業(yè)站點(diǎn)，s∈N；e為所配屬檢衡車(chē)組在該子區(qū)域路網(wǎng)內(nèi)進(jìn)行檢定作業(yè)的最后1個(gè)作業(yè)站點(diǎn)，即檢衡車(chē)組要離開(kāi)該子區(qū)域路網(wǎng)時(shí)所在的作業(yè)站點(diǎn)，e∈N；xij和ui為0—1決策變量，i和j為子區(qū)域路網(wǎng)內(nèi)的兩相鄰作業(yè)站點(diǎn)且i，j∈N；tij為檢衡車(chē)組自作業(yè)站點(diǎn)i至j的廣義走行時(shí)間，由于檢衡車(chē)組在作業(yè)站點(diǎn)i完成檢定作業(yè)之后需要連掛特定車(chē)次的貨物列車(chē)前往作業(yè)站點(diǎn)j，因此，可能會(huì)在作業(yè)站點(diǎn)i以及途經(jīng)各站產(chǎn)生一定的等待時(shí)間，故tij不僅包括檢衡車(chē)組自i站至j站的運(yùn)行時(shí)間，還包括在i站及沿途各站的等待時(shí)間，d；n為子區(qū)域路網(wǎng)內(nèi)檢衡車(chē)組作業(yè)站點(diǎn)的數(shù)量。

作為式(1)的約束條件，式(2)表示檢衡車(chē)組在子區(qū)域路網(wǎng)內(nèi)去往除s以外的其他作業(yè)站點(diǎn)時(shí)只能由1個(gè)作業(yè)站點(diǎn)出發(fā)；式(3)表示檢衡車(chē)組在子區(qū)域路網(wǎng)內(nèi)從除e以外的其他作業(yè)站點(diǎn)出發(fā)后只能到達(dá)1個(gè)作業(yè)站點(diǎn)；式(4)表示對(duì)于s站，檢衡車(chē)組在子區(qū)域路網(wǎng)內(nèi)只能從該站出發(fā)而不能到達(dá)該站；式(5)表示對(duì)于e站，檢衡車(chē)組在子區(qū)域路網(wǎng)內(nèi)只能到達(dá)該站而不能從該站出發(fā)；式(6)為檢衡車(chē)組走行徑路不構(gòu)成回路的約束條件；式(7)表示當(dāng)檢衡車(chē)組在作業(yè)站點(diǎn)i完成檢定作業(yè)后的下一個(gè)作業(yè)站點(diǎn)為j時(shí)，xij取1，否則取0。

2　單組檢衡車(chē)作業(yè)站點(diǎn)序列優(yōu)化模型的求解算法

作者采用收斂速度快、計(jì)算精度高的粒子群算法[6-8]對(duì)模型M1進(jìn)行求解。該算法采用速度—位置搜索模式，以每個(gè)粒子的位置作為待解決問(wèn)題的可能解集，以目標(biāo)函數(shù)作為適應(yīng)值來(lái)判斷群體中每個(gè)粒子的優(yōu)劣；通過(guò)跟蹤個(gè)體最優(yōu)值和全局最優(yōu)值(即全部粒子個(gè)體極值的最優(yōu)者)的粒子，不斷更新其在解空間的位置，從而找到問(wèn)題的最優(yōu)解。

更新粒子速度和位置的傳統(tǒng)表達(dá)式為

(8)

(9)

因?yàn)槭?8)和式(9)為連續(xù)問(wèn)題的求解式，在用于求解離散的TSP問(wèn)題時(shí)，需要對(duì)其進(jìn)化算子進(jìn)行重新定義如下。

(1)位置：定義任意粒子的位置X代表檢衡車(chē)組遍歷子區(qū)域路網(wǎng)內(nèi)作業(yè)站點(diǎn)的次序，即根據(jù)模型M1中決策變量xij的值推算出的檢衡車(chē)組在子區(qū)域路網(wǎng)內(nèi)進(jìn)行檢定作業(yè)時(shí)到達(dá)作業(yè)站點(diǎn)的次序。

