李東方　劉會彩

摘 要：本文給定兩個(gè)Hermite矩陣A、B 以及它們的特征值，給出了乘積矩陣AB 的跡的一些不等式，進(jìn)而得到矩陣之和A+B 的一些特征值不等式。以及通過研究正定Hermite矩陣Schur 補(bǔ)的跡和特征值的性質(zhì)，得到了正定Hermite矩陣和的Schur 補(bǔ)與正定Hermite矩陣Schur 補(bǔ)的和的跡和特征值之間的不等式.

關(guān)鍵詞：Hermite矩陣，特征值， 矩陣的跡，Schur補(bǔ)

眾所周知對于矩陣特征值估計(jì)的研究無論是在理論上還是在應(yīng)用上都有極其重要的意義，且已有大量的研究文獻(xiàn)。

1 預(yù)備知識

定義1 設(shè)矩陣 ，若 （ 是指 的共軛轉(zhuǎn)置），則稱A 為Hermite矩陣。

定義2 稱為矩陣A 的跡。

定義3 如果非負(fù)矩陣A 的所有行和以及列和均為1，就稱A 是雙隨機(jī)矩陣。

定義4 設(shè) 表示n ×n 階矩陣. 是非奇異主子

陣， 我們稱 是A 關(guān)于 的Schur 補(bǔ)，記為 .

引理1 矩陣 為Hermite矩陣，則A 的所有特征值都是實(shí)數(shù)。

引理2 矩陣 為Hermite矩陣，其特征值為 它們按任意規(guī)定的次序排列，則存在一個(gè)酉矩陣 ，使得

引理3 矩陣 為雙隨機(jī)矩陣，當(dāng)且僅當(dāng)對某個(gè) 存在置換矩陣 和正純量 ，使得 ，且 .

引理4 設(shè) 為一置換， 為按遞增順序排列的兩個(gè)數(shù)列，則有： .

引理5 設(shè) 是正定矩陣，若 ，那么 .

引理6 若存在非奇異陣 使得 ，那么

證明 因?yàn)?/p>

所以

引理7 若A ≥0 ， B ≥0 ，那么A + B ≥0

引理8 若 是半正定Hermite矩陣， 是 非奇異主子陣，那么 半正定.

證明 設(shè) ，取 ，有

因A 半正定， 由引理6 ， 知 半正定.

2 主要結(jié)果

定理1 設(shè)A， B 均為n ×n Hermite矩陣，它們的特征值分別依次從大到小排列為： ，則有

證明 A 為正定Herm ite矩陣時(shí)， 由于A， B 均為n ×n He rmite矩陣， 則分別存在酉矩陣W， V 使得：

則：

記 ，易知U仍為酉矩陣，故有：

由 知 是雙隨機(jī)矩陣，記Ω為雙隨

機(jī)矩陣的集合，考慮如下極大值問題：

由于Ω為一有界閉凸集， 上面問題的目標(biāo)函數(shù)是關(guān)于 的線性函數(shù)， 故它在Ω的某一端點(diǎn)上取得極大值. 而由引理3知雙隨機(jī)矩陣集合的端點(diǎn)為置換矩陣， 故存在置換矩陣 使

其中 為一置換矩陣 對應(yīng)的置換，于是由引理4，可得：

（2）

如果A 是非正定的，則存在充分大的實(shí)數(shù)m >0，使得A +m I為正定陣（ I為n ×n階單位陣） ，則A+m I的特征值為 ， 由（2）有：

即：

又因?yàn)椋?所以：

故結(jié)論成立。

由定理1易知以下結(jié)論成立。

推論1 設(shè)A為n ×n正定He rmite矩陣， B 為n×nHe rmite矩陣，矩陣A， B ， AB 的特征值分別為： . 則有： .

推論2 設(shè) ， 為n ×n正定He rmite矩陣，矩陣A， B ， AB 的特征值分別為： .則有 .

定理2 設(shè)A， B ， C均為n ×nHermite稱陣， 它們的特征值依次從大到小排列為： ，如果 ，則 的特征值之間有如下關(guān)系成立：

證明 由于 均為n ×nHermite矩陣，則

推論3 設(shè) 均為n ×n正定Hermite矩陣， 它們的特征值依次從大到小排列為： 則： .

定理3 設(shè) ， 是正定Hermite矩

陣，且 分別是 的非奇異主子陣，那么

（1）

證明

于是

注意到 均為n - k 階正定Hermite矩陣，由引理5容易得到：

故結(jié)論成立。

參考文獻(xiàn)

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