范國(guó)良陸曉恒

（1. 安徽工程大學(xué), 安徽 蕪湖 241000；2. 銅陵學(xué)院, 安徽 銅陵 244000）

獨(dú)立性與相關(guān)性判別的一些注記及應(yīng)用

范國(guó)良1陸曉恒2

（1. 安徽工程大學(xué), 安徽 蕪湖 241000；2. 銅陵學(xué)院, 安徽 銅陵 244000）

從兩個(gè)隨機(jī)事件的獨(dú)立性出發(fā)，引入兩個(gè)隨機(jī)變量的獨(dú)立性與相關(guān)性的概念，給出獨(dú)立性與相關(guān)性的一些常見(jiàn)判別方法及注記，通過(guò)實(shí)例說(shuō)明使用密度函數(shù)判別獨(dú)立性有出錯(cuò)的可能,進(jìn)而給出使用密度函數(shù)判別獨(dú)立性的一個(gè)充要條件，以避免判別錯(cuò)誤的發(fā)生。最后用一些實(shí)例說(shuō)明獨(dú)立性與相關(guān)性在實(shí)際生活中的應(yīng)用。

隨機(jī)變量；獨(dú)立性；相關(guān)性；正態(tài)分布

獨(dú)立性是概率論中最基本的概念之一，無(wú)論在理論研究還是在實(shí)際應(yīng)用中都有特別重要的意義。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的許多成果都是在某種獨(dú)立性的前提下得到的，因而研究如何判斷隨機(jī)變量的獨(dú)立性顯得尤為重要。

一、獨(dú)立性

（1）兩個(gè)隨機(jī)事件的獨(dú)立性

兩個(gè)事件的獨(dú)立性是指一個(gè)事件的發(fā)生不影響另一個(gè)事件的發(fā)生。這在實(shí)際問(wèn)題中是很多的。比如在拋2枚硬幣的實(shí)驗(yàn)中，記事件A為“第一枚硬幣是正面”，B為“第二枚硬幣是正面”，顯然A與B的發(fā)生是互不影響的。從概率的角度看，給定事件A的條件概率P(A|B)與無(wú)條件概率P(A)，若事件A與B的發(fā)生是互不影響的，則有

P(A|B)=P(A),P(B|A)=P(B)

上述兩式又都分別等價(jià)于P(AB)=P(A)P(B)。

定義 對(duì)任意兩個(gè)隨機(jī)事件A與B，若有P(AB)=P(A)P(B)成立，則稱(chēng)事件A與B相互獨(dú)立，否則稱(chēng)A與B不獨(dú)立。

在隨機(jī)事件獨(dú)立的基礎(chǔ)上，接下來(lái)引入隨機(jī)變量的獨(dú)立性。

（2）兩個(gè)隨機(jī)變量的獨(dú)立性

定義:設(shè)X,Y是兩個(gè)隨機(jī)變量(r.v)，若對(duì)任意的x,y，有

則稱(chēng)隨機(jī)變量X和Y是相互獨(dú)立的。

注1 隨機(jī)事件的獨(dú)立性是隨機(jī)變量的獨(dú)立性的本質(zhì)。

注2 由于F(x,y)= P(X≤x, Y≤y),Fx(x)=P(X≤x),Fy(y)=P( Y≤y)，上述定義用分布函數(shù)表示即為：若對(duì)所有實(shí)數(shù) ，有：則稱(chēng)隨機(jī)變量X和Y是相互獨(dú)立的。

（2）式表明，當(dāng)兩個(gè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立時(shí)，它們的聯(lián)合分布函數(shù)等于兩個(gè)邊緣分布函數(shù)的乘積。（2）式把隨機(jī)變量的概率關(guān)系轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系，而函數(shù)關(guān)系的判別一般來(lái)說(shuō)會(huì)容易些。

注3 （充分條件）設(shè)(X,Y)是連續(xù)型r.v.，f(x,y)是(X,Y)的聯(lián)合概率密度，fx(x),fy(y)分別是X和Y的邊緣概率密度。若對(duì)所有實(shí)數(shù)x,y，有:

f(x,y)=fx(x)fy(y)

則隨機(jī)變量X和Y是相互獨(dú)立的。

注3 只是判別獨(dú)立性的充分非必要條件，所以應(yīng)用時(shí)容易在這里出錯(cuò)。我們看下面這個(gè)例子。

例1 設(shè)二維連續(xù)型r.v.(X,Y)在由x軸，y軸及直線所圍成的閉區(qū)域D上服從均勻分布，試問(wèn)：r.v.X,Y是否相互獨(dú)立？

，則X與Y不獨(dú)立。

原因剖析：二維連續(xù)型r.v.在一個(gè)點(diǎn)上取值的概率為0，僅僅由一個(gè)點(diǎn)處的聯(lián)合概率密度函數(shù)值不等于兩個(gè)邊緣概率密度函數(shù)值的乘積，并不能推出(1)式或(2)式，故上面的解法不正確。