(2)速度：定義任意粒子的速度V為粒子位置的交換集，它是由1組交換構(gòu)成置換序列的有序列表，其表達(dá)形式為

V={(i，j)h|h=1，2，…，P}

式中：P表示該速度所含交換的數(shù)目，交換按順序依次執(zhí)行。

(3)位置與速度相加：將1組置換序列依次作用于某個(gè)粒子的位置，生成1個(gè)新的位置；例如，位置X1=(1，3，2，5，4，6)表示檢衡車(chē)組的作業(yè)站點(diǎn)序列為1→3→2→5→4→6(數(shù)字為作業(yè)站點(diǎn)的編號(hào))，相當(dāng)于在模型M1中，n=6且x13=1，x32=1，x25=1，x54=1和x46=1，其余決策變量值均為0；速度V1={(5，2)，(3，2)}表示先進(jìn)行檢衡車(chē)組第5與第2序位作業(yè)站點(diǎn)的交換，再進(jìn)行第3第與2序位作業(yè)站點(diǎn)的交換，則X1+V1=(1，2，4，5，3，6)，相當(dāng)于經(jīng)過(guò)位置與速度的加和后，決策變量的值變更為：x12=1，x24=1，x45=1，x53=1和x36=1，其余決策變量值均為0，檢衡車(chē)組的作業(yè)站點(diǎn)序列調(diào)整為1→2→4→5→3→6。

(4)位置與位置相減：該操作的結(jié)果是得到1組置換序列，即速度；例如，位置X1=(1，3，2，5，4，6)，位置X2=(1，2，4，5，3，6)，則X2-X1={(5，2)，(3，2)}。

(5)速度與速度相加：對(duì)2個(gè)置換序列進(jìn)行合并，可得到1個(gè)新的置換序列(即1個(gè)新的速度)作為指導(dǎo)檢衡車(chē)組的作業(yè)站點(diǎn)序列優(yōu)化調(diào)整的原則。例如，速度V1={(5，2)，(3，2)}，速度V2={(1，4)}，則V1+V2={(5，2)，(3，2)，(1，4)}。

(6)實(shí)數(shù)與速度相乘：設(shè)實(shí)數(shù)r為(0，1)區(qū)間內(nèi)的隨機(jī)數(shù)，速度V為包含P個(gè)交換的序列，則r與V相乘的結(jié)果為由V中前r×P(取整)個(gè)交換構(gòu)成1組新的置換序列。例如，V={(1，3)，(2，5)，(4，1)，(3，2)}，則當(dāng)r=0.6時(shí)，r×V={(1，3)，(2，5)}。

由此，針對(duì)用模型M1求解離散TSP問(wèn)題，對(duì)式(8)和式(9)進(jìn)行變換，得

(10)

(11)

式中：α和β為加速常數(shù)，一般在(0，1)區(qū)間內(nèi)取值，α和β決定了后面的交換被用到幾個(gè)，α和β即為r×P下的取整。

基于粒子群算法的模型M1求解步驟如下。

Step 1：先設(shè)定粒子的數(shù)量(本文取30)，每個(gè)粒子代表1個(gè)解，即檢衡車(chē)組作業(yè)站點(diǎn)序列的1個(gè)方案；Lmax為最大迭代次數(shù)(可取為1 000)。

Step 2：隨機(jī)生成每個(gè)粒子的初始位置和初始速度，計(jì)迭代次數(shù)l=1。

Step 3：根據(jù)式(10)和式(11)對(duì)所有粒子的位置進(jìn)行更新，并用式(1)計(jì)算每個(gè)粒子的適應(yīng)值，即所對(duì)應(yīng)檢衡車(chē)組作業(yè)站點(diǎn)序列方案下檢衡車(chē)組在各站點(diǎn)間的廣義走行時(shí)間。

Step 4：判斷每個(gè)粒子的適應(yīng)值是否優(yōu)于其自身已經(jīng)歷過(guò)的個(gè)體極值，若是，更新其個(gè)體極值(即用該粒子當(dāng)前的適應(yīng)值替換其個(gè)體極值)，否則，其個(gè)體極值不變。