注4 （充要條件）若(X,Y)是連續(xù)型r.v.，f(x,y)是(X,Y)的聯(lián)合概率密度，fx(x),fy(y)分別是X和Y的邊緣概率密度。若對(duì)所有實(shí)數(shù)x,y，幾乎處處有

則隨機(jī)變量X和Y是相互獨(dú)立的。

想要證明兩個(gè)r.v.不獨(dú)立，只要證明在某個(gè)非零測(cè)度集上，幾乎處處有

由注4，例1的正確解法是：

注5 （充要條件）設(shè)(X,Y)的聯(lián)合概率密度f(wàn)(x,y)(a

例2 設(shè)(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為：

解：因?yàn)閤≤y≤2，y的范圍與x有關(guān)，不是一個(gè)常數(shù)，故由注5知X和Y不是相互獨(dú)立的。

注6 若(X,Y)是離散型r.v.，且對(duì)(X,Y)的所有可能取值(xi,yj)，有：

P(X=xi,Y=yj)=P(X=xi)P(Y=yj),

則隨機(jī)變量X和Y是相互獨(dú)立的。

二、相關(guān)性

定義 稱(chēng)為r.v.X和 Y的相關(guān)系數(shù)。

相關(guān)系數(shù)反映了兩個(gè)隨機(jī)變量之間的一種聯(lián)系，若ρXY= 0，則稱(chēng)X與Y不相關(guān)。

注7 若兩個(gè)r.v.X與Y相互獨(dú)立，則X與Y不相關(guān)。

注8 若兩個(gè)r.v.X與Y不相關(guān)，則r.v.X與Y不一定獨(dú)立。

下面這個(gè)例題可以清楚的展示上面的結(jié)論。

例3 已知r.v.X的分布律為：判斷r.v.X與Y是否相互獨(dú)立？是否相關(guān)？

解 由于Y=X2,Y=X2，Y的值完全由X決定，故X與Y不獨(dú)立。

注9 若隨機(jī)變量（X,Y）服從二元正態(tài)分布N(a,b,σ ,σ ;r)，則下列三個(gè)命題是等價(jià)的:（1）

2212 X與Y相互獨(dú)立；（2）X與Y不相關(guān)；（3）r=0。

證明 由于獨(dú)立一定不相關(guān)，故(1)→(2)成立。又由定義立得(2)→(3)成立。下面證明(3)→(1)成立。當(dāng)r=0時(shí)，立得(X,Y)的聯(lián)合密度等于兩個(gè)一元正態(tài)分布邊緣密度的乘積，由注5，有X與Y相互獨(dú)立，即(3)→(1)成立。

三、應(yīng)用

下面通過(guò)幾個(gè)例子來(lái)展示相關(guān)性與獨(dú)立性的實(shí)際應(yīng)用。

例4 Head First健生俱樂(lè)部為自己能為每一位前來(lái)健身的人找到合適的班級(jí)感到自豪。這正是俱樂(lè)部風(fēng)靡老中少健身者的原因。健身俱樂(lè)部目前正在動(dòng)腦筋，為的是最有效的推銷(xiāo)它新開(kāi)設(shè)的瑜伽班。他們想知道，是否參加游泳班的人更有可能參加瑜伽班。他們中有人提出“也許我們給游泳班的學(xué)員一些折扣，鼓勵(lì)他們參加瑜伽班?！?/p>

首席執(zhí)行官不同意，“我想你們錯(cuò)了”，他說(shuō)，“參加游泳班的人和參加瑜伽班的人是相互獨(dú)立的，我不認(rèn)為參加游泳班的人比其他人更有可能參加瑜伽班”。

他們調(diào)查了96人，問(wèn)他們是否參加游泳班或瑜伽班。在這96人中，有32人參加瑜伽班，72人參加游泳班，有24人最積極，兩個(gè)班都參加了。

那么，誰(shuí)對(duì)誰(shuí)錯(cuò)？瑜伽班和游泳班，是相關(guān)還是相互獨(dú)立？

分析 記A表示參加瑜伽班，B表示參加游泳班，則發(fā)現(xiàn)P(AB)=P(A)P(B)，故參加游泳班的人與參加瑜伽班的人是相互獨(dú)立的，首席執(zhí)行官是對(duì)的。瑜伽班和游泳班是不相關(guān)的。