Step 5：判斷每個(gè)粒子的個(gè)體極值是否優(yōu)于當(dāng)前的全局極值，若是，更新全局極值，否則全局極值不變。l=l+1。

Step 6：判斷是否滿足l

Step 7：結(jié)束尋優(yōu)操作，輸出計(jì)算結(jié)果。

3　多組檢衡車(chē)作業(yè)站點(diǎn)序列優(yōu)化

前文研究了由1組檢衡車(chē)擔(dān)任1個(gè)子區(qū)域路網(wǎng)內(nèi)各相關(guān)作業(yè)站點(diǎn)檢定任務(wù)時(shí)的作業(yè)站點(diǎn)序列優(yōu)化問(wèn)題?？紤]到今后將增配檢衡車(chē)組，每個(gè)區(qū)域路網(wǎng)有可能配備多組檢衡車(chē)進(jìn)行檢定作業(yè)的情況，并且從全局優(yōu)化的角度分析，由于依照人工經(jīng)驗(yàn)所劃分的子區(qū)域路網(wǎng)并不能保證多組檢衡車(chē)分別對(duì)所負(fù)責(zé)子區(qū)域路網(wǎng)內(nèi)各作業(yè)站點(diǎn)進(jìn)行檢定作業(yè)而消耗的總的廣義走行時(shí)間最少，以及各組檢衡車(chē)的工作負(fù)荷基本均衡等要求，因此，作者再?gòu)娜謨?yōu)化的角度出發(fā)，將某一區(qū)域路網(wǎng)視為一個(gè)整體，打破以往1組檢衡車(chē)獨(dú)立負(fù)責(zé)一個(gè)區(qū)域的“分片負(fù)責(zé)”的固定檢定范圍模式，在鎖定各組檢衡車(chē)進(jìn)入和離開(kāi)所負(fù)責(zé)檢定區(qū)域路網(wǎng)內(nèi)作業(yè)站點(diǎn)的情況下，研究多組檢衡車(chē)聯(lián)合開(kāi)展某一區(qū)域路網(wǎng)作業(yè)站點(diǎn)檢定作業(yè)時(shí)檢衡車(chē)組作業(yè)站點(diǎn)序列綜合優(yōu)化的問(wèn)題。

通過(guò)分析可知，多組檢衡車(chē)在某區(qū)域路網(wǎng)內(nèi)進(jìn)行檢定作業(yè)時(shí)的作業(yè)站點(diǎn)序列優(yōu)化問(wèn)題可類(lèi)比為多個(gè)旅行商的走行徑路優(yōu)化問(wèn)題(即MTSP問(wèn)題)。

基于MTSP問(wèn)題的建模思想，可構(gòu)建多組檢衡車(chē)作業(yè)站點(diǎn)序列優(yōu)化模型M2為

(12)

s.t.

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

式(12)為模型M2的目標(biāo)函數(shù)，表示配屬給某鐵路局的多組檢衡車(chē)在該鐵路局管內(nèi)路網(wǎng)范圍內(nèi)總的廣義走行時(shí)間最小；式(13)表示檢衡車(chē)組k在該鐵路局管內(nèi)路網(wǎng)范圍內(nèi)去往除sk以外的其他作業(yè)站點(diǎn)時(shí)只能由1個(gè)作業(yè)站點(diǎn)出發(fā)；式(14)表示檢衡車(chē)組k在該鐵路局管內(nèi)路網(wǎng)范圍內(nèi)從除ek以外的其他作業(yè)站點(diǎn)出發(fā)后只能到達(dá)1個(gè)作業(yè)站點(diǎn)；式(15)表示檢衡車(chē)組k只從sk站出發(fā)而不能到達(dá)該站；式(16)表示檢衡車(chē)組只到達(dá)ek站而郴能從該站出發(fā)；式(17)中，Ω為消去支路的約束[8-9]，即消去構(gòu)成不完整徑路的解，以避免在每次遍歷當(dāng)中產(chǎn)生多于1個(gè)的互不連通路徑。

為了便于模型M2的求解，本文根據(jù)文獻(xiàn)[9]，通過(guò)設(shè)置虛擬弧費(fèi)用(即檢衡車(chē)組經(jīng)由虛擬弧的廣義走行時(shí)間)，將求解模型M2的MTSP問(wèn)題轉(zhuǎn)換為T(mén)SP問(wèn)題。下面以2組檢衡車(chē)負(fù)責(zé)某一鐵路局管內(nèi)路網(wǎng)各作業(yè)站點(diǎn)的檢定任務(wù)為例，給出虛擬弧的具體設(shè)置方法(見(jiàn)圖1)如下。

(1)因?yàn)?組檢衡車(chē)的起點(diǎn)作業(yè)站之間不能有連接弧相連，所以設(shè)連接它們起點(diǎn)作業(yè)站的連接弧的弧費(fèi)用為無(wú)窮大。

(2)同理，由于在2組檢衡車(chē)的終點(diǎn)作業(yè)站之間也不能有連接弧，因此設(shè)連接它們終點(diǎn)作業(yè)站的連接弧的弧費(fèi)用也為無(wú)窮大。

(3)因?yàn)槠渲?組檢衡車(chē)(假定該組檢衡車(chē)的編號(hào)k為1)的終點(diǎn)作業(yè)站必須與另1組檢衡車(chē)(假定該組檢衡車(chē)的編號(hào)k為2)的起點(diǎn)作業(yè)站相連，所以設(shè)對(duì)應(yīng)該連接弧的弧費(fèi)用為負(fù)值。

由此，即可構(gòu)建求解MTSP問(wèn)題的虛擬路網(wǎng)結(jié)構(gòu)，從而實(shí)現(xiàn)MTSP問(wèn)題向TSP問(wèn)題的轉(zhuǎn)化；然后，調(diào)用本文給出的對(duì)進(jìn)化算子重新定義的粒子群算法求解離散TSP問(wèn)題，即可實(shí)現(xiàn)等價(jià)條件下MTSP問(wèn)題的求解。

圖1　2組檢衡車(chē)情況下虛擬弧費(fèi)用的設(shè)置

4　實(shí)例驗(yàn)證

以哈爾濱鐵路局管內(nèi)路網(wǎng)的檢衡車(chē)組作業(yè)站點(diǎn)序列優(yōu)化為例，驗(yàn)證本文模型和算法的有效性。如圖2所示，哈爾濱鐵路局管內(nèi)路網(wǎng)內(nèi)共有89個(gè)車(chē)站點(diǎn)安裝了軌道衡和超偏載檢測(cè)裝置，并假定配備了2組檢衡車(chē)負(fù)責(zé)這些作業(yè)站點(diǎn)的軌道衡和超偏載裝置的檢定任務(wù)。

圖2　哈爾濱鐵路局管內(nèi)路網(wǎng)作業(yè)站點(diǎn)布局圖

在既有的檢衡車(chē)組運(yùn)用方案中，將哈爾濱鐵路局管內(nèi)路網(wǎng)劃分為2個(gè)作業(yè)區(qū)，如圖2中右側(cè)虛線框內(nèi)為檢衡車(chē)組1的作業(yè)區(qū)，檢衡車(chē)組1由溫春站進(jìn)入、從五常站離開(kāi)自己的作業(yè)區(qū)；路網(wǎng)的其余部分為檢衡車(chē)組2的作業(yè)區(qū)，檢衡車(chē)組2從臥里屯站進(jìn)入、從哈爾濱南站駛離自己的作業(yè)區(qū)。

4.1　單組檢衡車(chē)作業(yè)站點(diǎn)序列的優(yōu)化

按照既有檢衡車(chē)組運(yùn)用方案，基于模型M1，對(duì)檢衡車(chē)組1的作業(yè)站點(diǎn)序列進(jìn)行優(yōu)化，所獲得的檢衡車(chē)組1的作業(yè)站點(diǎn)序列見(jiàn)表1。