例5 相關(guān)還是獨(dú)立？

1. 在星期二（已知條件）下雨。

獨(dú)立。不會(huì)由于是星期二而更有可能下雨或不下雨，因此二者是獨(dú)立事件。

2. 從抽屜里拿襪子，直到拿出一雙。

相關(guān)。在取出一只襪子后，下一次取襪子時(shí)，原來(lái)的襪子數(shù)就減少了，這會(huì)影響概率。

3. 從一盒巧克力中隨機(jī)拿巧克力，連續(xù)2次拿到黑巧克力。

相關(guān)。巧克力盒子中有黑、白巧克力，在第一次拿到黑巧克力后，黑巧克力減少一個(gè)。

例6 某部門(mén)承接組織一場(chǎng)商業(yè)性露天音樂(lè)會(huì)，遇到天氣變化，該部門(mén)希望能夠根據(jù)預(yù)計(jì)天晴時(shí)數(shù)（小時(shí)）預(yù)測(cè)出音樂(lè)會(huì)的聽(tīng)眾人數(shù)，這樣一來(lái)，他們就可以衡量陰天可能給聽(tīng)眾人數(shù)造成的影響。若聽(tīng)眾人數(shù)少于3500人，這時(shí)票房收入將無(wú)法抵消成本費(fèi)用，那么他們就取消音樂(lè)會(huì)。下面是樣本數(shù)據(jù)。

能否根據(jù)這組數(shù)據(jù)判斷露天音樂(lè)會(huì)聽(tīng)眾人數(shù)與當(dāng)天預(yù)計(jì)天晴時(shí)數(shù)之間的關(guān)系。

解 先根據(jù)樣本數(shù)據(jù)畫(huà)出散點(diǎn)圖，見(jiàn)左邊，右邊是一次曲線擬合圖。

圖1 樣本數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖

圖2 一次曲線擬合樣本數(shù)據(jù)圖

從圖1中可以看出，數(shù)據(jù)點(diǎn)在圖上呈直線分布，且這條線隨天晴時(shí)數(shù)增加而向上爬升。故可畫(huà)一條穿過(guò)這些點(diǎn)的直線y=a+bx，使這條線盡量接近各個(gè)點(diǎn)，見(jiàn)圖2。由最小二乘法可得：a=15.80,b=5.32。

于是，聽(tīng)眾人數(shù)和天晴時(shí)數(shù)之間的關(guān)系接近y=15.80+5.32x，聽(tīng)眾人數(shù)和天晴時(shí)數(shù)是相關(guān)的。接下來(lái)計(jì)算對(duì)應(yīng)的相關(guān)系數(shù)：

由于r接近于1，說(shuō)明聽(tīng)眾人數(shù)和預(yù)計(jì)天晴時(shí)數(shù)之間有很強(qiáng)的正線性相關(guān)性。

四、結(jié)論

隨機(jī)變量的相關(guān)性和獨(dú)立性是隨機(jī)變量的兩個(gè)最重要的關(guān)系，而不相關(guān)是不獨(dú)立的一種特殊關(guān)系，在判別隨機(jī)變量是否獨(dú)立時(shí)，要注意兩個(gè)隨機(jī)變量不相關(guān)，二者不一定獨(dú)立。另外聯(lián)合概率密度等于邊緣概率密度乘積只是判別隨機(jī)變量是否獨(dú)立的一個(gè)充分條件，而非充要條件。若兩個(gè)隨機(jī)變量服從二維正態(tài)分布，則獨(dú)立和不相關(guān)是等價(jià)的。

[1]魏宗舒.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程[M].北京:高等教育出版社,1982.

[2]復(fù)旦大學(xué).概率論基礎(chǔ)[M].上海:復(fù)旦大學(xué)出版社,1979.

[3]張宏禮,王苫社,周曉晶，等.隨機(jī)變量獨(dú)立性的一個(gè)注記[J].高等數(shù)學(xué)研究2010(13):114-115.

[4]金天壽,王曉華,李聰.隨機(jī)變量獨(dú)立性的判別方法[J].高等數(shù)學(xué)研究，2014(17):92-95.

[5]金天壽.對(duì)事件獨(dú)立性的再認(rèn)識(shí)[J].數(shù)學(xué)通報(bào),2012(51):24-26.

Some Notes and Practical Applications of Independence and Correlation

Fan Guo-liang1, Lu Xiao-heng2
（1.Anhui Polytechnic University, Wuhu Anhui 241000, China; 2.Tongling University, Tongling Anhui 244000, China ）

The concepts of independence and correlation of two random variables are introduced from the independence of two random events. Further we give some notes and discriminated methods for judging independence and correlation. By using the density function in general teaching material for judging independence is easy to make mistakes, and we analyze the situation of the mistakes which are easy to make by an example. To solve this problem, we in this paper, give a necessary and sufficient condition for judging the independence via the density function, which can avoid this mistake. At last, some real examples are taken to illustrate the applications of independence and correlation in life.

random variable; independence; correlation; normal distribution

O211

A

1672-0547(2016)06-0088-03

2016-06-23

國(guó)家自然科學(xué)基金(11401006)

范國(guó)良(1981-),男,安徽黃山人,安徽工程大學(xué)數(shù)理學(xué)院副教授,博士,碩士生導(dǎo)師,研究方向:概率統(tǒng)計(jì);

陸曉恒(1966-),男,江蘇蘇州人,銅陵學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院副教授,研究方向:概率統(tǒng)計(jì)。