表1對(duì)應(yīng)的檢衡車(chē)組1在其作業(yè)區(qū)內(nèi)總的廣義走行時(shí)間為80.5 d，而按檢衡車(chē)組1的既有運(yùn)用計(jì)劃則需要93 d(如果考慮檢衡車(chē)組的廠修、段修和周期檢定所需要的時(shí)間，以此效率推算，每一檢衡車(chē)組大概平均僅能完成其全年檢定計(jì)劃的80%)；由此可知，采用本文的單組檢衡車(chē)作業(yè)站點(diǎn)序列優(yōu)化模型及求解算法可節(jié)省12.5d，即檢衡車(chē)組1的運(yùn)用效率提高了13.44%。

4.2　多組檢衡車(chē)作業(yè)站點(diǎn)序列的優(yōu)化

在檢衡車(chē)組1由溫春站進(jìn)入、從五常站離開(kāi)哈爾濱鐵路局管內(nèi)路網(wǎng)，以及檢衡車(chē)組2從臥里屯站進(jìn)入、從哈爾濱南站離開(kāi)哈爾濱鐵路局管內(nèi)路網(wǎng)的前提條件下，按照求解MTSP問(wèn)題的思路，打破既有檢衡車(chē)組運(yùn)用方案對(duì)檢衡車(chē)組1和檢衡車(chē)組2作業(yè)區(qū)的限制，基于模型M2對(duì)檢衡車(chē)組1和檢衡車(chē)組2的走行徑路進(jìn)行整體優(yōu)化，所獲得的這2組檢衡車(chē)的作業(yè)站點(diǎn)序列分別見(jiàn)表2和表3。

由表2和表3得到的檢衡車(chē)組1和檢衡車(chē)組2在哈爾濱鐵路局管內(nèi)路網(wǎng)內(nèi)共同進(jìn)行檢定作業(yè)所用的廣義走行時(shí)間合計(jì)為120.5 d，而按檢衡車(chē)組1和檢衡車(chē)組2的既有運(yùn)用計(jì)劃則共計(jì)需要141 d；由此可知，采用本文的多組檢衡車(chē)作業(yè)站點(diǎn)序列優(yōu)化模型可節(jié)省20.5d的廣義走行時(shí)間，檢衡車(chē)組的整體運(yùn)用效率提高了14.54%。此外，相對(duì)于預(yù)先固定每組檢衡車(chē)的作業(yè)區(qū)的傳統(tǒng)檢衡車(chē)組運(yùn)用方案，基于MTSP問(wèn)題求解思路的模型M2對(duì)同一路網(wǎng)內(nèi)多組檢衡車(chē)的作業(yè)站點(diǎn)序列進(jìn)行整體優(yōu)化，不但能夠使各組檢衡車(chē)的作業(yè)負(fù)荷更具均衡性，而且總體上檢衡車(chē)組的廣義走行時(shí)間也更加節(jié)省。

表1　基于TSP問(wèn)題求解的檢衡車(chē)組1的作業(yè)站點(diǎn)序列

表2　基于MTSP問(wèn)題求解的檢衡車(chē)組1的作業(yè)站點(diǎn)序列

表3　基于MTSP問(wèn)題求解的檢衡車(chē)組2的作業(yè)站點(diǎn)序列

5　結(jié)　語(yǔ)

本文基于運(yùn)籌學(xué)旅行商問(wèn)題的求解思路，針對(duì)檢衡車(chē)組作業(yè)站點(diǎn)序列優(yōu)化問(wèn)題，分別構(gòu)建了單組和多組檢衡車(chē)作業(yè)站點(diǎn)序列優(yōu)化模型，設(shè)計(jì)了基于改進(jìn)的粒子群算法對(duì)模型進(jìn)行求解；并以哈爾濱鐵路局管內(nèi)路網(wǎng)的檢衡車(chē)組作業(yè)站點(diǎn)序列優(yōu)化為例，驗(yàn)證了模型和算法的有效性。

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